kereng hat folgendes geschrieben: |
Aus einem Buch über Paradoxien:
In einer Fernsehshow hat der Gewinner die Wahl nicht zwischen Türen mit Ziegen, sondern zwischen Umschlägen mit Geld. In dem anderen ist doppelt soviel wie in dem einen. Der Kandidat bekommt einen von zwei äußerlich identischen Umschlägen und wird gefragt, ob er lieber den anderen möchte. In der Überlegung, die nun stattfindet, ist es egal, ob er den Umschlag öffnet. Dieser Umschlag enthält x, der andere enthält mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 den Betrag 2x und ebenfalls mit 1/2 den Betrag x/2. Der Erwartungswert bei nicht-Wechseln ist trivialerweise x, bei Wechseln ist er (1/2 * 2x) + (1/2 * x/2) = 1,25*x, also soll man den anderen Umschlag nehmen. Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler? (Wenn man versucht, das in einer Computersimulation zu testen, findet man den Fehler bestimmt.) |
kereng hat folgendes geschrieben: |
Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler? |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat. |
Skeptiker hat folgendes geschrieben: |
Die Formel ist ja schon falsch.
E(Brief 1) = 0,5 x |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat. |
kolja hat folgendes geschrieben: |
Wir starten ja mit zwei möglichen Szenarien: entweder ich habe den kleineren (x) oder den größeren Umschlag erhalten (2 x). Der Erwartungswert für diesen Umschlag ist also (1/2 * x) + (1/2 * 2 x) = 1,5 x. Wenn ich wechsle, ändert sich meine Bilanz mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um +x und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um -x, der Erwartungswert ändert sich nicht. |
kereng hat folgendes geschrieben: |
Dann wird der erste Umschlag eben doch geöffnet: 1000 Euro. Es folgt dieselbe Rechnung: Der andere Umschlag enthält mit W'keit 1/2 2000 Euro oder 500 Euro. (1/2 * 2000) + (1/2 * 500) = 1250. Also soll man wechseln. |
kolja hat folgendes geschrieben: | ||
Diese Rechnung ist nicht falsch, aber sie hat nichts mehr mit der ursprünglichen Aufgabenstellung zu tun. |
kereng hat folgendes geschrieben: |
Es ist genau dieselbe Aufgabenstellung, nur dass ich anstatt x die 1000 gesetzt habe. Hätte ich stattdessen 2 oder 50000 gewählt, würde das an der Berechnung des Erwartungswertes nichts ändern. |
kereng hat folgendes geschrieben: |
Die Frage ist weiterhin: Was ist an der Berechnung falsch? |
kereng hat folgendes geschrieben: |
(Wenn man versucht, das in einer Computersimulation zu testen, findet man den Fehler bestimmt.) |
Code: |
p*x/2 + (1-p)*2x = x Da kürzt sich x raus, das ist angenehm p/2 + 2 - 2p = 1 Auf beiden Seiten 1 abziehen und 3/2*p addieren 1 = 3/2*p 2/3 = p |
kereng hat folgendes geschrieben: |
Man kann keinen Zufallszahlengenerator programmieren, der jede Zahl und ihr Doppeltes mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefert. |
kolja hat folgendes geschrieben: | ||
Aber das war doch genau mein Punkt, Du kannst den Erwartungswert für den zweiten Umschlag nicht berechnen, ohne Annahmen über die Verteilung zu machen. Die naive (und falsche) Berechnung des Erwartungswerts für x wäre nur korrekt gewesen, wenn ... |
kolja hat folgendes geschrieben: |
Diese Rechnung ist nicht falsch, aber sie hat nichts mehr mit der ursprünglichen Aufgabenstellung zu tun. Ja, da wir das Verhältnis zwischen den Beträgen in den Umschlägen kennen, können wir für einen konkreten Betrag in einem Umschlag den Erwartungswert für den anderen Umschlag ausrechnen. |
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