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Freigeisterhaus -> Wissenschaft und Technik

#61: Autor: Shadaik, Wohnort: MG

Verfasst am: 28.07.2003, 17:50
—
Upps, hatte vergessen, dass uns kein Winkel bekannt ist. Also brauchen wir einen Winkel zwischen Grundlinie und Hypothenuse (heißt das so? - habe k. A. von Mathe)

Dazu benötigen wir die Höhenangabe 1m
sowie zwei Punkte, durch die sich die Linie der Leiter bewegt. (Mehr oder weniger) Bekannt sind die Koordinaten [1,1], [0,a] und [b,0]. Dabei ist bekannt, dass a>1 und b>1.
Wir haben bei [0,0] einen bekannten Winkel von 90°, also müssen die beiden anderen Winkel zusammen ebenfalls zusammengerechnet 90° ergeben.
Zusätzlich haben wir die Einschränkung, dass die Hypothenuse nur 10 m lang sein darf. Daraus folgt, dass es nur zwei mögliche Lösungen gibt - grob könnte man sagen, die Leiter kann stehen oder liegen.

skeptisch

#62: Autor: narziss,

Verfasst am: 28.07.2003, 18:07
—
Vielleicht kommt man auch weiter wen man die Fläächen berechnet.

Mein Gedanke war ja das Dreieck einzuknicken. Wenn man das Dreieck einknickt, dann geht ja ein m²(die Kiste) verloren.

Höhe über der Kiste=x
Länge rechts neben der Kiste=y
Leiter über der Kiste =a
Leiter rechts neben der Kiste=b

Das ursprüngliche Dreieck wäre (x+1)*(y+1)/2

Das zweite Dreieck wäre (x+y)*1/2

das zweite Dreieck ist durch einklappen um 1m² kleiner geworden.

Ich komm damit aber auch nicht weiter. Weinen

#63: Autor: Shadaik, Wohnort: MG

Verfasst am: 28.07.2003, 18:14
—
Wie willst du die Fläche eines Dreiecks berechnen, dessen Maße du nicht kennst? Geschockt

Hm, aufklappen? Dann hätten wir ein Rechteck mit den Maßen

(1+x)*(1+y)

Die Diagonale wäre 10 m lang. Kann jemand damit was anfangen?

Oder wir machen eine maßstabsgetreue Zeichnung des Ganzen, messen die Winkel aus und haben alle Angaben, die wir benötigen...

#64: Autor: ric,

Verfasst am: 28.07.2003, 18:16
—
Mit Pythagoras und Strahlensatz komme ich auch zu einer Gleichung 4ter Ordnung skeptisch

Ich habe aber das Gefühl Verlegen

, daß es eine intuitivere, schönere Lösung geben müßte. Also habe ich versucht die Kiste von der Kantenlänge 0 m bis zur Größe, an der die Leiter im 45° Winkel an der Wand lehnt, wachsen zu lassen (c=sqrt[2a²] ). Und danach die Größe 1m in die Gleichung einzusetzen. Das wird aber auch nicht eleganter. zornig

#65: Autor: step, Wohnort: Germering

Verfasst am: 28.07.2003, 18:17
—

Backside hat folgendes geschrieben:

@step : Ich peil jetzt zwar nicht ganz wie genau du das Koordinatensystem drehst und was ich mir unter a und b vorstellen soll ( Verlegen

), ...

Einfach das ganze Koordinatensystem um 45° drehen. Die Leiter und die Kiste bleiben natürlich, wo sie sind, aber ihre Punkte bekommen neue Koordinaten. Ich habe mit

a + b = x , a - b = y, also
x=(a+b)/2, y=(a-b)/2

gerechnet, weil es einfacher ist. Es entspricht aber einer zusätzlichen Streckung um sqrt(2). Will man das verhindern, macht man einen normierten Ansatz mit (a+b)/sqrt(2) = x usw. - kommt aber aufs selbe raus. Das Drehen des Koordinatensystems ist wirklich ein in der Physik häufig gebrauchtes Mittel, es entspricht der Einführung natürlicher(er) Koordinaten.

Backside hat folgendes geschrieben:

... aber das Ergebnis stimmt! ... ... es sei denn man trickst hier herum, so wie es step getan hat Sehr glücklich

)

Was heißt hier herumtricksen? Meine Lösung ist direkt und elegant. Ich habe auch darauf hingewiesen (was nicht einfach zu sehen ist), daß diese Aufgabe nur unter glücklichen Umständen quadaratisch ist (z.B. weil Höhe der Kiste und Breite der Kiste inmvers zueinander sind).

Jetzt bin ich mal gespannt, ob es eine noch elegantere Lösung gibt? Hier noch 3 Vorschläge:
- elliptische Hüllkurve und Polarkoordinaten?
- ausnutzen, daß sich der Mittelpunkt der Leiter auf einem Viertelkreis mit r=5 bewegt ...
- x so wählen, daß nur Terme mit (5-x) und (5+x) vorkommen, sodaß man zwar eine Gelichung 4.Gardes erhält, aber ohne ^3 und ^1 Terme, sodaß man x^2 ausrechen kann.

gruß/step

#66: Autor: step, Wohnort: Germering

Verfasst am: 28.07.2003, 18:28
—

gustav hat folgendes geschrieben:

Vielleicht kommt man auch weiter wen man die Fläächen berechnet. Mein Gedanke war ja das Dreieck einzuknicken. Wenn man das Dreieck einknickt, dann geht ja ein m²(die Kiste) verloren
...
Das ursprüngliche Dreieck wäre (x+1)*(y+1)/2
Das zweite Dreieck wäre (x+y)*1/2
das zweite Dreieck ist durch einklappen um 1m² kleiner geworden.
...
Ich komm damit aber auch nicht weiter. Weinen

Eigentlich keine schlechte Idee. Aus Deinen Gelichungen folgt x=1/y, aber das wissen wir durch den Strahlensatz schon.

gruß/step

#67: Autor: step, Wohnort: Germering

Verfasst am: 28.07.2003, 19:40
—

step hat folgendes geschrieben:

x so wählen, daß nur Terme mit (5-x) und (5+x) vorkommen, sodaß man zwar eine Gelichung 4.Gardes erhält, aber ohne ^3 und ^1 Terme, sodaß man x^2 ausrechen kann

Ja, das funktioniert also auch ohen Koordinatensystemwechsel: Wenn d der Abstand des Berührungspunktes der Leiter mit der Kiste vom Mittelpunkt der Leiter ist, dann gilt für f = Höhe über der Kiste und g = Breite neben der Kiste:

1 + f^2 = (5 + d)^2 und 1 + g^2 = (5 -d)^2
=> f^2 = (6 + d)(4 + d) und g^2 = (6 - d)(4 - d)

Da wir dank Strahlensatz (und gustav) wissen, daß 1/g = f, erhalten wir durch Multiplikation der beiden Gleichungen

(36 - d^2)(16 - d^2) = 1

Damit ist d wieder Wurzel einer Lösung einer quadratischen Gleichung, und aus d kann man f ausrechnen. Voilà!

gruß/step

#68: Autor: step, Wohnort: Germering

Verfasst am: 28.07.2003, 19:43
—
So, jetzt ist aber genug! Zwei elegante Lösungen hab ich jetzt schon angegeben, jetzt bist Du dran, Backside. Verrat uns Deine superelegante Lösung!

gruß/step

#69: Autor: Backside, Wohnort: Sirius

Verfasst am: 28.07.2003, 21:40
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step hat folgendes geschrieben:

So, jetzt ist aber genug! Zwei elegante Lösungen hab ich jetzt schon angegeben, jetzt bist Du dran, Backside. Verrat uns Deine superelegante Lösung!

Hmm, also du hast da wirklich hochinteressante Lösungen gebracht !! Da kann ich wohl nicht ganz mithalten (ich hab nur Lösungsgleichungen 4ten Grades), aber dafür hab ich umso einfachere Lösungen Sehr glücklich

Also begonnen hatte ich mit irgend einem Schmarrn, wo ich am Ende ne Ungleichung 2ten Grades lösen hätte müssen, aber irgendwie hab ichs so verplant, dass ich gar nicht mehr wusste was ich da überhaupt berechne Smilie

Als nächstes nahm ich folgenden Ansatz :

(hier zuerst mal die Bezeichnungen):

....|
....|
....|\
....|.\
ly-|...\ - hg
....|.....\
....|-----\
1..|......|.\ - hk
....|-----|--\-----------
.......1.....lx

Man kann die Leiter in 2 Teile teilen und zwar dort wo sie die Kiste berührt. Dadurch ergeben sich ja ein großes und ein kleines Dreieck (und die Kiste). Gibt man nun der Länge der Hypothenuse des großen Dreiecks (hg) einen variablen Wert, kann man deren Steigungsfaktor in Abhängigkeit ihrer Länge berechnen :

m = -ly; ly = sqr(hg² - 1) -> m = -sqr(hg² - 1)

Da die Hypothenuse des kleinen Dreiecks natürlich den selben Steigungsfaktor haben muss, kann man mit diesem die Länge der kleinen Kathete dieses Dreiecks (lx) ermitteln :

lx = -1/m; da m = -sqr(hg² - 1) -> lx = 1/sqr(hg² - 1)

Nach Pytagoras ist die Hypothenuse des kleinen Dreiecks dann :

hk = sqr(lx² + 1); hk = sqr( 1/(hg² - 1) + 1 )

Jetzt hat man die Länge der kleinen Hypothenuse in Abhängigkeit der Länge der großen Hypothenuse und muss deren Summe nur noch gleich 10 setzen :

10 - hg = sqr( 1/(hg² - 1) + 1)
... dann auflösen nach hg ...
-> hg^4 - 20*hg³ + 98*hg² + 20 - 100 = 0

Die Richtige Nullstelle hat (auf 4 Kommastellen genau) den Wert : 8.9937
Die Höhe ist dann 1 + ly, wobei ly = sqr(hg² - 1) -> Höhe = 9.9379

Da mir dieses Lösung absurd erschien und ich zu blöd war das mal zeichnerisch zu prüfen, hab ich einen neuen Ansatz versucht, anstatt nach Fehlern zu suchen Sehr glücklich

Folgender neuer Ansatz war/ist dann eigentlich absolut simpel (gewesen) :

Die Leiter lässt sich als Gerade darstellen, die durch den Punkt (1|1) verläuft, eine negative Steigung besitzt und so die x- und y-Achse schneidet (lx ist in diesem Fall der x-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse -> SX(lx|0) ):

m = (1-0)/(1- lx); m = 1/(1- lx)
y = mx + t -> y = 1/(1 - lx) * x + t -> t = 1 - 1/(1 - lx)
-> y = 1/(1-lx) * x + (1 - 1/(1 - lx))

Den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse kann man in Abhängigkeit des Schnittpunkts der Gerade mit der x-Achse angeben :

x = 0 -> y = 1 - 1/(1 - lx)
Der Schnittpunkt SY hat dann die Kooridinaten : ( 0 | 1-1/(1-lx) )
Nennen wir hier die y-Koordinate ly !!

Nun kann man die Streckenlänge zwischen den Punkten SX und SY in Abhängigkeit von lx ermitteln :

s = sqr(lx² + ly²)

s natürlich wieder gleich 10 setzen :

10 = sqr(lx² + (1 - 1/(1-lx) ) )
... bla bla bla ...
lx^4 - 2*lx³ - 98*lx² + 200*lx - 100 = 0

lx ist demnach = 1.1118

Man kann nun die Höhe (also ly) durch lx ermitteln, da aber (wie bereits erkannt) die Leiter auch liegen kann und nicht stehen muss, ergibt sich der richtige Wert auch direkt aus einer anderen Nullstelle : lx = 9.9379

Da diese Lösung der der obigen entspricht lässt sich daraus wohl schließen, dass es doch stimmt! (hab ich wieder umsonst herumgerechnet Weinen

).

Bei dieser Lösung hat man zwar hässlichere Rechnungen, aber der Lösungsweg ist (eigentlich) total einfach und einleuchtend Sehr glücklich

MfG, Backside

#70: Autor: step, Wohnort: Germering

Verfasst am: 28.07.2003, 21:58
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Mit den Augen rollen

tja, soweit war Babyface ja auch schon, wenn Du Dich erinnerst ... aber im Gegensatz zu mir kannst Du keine Formel für das Ergebnis angeben ... immerhin stimmt Dein Ergebnis ...

gruß/step

#71: Autor: Woici, Wohnort: Em Schwobaländle

Verfasst am: 28.07.2003, 22:35
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pha... Ihr Langweiler, wegen den 0,0379 m so einen Aufstand... dann mess ich doch lieber... Mr. Green

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