step hat folgendes geschrieben: | ||
Wenn nun Dornröschen beim Aufwecken nicht die Originalfrage gestellt würde, sondern sie einen Tip abgeben müßte, also entweder Kopf oder Zahl. Müßte sie dann, da sie ihre Tips ja vergißt, eine zweiseitige oder eine dreisitige Münze werfen, um im Fall der Wiederholung insgesamt das beste Ergebnis zu erzielen? |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Die Fragestellung im Original lautet: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?" |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Das ist im Grunde nur eine andere Darstellung dessen was ich als Beobachtungsraum definiert habe. Alles was Du daraus ableiten kannst sind daher Beobachtungswahrscheinlichkeiten. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Es ist im Unterschied zum Ergebnisraum daher nicht vorgesehen dass ein und derselbe Münzwurf zweimal im ER aufgeführt wird, so wie das bei Dir da oben der Fall ist. Die Frage wie Du bzw. Dornröschen mit dieser Uneindeutigkeit umgehen, hast Du nur elegant umschifft, aber nicht beantwortet. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
Nein. Schon allein deswegen, weil dein "Beobachtungsraum" und die "Beobachtungswahrscheinlichkeit" als Abgrenzung zu "Ereignisraum/-wahrscheinlichkeit" einfach sinnlose Begriffe sind. Hast du dir die ausgedacht, oder woher hast du die? |
Zitat: | ||
Da ist nichts uneindeutig. Die Ergebnisse des Münzwurfs tauchen deswegen je zweimal im Ergebnisraum auf, weil sie Teil unterschiedlicher kombinierter Ergebnisse zweier Zufallsexperimente sind. Und diese unterschiedlichen kombinierten Ergebnisse führen eindeutig zu bestimmten Ereignissen - wie oben dargestellt. |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||
Ich würde sagen, dass es die erfolgreichste Strategie wäre so oft wie möglich "Zahl" zu tippen. Mit einer dreiseitigen Münze wäre sie demnach erfolgreicher als mit einer zweiseitigen. |
step hat folgendes geschrieben: | ||||
Nein, ich meinte es so, daß Dornröschen selbst einen (zweiten) Zufallsgenerator besitzt. Sie muß einen Tip in bezug auf die bereits geworfene Ursprungsmünze abgeben, und nimmt, weil sie rational ist, ihren ZG zuhilfe. Sollte sie ihn auf 1/3 oder 1/2 einstellen? |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||
Ja, die habe ich mir ausgedacht. Weil sie zum Verständnis des Problems wichtig sind. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen? |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||||
Bedeutungslose Begriffe erklären nichts, sondern verschleiern nur. |
Zitat: | ||
Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
So wie die Zugfahrt ja auch nur alles verschleiert hat, und wahrscheinlich leider auch alle anderen Überlegungen, welche Dich die Halfer-Perspektive auch nur ansatzweise nachvollziehen lassen könnten. |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||||
Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken: P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1. Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Und hier behauptest du einfach nur, dass es einen Unterschied zwischen einer "Beobachtungswahrscheinlichkeit" und einer "Ereigniswahrscheinlichkeit" gebe, die einem Unterschied zwischen "auf dem Kopf landen" und "Kopf zeigen" entsprechen soll. |
Zitat: | ||||||
[…] Auch die Wahrscheinlichekit für "wach" ist bekannt. Sie wird bei "Zahl" an beiden Tagen geweckt, bei "Kopf" nur an einem von beiden, also insgesamt an 3 von vier möglichen Terminen, also: P(wach) = 1/2 + 1/4 = 3/4 |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||||||||
An der Stelle wird es widersprüchlich. Um die Wahrscheinlichkeiten einfach aufaddieren zu können, müssten die beiden Ereignisse (Mo;wach) und (Di;wach) disjunkt sein, d.h. sie müssten sich gegenseitig ausschließen und dürften in einem Venn-Diagramm keine gemeinsame Schnittmenge haben. Das wiederum würde aber bedeuten, dass P(Mo;wach und Di;wach)=0 sein müsste und damit auch P(Mo;wach und Di;wach/Z). Das Zufallsexperiment, welches Du definiert hast, schließt diese Schnittmenge aus, da es die Ereignisse (K;Mo;wach), (K;Di;schlaf), (Z; Mo; wach) und (Z;Di;wach) so definiert, dass diese paarweise disjunkt sind: Entweder trifft jeweils das eine zu oder das andere, aber niemals beide zusammen. Das Ereignis (Mo;wach und Di;wach) ist in Deinem Zufallsexperiment eigentlich gar nicht definiert. Dein Modell kann die Information P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 also gar nicht berücksichtigen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:
P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||||||||||||
Äh ... ja ... natürlich sind die Ereignisse paarweise disjunkt. Es sind Elementarereignisse des zweistufigen Zufallsexperiments Münzwurf/Wochentag, und als Elementarereignisse (= Ergebnismengen mit einem Element) können sie gar nicht anders als disjunkt sein. Oder mit anderen Worten: Es kann nicht gleichzeitig Montag und Dienstag sein, und die Münze kann nicht gleichzeitig Kopf und Zahl zeigen. Und deshalb kann es in der Tat auch nicht gleichzeitig Montag nach dem Ergebnis Kopf und Dienstag nach dem Ergebnis Kopfsein, und die Münze kann auch nicht am Montag gkleichzeitig Kopf unf Zahl zeigen. Aber in der Tat habe ich einen Faehler gemacht: Ich habe deine Prämisse ...
... ungenau gelesen und deshalb akzeptiert. Natürlich ist diese deine Prämisse genau aus den von dir gerade geschilderten Gründen Quatsch, selbstverständlich gilt: P(Mo;wach und Di;wach|Zahl) = 0 =/= P(wach|Zahl) Korrekt müsste es natürlich heißen: P(Mo;wach oder Di;wach|Zahl) = 1 = P(wach|Zahl) , und danach geht es so weiter wie in meinem vorigen Post. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Meine "Prämisse" ist eigentlich nur folgende Aussage:
Es ist sicher, dass Dornröschen in dem Experiment in welchem sie sich jetzt beim Erwachen gerade befindet am Mo und am Di befragt wird, wenn am Sonntag Zahl gefallen ist. Diese Aussage ist offenkundig wahr [...] |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
[...] und kann als Information verstanden werden, die sich mit P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 hinreichend präzise beschreiben lässt. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Du bezeichnest das nun alles als "Quatsch" und begründest es einzig und allein damit, dass Dein Wahrscheinlichkeitsmodell diese Information und damit ein Teil von Dornröschens Wissen nicht abbilden kann. Wäre es an der Stelle aber nicht sinnvoller gewesen die Vollständigkeit des Modells zu hinterfragen anstatt die "Prämisse" zu verwerfen? Oder hältst Du die Information einfach nur für unwichtig so dass man sie gar nicht modellieren braucht sondern einfach ignorieren kann? |
zelig hat folgendes geschrieben: |
whow... soo genau wollte ich es dann doch nicht definiert haben. : ) |
smallie hat folgendes geschrieben: | ||
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smallie hat folgendes geschrieben: | ||||||
Psst. Unter uns. Wie oft hast du dir das bei meinem Geschreibe auch schon gedacht? Bei mir war der Ofen danach aus:
Grober Fehler, denn im Anschluß machen sie ja doch einige specifications. Warum nicht schon an dieser Stelle? |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||||
Richtig. Das ist allerdings nur eine Umformulierung des Experimentablaufs und hilft bei der Fragestellung noch nicht weiter.
Naja, was heißt hinreichend präzise ... du schreibst das so auf, wie ich es getan habe, willst meine Bayes-Rechnung dazu wissen, und wunderst dich dann, wenn ich es nach meiner Modellierung mache und nicht nach deiner ... Deine Modellierung betrachtet den Zeitraum über beide Tage zusammen als Ereignis (das heißt, "Montag" und "Dienstag" sind bei dir auch nicht als Ergebnis eines Zufallsexperiments betrachtet, weswegen es verwirrend ist, dass du sie dennoch so in die Klammern schreibst, als ob sie das wären). Parallel könnte man - nach deiner Modellierung - auch andere denkbare Ereignisse beschreiben: P(Mo;wach und Di;wach/K)=0 P(Mo;wach und Di;schlafend/Z)=0 P(Mo;wach und Di;schlafend/K)=1 Das heißt, wie haben zwei mögliche Ereignisse ([Mo/wach und Di/wach] vs. [Mo/wach und Di/schlafend]), die einem Ergebnis des Münzwurfs eineindeutig zugeordnet sind; deswegen kann auch sicher vom Ereignis auf den Münzwurf zurückgeschlossen werden; die bedingte Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1. Das ist aber nun erstens völlig banal, weil es genau der Beschreibung des Ablaufs entspricht. |
Zitat: |
Es ist aber auch zweitens überhaupt nicht zielführend, weil es nicht der Fragestellung entspricht. |
Zitat: |
Das ist doch wieder Unsinn. Natürlich bildet meine Modellierung diese Information ab. Dornröschen weiß, dass sie beim Münzwurf-Ergebnis "Zahl" sowohl beim Wochentag-Ergebnis "Montag" als auch beim Wochentag-Ergebnis "Dienstag" geweckt wird. Diese Information stellt sich so dar: P (wach|Mo,Z) = 1 P (wach|Di,Z) = 1 Es wird eben nur in einer Form abgebildet - nämlich als die beiden Einzeltage - die bei der Fragestellung, die von einem Einzeltag ausgeht, auch weiterhilft. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Es modelliert den Ablauf des Experiments, ja. Und genau das ist jetzt das entscheidende, damit auch Dornröschens Wissen wenn sie befragt wird. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Das lässt sich auf die Wachtage reduziert übrigens noch ausführlicher modellieren: |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(K)=1/2
P(Z)=1/2 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(K oder Z)=1
P(K+Z)=0 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Mo)=1 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Mo+Di)=1/2 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Mo oder Di)=1 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Mo/K)=1
P(Di/K)=0 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Mo/Z)=1
P(Di/Z)=1 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(K/Mo)=1/2
P(Z/Mo)=1/2 |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Damit ist Dornröschens Wissen beim Aufwachen schon vollständig beschrieben. Und mit diesem auch alle möglichen Informationen, die ihre Wahrscheinlichkeit, dass Kopf bzw. Zahl gefallen ist beeinflussen können (fett markiert): Wenn sie wüsste, ob sie am Mo und am Di befragt wird oder wenn sie wüßte dass heute Di ist. Erfährt sie aber beides grundsätzlich nicht, und deshalb bleibts bei 1/2. |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||
Doch, das entspricht sogar ganz genau der Fragestellung. Dornröschen stellt sich beim Erwachen nichts anderes als die Frage in welchem von zwei experimentellen Armen sie sich jetzt gerade befindet: entweder (Z,Mo+Di) oder (K,Mo). So wie sich der Zugreisende fragt in welchen der beiden Züge er gestiegen ist. |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||
Nein, diese Information wird dadurch eben nicht abgebildet. Weil hier nicht definiert ist, dass beide Wachereignisse aus ein und demselben Zahl-Ereignis resultieren. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sagen daher nur folgendes aus: Wenn Dein Zufallsexperiment das Ereignis (Mo,Z) oder (Di,Z) produziert hat, dann hat es auch (wach) produziert. Sie sagen hingegen nicht aus, dass Dein Zufallsexperiment (Mo,wach) und (Di,wach) produziert wenn es Z produziert hat. Kann es ja auch gar nicht, denn dieses Ergebnis ist in Deinem Modell ausgeschlossen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Wenn Du das nicht nachvollziehen kann, prüfe es empirisch. Nimm eine Münze und lass Dein zweistufiges Zufallsexperiment 10 mal hintereinander laufen und schreibe die 10 Ergebnisse der Reihe nach auf. Du wirst in deren Abfolge kein Muster ausmachen können, welches die gesuchte Information abbildet.
Mögliche Ergebnisse Deines Zufallsexperiments (disjunkt;gleichwahrscheinlich): (K,Mo,W); (K,Di,S); (Z,Mo,W); (Z,Di,W) Mögliche Ergebnisabfolge Deines Zufallsexperiments (10 Durchgänge): K,Di,S K,Di,S Z,Di,W K,Mo,W Z,Mo,W K,Di,S K,Mo,W Z,Mo,W Z,Di,W Z,Di,W -> Durcheinandergewürfeltes Tohuwabohu; Info eliminiert Zum Vergleich eine mögliche Abfolge meines Zufallsexperiments: Z,Mo,Di Z,Mo,Di K,Mo Z,Mo,Di K,Mo K,Mo K,Mo Z,Mo,Di K,Mo Z,Mo,Di -> Info klar erkennbar.. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Mo: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Mo eine Befragung statt
Di: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Di eine Befragung statt |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
Ok. Ich hatte einfach eingenommen, "Mo" hieße "es ist Montag". Das schiene mir ... einfacher: Ein Wochentag, ein Ereignis. Stattdessen heißt "Mo" "zwei Wochentage, innerhalb derer an einem von beiden ein Ereignis stattfinden kann". Mit deiner Definition gehst du wieder systematisch weg von der Situation, in der Dornröschen sich befindet (und nach der mMn gefragt ist), auf die "experimentellen Äste", die nicht Dornröschens Erleben entsprechen (und nach denen deswegen mMn auch nicht gefragt ist). Ich glaube, an diesem Kern unserer Differenz können wir einfach stehen bleiben. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast. |
Zitat: |
Sleeping Beauty agrees to the following experiment. On Sunday, she is put to sleep, and a fair coin is flipped. If it comes up Heads, she is awoken on Monday morning; if Tails, she is awoken on Monday morning and again on Tuesday morning. In all cases, she is not told the day of the week, is put back to sleep shortly after, and will have no memory of any Monday or Tuesday awakenings. When Sleeping Beauty is awoken on Monday or Tuesday, what – to her – is the probability that the coin came up Heads? |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Der erste Schritt zur Modellierung von Perspektive ist also ein vollständiges betrachterunabhängiges Modell aller objektiv feststellbaren Eigenschaften des Gegenstands auf dessen Grundlage dann Perspektiveinnahme erst möglich wird. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Wenn „Kopf“ dann eine Befragung
Wenn „Zahl“, dann zwei Befragungen Im zweiten Schritt erfolgt dann eine Beschreibung von Dornröschens Informationsstand bzgl. aller relevanten Modellparameter zum Zeitpunkt der Befragung. Das Ergebnis ist, dass Dornröschen aufgrund ihrer Vergesslichkeit keine Informationen besitzt, die eine von 1/2 abweichende Vorhersage erlauben, wenn sie das Modell damit füttert. Die einzige Information bei dem das Modell eine andere Vorhersage ausspucken würde, wäre die Information wie oft sie befragt wird. Doch genau das erfährt sie ja gerade nicht. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast. Das Problem ist nur, dass Dein Modell kein objektives Abbild des Zufallsexperiments ist, welches gerade an Dornröschen durchgeführt wird und nach dessen Ausgang sie gefragt wird. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Was im wesentlichen daran liegt, dass Du versuchst den zweiten Schritt vor dem ersten zu machen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dein Modell ist damit nicht zwangsläufig falsch, jedoch in Bezug auf die eigentlichen Fragestellung invalide. Und das lässt sich auch empirisch zeigen:
Wäre Dornröschens Wahrscheinlichkeit für Zahl beim Erwachen nämlich tatsächlich auf 2/3 angestiegen, dann müsste sie bei einer Tipstrategie auf Zahl auch dann häufiger gewinnen, falls im Verlauf des Experiments nur ihr letzter Tip gewertet wird. |
smallie hat folgendes geschrieben: | ||
Tja, das sagen tillich und ich über dein Modell auch. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
"Betrachterunabhängig" ist wissenschaftlich bestimmt sehr oft ganz fein, aber dann nicht, wenn ausdrücklich nach der betrachterabhängigen Perspektive gefragt wird. Dann ist Betrachterunabhängigkeit in Bezug auf die Fragestelung schlicht falsch. Und das ist hier der Fall. |
Zitat: |
Nix empirisch, das ist wieder eine Veränderung des Experiments. Wenn ich dich recht verstehe, würde nun ja im Falle "Kopf" die Montagsbefragung gewertet, im Falle "Zahl" die Dienstagsbefragung, während die Montagsbefragung nach "Zahl" zwar stattfindet, aber nicht gewertet wird. Damit würde nun auch ein "Zahl"-Ergebnis eliminiert, und wenn Dornröschen diese Regel auch kennt, müsste sie nun wieder diese berücksichtigen und 1/2 sagen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Das Modell ist ein 6x2-Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils 6 bzw. 2 möglichen Ausprägungen und insgesamt 6 möglichen Ergebnissen (Kombinationen): |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Bsp 2) Münzwurfexperiment
Ablauf: Es wird eine faire Münze verdeckt geworfen. Anschließend wird einer Person die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für Kopf gestellt. Fällt die Münze auf Kopf wird die Frage der Person nur einmal am Mo gestellt (1), fällt sie auf Zahl, wird sie der Person zweimal am Mo und am Di gestellt (2). Vollständiges betrachterunabhängiges (objektives) Modell: P(Z)=P(K)=1/2; P(Z und K)=0 (disjunkt) P(1)=P(2)=1/2; P(1 und 2)=0 (disjunkt) P(1/K)=1 P(1/Z)=0 P(2/K)=0 P(2/Z)=1 P(K/1)=1 P(K/2)=0 P(Z/1)=0 P(Z/2)=1 Das Modell ist ein vollständiges 2x2 Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils zwei möglichen Ausprägungen und insgesamt zwei möglichen Ergebnissen (Kombinationen): |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
P(Z)=P(K)=1/2; P(Z und K)=0 (disjunkt) |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Perspektive B) Manipulierte Person (Dornröschen)
Variable Münzwurf: Ausprägung unbekannt Variable Anzahl Befragungen: Ausprägung unbekannt (aufgrund des Vergessens und des Schlafs) Anwendung auf das Modell: P(K)=P(Z)=1/2 |
smallie hat folgendes geschrieben: | ||
Psst. Unter uns. Wie oft hast du dir das bei meinem Geschreibe auch schon gedacht? |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: | ||
Ich habe Schwierigkeiten damit, die Farbe als "Variable" im Rahmen des Zufallsexperiments zu bezeichnen. Gut, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, aber die sind nicht selbst zufällig, sondern ergeben sich eindeutig aus dem Würfelergebnis. |
Zitat: |
Mit der Rechnung bin ich ansonsten natürlich einverstanden: |
Zitat: | ||
Hier lässt du außen vor, dass es aus Sicht Dornröschens ein zweites Zufallsexperiment gibt, nämlich an welchem theoretisch möglichen Zeitpunkt sie sich befindet (also Mo oder Di). |
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