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#61: Autor: Skeptiker, Wohnort: 129 Goosebumpsville

Verfasst am: 12.02.2021, 22:01
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kereng hat folgendes geschrieben:

Aus einem Buch über Paradoxien:

In einer Fernsehshow hat der Gewinner die Wahl nicht zwischen Türen mit Ziegen, sondern zwischen Umschlägen mit Geld. In dem anderen ist doppelt soviel wie in dem einen. Der Kandidat bekommt einen von zwei äußerlich identischen Umschlägen und wird gefragt, ob er lieber den anderen möchte.

In der Überlegung, die nun stattfindet, ist es egal, ob er den Umschlag öffnet. Dieser Umschlag enthält x, der andere enthält mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 den Betrag 2x und ebenfalls mit 1/2 den Betrag x/2. Der Erwartungswert bei nicht-Wechseln ist trivialerweise x, bei Wechseln ist er (1/2 * 2x) + (1/2 * x/2) = 1,25*x, also soll man den anderen Umschlag nehmen.

Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler?
(Wenn man versucht, das in einer Computersimulation zu testen, findet man den Fehler bestimmt.)

Die Formel ist ja schon falsch.

E(Brief 1) = 0,5 x

E(Brief 2) = 0,5 * 0,5 x * 2 x / x = 0,5 * x² / x = 0,5 x

Somit ist die Wahrscheinlicheit, 2x zu ziehen beim Wechseln genau so wie beim nicht Wechseln gleich 0,5.

#62: Autor: tillich (epigonal),

Verfasst am: 13.02.2021, 00:36
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kereng hat folgendes geschrieben:

Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler?

Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat.

#63: Autor: kolja, Wohnort: NRW

Verfasst am: 13.02.2021, 09:53
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tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat.

Genau. Wir starten ja mit zwei möglichen Szenarien: entweder ich habe den kleineren (x) oder den größeren Umschlag erhalten (2 x). Der Erwartungswert für diesen Umschlag ist also (1/2 * x) + (1/2 * 2 x) = 1,5 x. Wenn ich wechsle, ändert sich meine Bilanz mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um +x und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um -x, der Erwartungswert ändert sich nicht.

#64: Autor: Skeptiker, Wohnort: 129 Goosebumpsville

Verfasst am: 13.02.2021, 12:09
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tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

kereng hat folgendes geschrieben:

Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler?

Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat.

Es ist egal, welchen Umschlag man zuerst zieht.

Die Erwartungswerte bleiben die selben.

#65: Autor: kereng, Wohnort: Hamburg

Verfasst am: 13.02.2021, 12:29
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Skeptiker hat folgendes geschrieben:

Die Formel ist ja schon falsch.

E(Brief 1) = 0,5 x

Was ist damit gemeint?
"E" soll wohl "Erwartungswert" heißen. x war bei mir der Inhalt von Umschlag 1. Was ist x bei dir?

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

kereng hat folgendes geschrieben:

Das ist offenbar Unsinn, aber wo liegt der Rechenfehler?

Der Fehler ist mE, dass x in dieser Rechnung kein unbekannter, aber fester Wert ist, sondern selbst davon abhängig, welchen Umschlag man zuerst gezogen hat.

Dann wird der erste Umschlag eben doch geöffnet: 1000 Euro. Es folgt dieselbe Rechnung: Der andere Umschlag enthält mit W'keit 1/2 2000 Euro oder 500 Euro. (1/2 * 2000) + (1/2 * 500) = 1250. Also soll man wechseln.

kolja hat folgendes geschrieben:

Wir starten ja mit zwei möglichen Szenarien: entweder ich habe den kleineren (x) oder den größeren Umschlag erhalten (2 x). Der Erwartungswert für diesen Umschlag ist also (1/2 * x) + (1/2 * 2 x) = 1,5 x. Wenn ich wechsle, ändert sich meine Bilanz mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um +x und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um -x, der Erwartungswert ändert sich nicht.

Klar, wenn man anders rechnet, kommt man auf das richtige Ergebnis, auf das man auch kommt, wenn man gar nicht rechnet. Die Frage war aber, was an der plausibel wirkenden Berechnung falsch war.

#66: Autor: kolja, Wohnort: NRW

Verfasst am: 13.02.2021, 15:11
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kereng hat folgendes geschrieben:

Diese Rechnung ist nicht falsch, aber sie hat nichts mehr mit der ursprünglichen Aufgabenstellung zu tun. Ja, da wir das Verhältnis zwischen den Beträgen in den Umschlägen kennen, können wir für einen konkreten Betrag in einem Umschlag den Erwartungswert für den anderen Umschlag ausrechnen. Aber warum sollte das relevant sein? Wir wollen doch eigentlich nur mit dem größeren Betrag nach Hause gehen, und die Wahrscheinlichkeit, durch Wechseln den größeren Betrag zu bekommen, bleibt weiterhin 50%.

Vielleicht hilft es hier, kurz darüber nachzudenken, was ein Erwartungswert ist. Offensichtlich werden wir ja in Deinem Szenario in der Realität niemals den Erwartungswert von 1250 bekommen, sondern entweder 500 oder 2000. Der Erwartungswert ist der Wert, den wir als Durchschnitt über hinreichend viele Wiederholungen des gleichen Szenarios erwarten würden. Klar, ganz viele Umschläge, in denen ungefähr gleich oft 500 und 2000 drin stecken, sind besser, als genauso viele Umschläge in denen immer 1000 drin steckt. Das hat aber mit dem ursprünglichen Szenario nichts mehr zu tun, in dem wir nichts davon wissen, wie viel in unserem Umschlag steckt.

#67: Autor: kereng, Wohnort: Hamburg

Verfasst am: 13.02.2021, 16:15
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kolja hat folgendes geschrieben:

kereng hat folgendes geschrieben:

Diese Rechnung ist nicht falsch, aber sie hat nichts mehr mit der ursprünglichen Aufgabenstellung zu tun.

Es ist genau dieselbe Aufgabenstellung, nur dass ich anstatt x die 1000 gesetzt habe. Hätte ich stattdessen 2 oder 50000 gewählt, würde das an der Berechnung des Erwartungswertes nichts ändern. Die Frage ist weiterhin: Was ist an der Berechnung falsch?

#68: Autor: kolja, Wohnort: NRW

Verfasst am: 14.02.2021, 12:33
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kereng hat folgendes geschrieben:

Es ist genau dieselbe Aufgabenstellung, nur dass ich anstatt x die 1000 gesetzt habe. Hätte ich stattdessen 2 oder 50000 gewählt, würde das an der Berechnung des Erwartungswertes nichts ändern.

Du hast meinen Punkt nicht verstanden. Der gilt unabhängig davon, welchen Betrag Du für den ersten Umschlag eingesetzt hat, der Fehler besteht darin, dass Du einen konkreten Betrag eingesetzt hast und trotzdem davon ausgehst, dass Du immer noch das ursprüngliche Szenario betrachtest.

kereng hat folgendes geschrieben:

Die Frage ist weiterhin: Was ist an der Berechnung falsch?

Nochmal ab da weiterlesen, wo Du meinen Beitrag abgeschnitten hattest.

#69: Autor: kereng, Wohnort: Hamburg

Verfasst am: 14.02.2021, 12:59
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Die Lösung ist, dass nicht alle Beträge gleich wahrscheinlich sind. Es ist eine falsche Annahme, wenn man einen Umschlag mit 1000 Euro hat, im anderen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 die 500 und die 2000 zu vermuten. Merkwürdigerweise kommt dieser Effekt im täglichen Leben nicht vor, oder?

Ich hatte geschrieben:

kereng hat folgendes geschrieben:

(Wenn man versucht, das in einer Computersimulation zu testen, findet man den Fehler bestimmt.)

Man kann keinen Zufallszahlengenerator programmieren, der jede Zahl und ihr Doppeltes mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefert.

Wenn man im ersten Umschlag x hat, wie müssen die Wahrscheinlichkeiten sein, damit es egal ist, ob man wechselt? Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Umschlag die Hälfte enthält.

Code:

p*x/2 + (1-p)*2x = x Da kürzt sich x raus, das ist angenehm
p/2 + 2 - 2p = 1 Auf beiden Seiten 1 abziehen und 3/2*p addieren
1 = 3/2*p
2/3 = p

Die Wahrscheinlichkeit, schon den größeren Betrag in der Hand zu haben, ist dann also doppelt so groß wie die Aussicht, ihn durch Wechseln zu bekommen. Damit sage ich nicht, dass die Verhältnisse in einer Fernsehshow so sein müssen.

#70: Autor: kolja, Wohnort: NRW

Verfasst am: 14.02.2021, 13:36
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kereng hat folgendes geschrieben:

Man kann keinen Zufallszahlengenerator programmieren, der jede Zahl und ihr Doppeltes mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefert.

Aber das war doch genau mein Punkt, Du kannst den Erwartungswert für den zweiten Umschlag nicht berechnen, ohne Annahmen über die Verteilung zu machen. Die naive (und falsche) Berechnung des Erwartungswerts für x wäre nur korrekt gewesen, wenn es nur die Paare (x, 1/2 x) und (x, 2 x) gibt, und Dir immer der Umschlag mit x als erstes gereicht wird. Und das ist offensichtlich nicht mehr das ursprüngliche Szenario, mindestens die Regel, dass der erste Umschlag zufällig gewählt wird, wird hier gebrochen.

Sobald wir allerdings Annahmen über die Verteilung der Beträge in den Umschlägen machen, wird es durchaus komplizierter als in Deiner Rechnung. Dann kann man abhängig von der Verteilung und vom Betrag nämlich durchaus sagen, ob es besser wäre zu wechseln oder nicht.

Siehe auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Umtauschparadoxon
https://www2.hs-fulda.de/~grams/dnkfln.htm#_Umtauschparadoxon_%28Briefumschlag-Pa_1

#71: Autor: kereng, Wohnort: Hamburg

Verfasst am: 14.02.2021, 17:29
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kolja hat folgendes geschrieben:

kereng hat folgendes geschrieben:

Man kann keinen Zufallszahlengenerator programmieren, der jede Zahl und ihr Doppeltes mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefert.

Du hattest zunächst geschrieben:

kolja hat folgendes geschrieben:

Daraus hatte ich gelesen, dass deiner Meinung nach der Erwartungswert korrekt berechnet ist, aber irgendwie nicht als Grundlage taugt, ob man den anderen Umschlag wählen soll. Jetzt sagst du, er sei falsch berechnet.

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