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Wolf
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Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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 (#588774) Verfasst am: 23.10.2006, 16:58 Titel: Intervallverschachtelung |
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Heute in der Uni Intervallverschachtelung (in R) gemacht.
(Kurze umgangssprachliche Erklärung: In jedes Intervall gibt man ein kleineres sodass die Länge des Intervalls gegen Null geht)
Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert.
Meinem Gefühl nach lässt sich dies allerdings beweisen.
(1)Ich setze voraus: dass es zwischen jeden zwei reelen Zahlen sofern sie nicht ident sind, eine reele Zahl gibt.
Wir haben ein beliebig kleines Intervall (a,b):={x e RI a<x<b}
Aus (1) folgt dass es ein c gibt mit a<c<b Ist unser Intervall unendlich klein gibt es dennoch ein Element c, welches enthalten ist.
Jetzt wäre noch zu zeigen, dass das Element c von unserem unendlich kleinen Intervall in jedem anderen enthalten ist. Was ja (meine Eindruck nach) durch die Definition( Iindexn umfasst Iindexn+1) bewiesen ist(hier bin ich mir nicht sicher).
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Trish:(
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Latenight
registrierter User
Anmeldungsdatum: 17.05.2005
Beiträge: 2549
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| (#588798) Verfasst am: 23.10.2006, 17:24 Titel: |
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Wenn du die Intervalle verschachtelst und die Grenzen vom Ausgangsintervall I mit a und b bezeichnet sind und für I' gilt dass a' >= a und b' <= b, dann bekommst du bei jeder Iteration eine Teilmenge vom vorherigen I. Und deswegen muss jedes Intervall in allen vorherigen enthalten sein.
Würde mich zumindest überzeugen.
Aber ich bin normalerweise schon glücklich, wenn die Simulation passt 
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caballito
zänkisches Monsterpony
Anmeldungsdatum: 16.07.2003
Beiträge: 12112
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| (#588863) Verfasst am: 23.10.2006, 18:32 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | Heute in der Uni Intervallverschachtelung (in R) gemacht.
(Kurze umgangssprachliche Erklärung: In jedes Intervall gibt man ein kleineres sodass die Länge des Intervalls gegen Null geht)
Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert. |
Yep. Genau so sind die reellen Zahlen definiert 
| Wolf hat folgendes geschrieben: | Meinem Gefühl nach lässt sich dies allerdings beweisen.
(1)Ich setze voraus: dass es zwischen jeden zwei reelen Zahlen sofern sie nicht ident sind, eine reele Zahl gibt.
Wir haben ein beliebig kleines Intervall (a,b):={x e RI a<x<b}
Aus (1) folgt dass es ein c gibt mit a<c<b Ist unser Intervall unendlich klein gibt es dennoch ein Element c, welches enthalten ist. |
Es gibt keine unendlich kleinen Intervalle.
Jedes einzelne Intervall ist endlich klein, also im Grunde verdammt groß, weil es nämlich sogar unendlich viele Elemente hat. Das gleiche gilt übrigens auch für rationale Zahlen, und bei denen gibt es trotzdem unter Umständen keine, die in allen Intervallen liegt.
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Die Gedanken sind frei.
Aber nicht alle Gedanken wissen das.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#588880) Verfasst am: 23.10.2006, 19:00 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| caballito hat folgendes geschrieben: |
Es gibt keine unendlich kleinen Intervalle. |
Ja das habe ich schon geahnt. Nun bitte ich um einen Beweis, dass die nicht gibt. | Zitat: |
Jedes einzelne Intervall ist endlich klein, also im Grunde verdammt groß, weil es nämlich sogar unendlich viele Elemente hat.
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Das ist klar. Allerdings glaube ich dir dass nicht. Den ein unendlich kleines Intervall dürfte nur ein Element anstatt unendlich vieler haben. | Zitat: |
Das gleiche gilt übrigens auch für rationale Zahlen, und bei denen gibt es trotzdem unter Umständen keine, die in allen Intervallen liegt. |
Jaja die bösen Lücken.
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Trish:(
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ralfkannenberg
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.05.2006
Beiträge: 227
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| (#588893) Verfasst am: 23.10.2006, 19:22 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: |
Es gibt keine unendlich kleinen Intervalle. |
Ja das habe ich schon geahnt. Nun bitte ich um einen Beweis, dass die nicht gibt. |
Ach ja ?? Ich glaube, es ist umgekehrt: Du müsstest beweisen, dass es sowas gibt
Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, dass der Ausdruck "unendlich klein" in der Mathematik definiert wäre ....... - also ja, ok: Stichwort "Non Standard Analysis". Finger weg - die haben in den USA damit Rekord-Durchfallraten erzielt ! Die Non-Standard-Analysis arbeitet mit 2 Postulaten; das erste ist noch halbwegs anschaulich, aber das zweite nicht und es ist überhaupt kein Problem, auch einen Mathematiker des 8.Semesters hier in die Irre zu führen ! Besser bei der schwerfälligen und langweiligen Epsilontik bleiben 
Letztlich läuft das ganze auf eine Cauchy-Folge hinaus und bekanntlich ist die Menge der rationalen Zahlen bezüglich der Cauchy-Folgen nicht abgeschlossen, d.h. es kann passieren, dass der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen nicht rational ist.
Ja aufgrund der Mächtigkeiten kann das nicht nur passieren, es wird sogar "fast sicher" passieren !
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: | Jedes einzelne Intervall ist endlich klein, also im Grunde verdammt groß, weil es nämlich sogar unendlich viele Elemente hat.
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Das ist klar. Allerdings glaube ich dir dass nicht. Den ein unendlich kleines Intervall dürfte nur ein Element anstatt unendlich vieler haben. |
Nochmals: Ein unendlich kleines Intervall ist nicht definiert ! Ein Intervall enthält stets eine epsilon-Umgebung mit epsilon echt grösser als 0 !
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: | | Das gleiche gilt übrigens auch für rationale Zahlen, und bei denen gibt es trotzdem unter Umständen keine, die in allen Intervallen liegt. |
Jaja die bösen Lücken. |
Es ist irgendwie nicht anschaulich, aber die rationalen Zahlen liegen "dicht" in den reellen Zahlen: Es gibt keine Lücken!
Freundliche Grüsse, Ralf
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#588929) Verfasst am: 23.10.2006, 20:34 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: |
Es gibt keine unendlich kleinen Intervalle. |
Ja das habe ich schon geahnt. Nun bitte ich um einen Beweis, dass die nicht gibt. |
Ach ja ?? Ich glaube, es ist umgekehrt: Du müsstest beweisen, dass es sowas gibt |
Ich postuliers einfach, dass es welche gibt.  Aber ob sich, dass mit den anderen Postulaten verträgt und mit sich selbst hm...  | Zitat: |
Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, dass der Ausdruck "unendlich klein" in der Mathematik definiert wäre |
Ach das ist einfach: wie natürliche Zahlen auch ist "unendlich klein" gottgegeben.  Man liest desöfteren den Ausdruck n geht gegen 0 für "unendlich klein", hat n geht gegen null irgendwelche Vorteile(nehme ich doch stark an).
Nun ich bemühe mich mal, obwohl mir die Sinnlosigkeit bereits bewusst ist kleiner unendlich zu definieren. uK:= x kleiner gleich jeder Zahl größer null. Jede (positive)Zahl[ausgenommen null und unendlichgroß, sofern man letzteres als Zahl ansieht]bildet zu x dass neutrale Element. Das inverse Element ist x mal jeder negativen Zahl. Ja, klingt schon ziemlich abwegig. | Zitat: |
....... - also ja, ok: Stichwort "Non Standard Analysis". Finger weg - die haben in den USA damit Rekord-Durchfallraten erzielt ! Die Non-Standard-Analysis arbeitet mit 2 Postulaten; das erste ist noch halbwegs anschaulich, aber das zweite nicht und es ist überhaupt kein Problem, auch einen Mathematiker des 8.Semesters hier in die Irre zu führen ! Besser bei der schwerfälligen und langweiligen Epsilontik bleiben |
Keine Angst da bleib ich. Sind nur Gedankenspielereien ohne tieferen Sinn. | Zitat: |
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: | | Das gleiche gilt übrigens auch für rationale Zahlen, und bei denen gibt es trotzdem unter Umständen keine, die in allen Intervallen liegt. |
Jaja die bösen Lücken. |
Es ist irgendwie nicht anschaulich, aber die rationalen Zahlen liegen "dicht" in den reellen Zahlen: Es gibt keine Lücken!
Freundliche Grüsse, Ralf |
Sicher gibt es Lücken trotzdessen sie dicht sind oder ist Wurzel2 keine Lücke?
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Trish:(
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ralfkannenberg
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.05.2006
Beiträge: 227
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| (#588955) Verfasst am: 23.10.2006, 20:57 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Ach ja ?? Ich glaube, es ist umgekehrt: Du müsstest beweisen, dass es sowas gibt |
Ich postuliers einfach, dass es welche gibt. Aber ob sich, dass mit den anderen Postulaten verträgt und mit sich selbst hm... |
Zumindest in der Prüfung würde ich es nicht drauf ankommen lassen
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, dass der Ausdruck "unendlich klein" in der Mathematik definiert wäre |
Ach das ist einfach: wie natürliche Zahlen auch ist "unendlich klein" gottgegeben. Man liest desöfteren den Ausdruck n geht gegen 0 für "unendlich klein", hat n geht gegen null irgendwelche Vorteile(nehme ich doch stark an). |
Ach tatsächlich ??? n stellt typischerweise eine natürliche Zahl dar und die wird kaum gegen 0 gehen ... - vielmehr pflegen n gegen unendlich zu gehen. Und das ist nicht definiert ...
Besser lässt man n einfach alle natürlichen Zahlen durchlaufen: Jede von ihnen ist endlich und somit behandelbar und die "Unendlichkeit" der natürlichen Zahlen ist in den Peano-Axiomen versteckt.
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Nun ich bemühe mich mal, obwohl mir die Sinnlosigkeit bereits bewusst ist kleiner unendlich zu definieren. uK:= x kleiner gleich jeder Zahl größer null. Jede (positive)Zahl[ausgenommen null und unendlichgroß, sofern man letzteres als Zahl ansieht]bildet zu x dass neutrale Element. Das inverse Element ist x mal jeder negativen Zahl. Ja, klingt schon ziemlich abwegig. |
Deine Einsicht ist gut
Was Du übersiehst: das "kleiner gleich" liefert nämlich eine abgeschlossene Menge, während die positiven Zahlen die Zahlen grösser ungleich 0 umfassen, und das ist eine offene Menge. Zwar kannst Du den Abschluss dieser offenen Menge bilden, doch dann kommt nur eine Zahl hinzu und das ist gerade die 0. - Wenn Du also die "unendlich kleinen" Zahlen hinzufügen möchtest, wirst Du mit Äquivalenzklassen arbeiten müssen und ... - eben ... - das 2.Postulat der Nicht-Standard-Analysis lässt sich dann nicht vermeiden !
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Es ist irgendwie nicht anschaulich, aber die rationalen Zahlen liegen "dicht" in den reellen Zahlen: Es gibt keine Lücken! |
Sicher gibt es Lücken trotzdessen sie dicht sind oder ist Wurzel2 keine Lücke? |
Glaub' mir - ich will Dich nicht verarschen, aber diese Lücke, die Du ansprichst, ist nun tatsächlich "unendlich klein".
Sei q_Wurzel2(n) die Zahl, die aus den ersten n Stellen von Wurzel2 besteht. Die q_Wurzel2(n) sind für alle n rationale Zahlen, es sind ja n-stellige Dezimalzahlen.
Sei q_Wurzel2'(n) diejenige Zahl, die aus den ersten n Stellen von Wurzel2 besteht, wobei die letzte Ziffer aber eins grösser ist. Natürlich ist auch q_Wurzel2'(n) eine n-stellige Dezimalzahl, also rational.
Also gilt: q_Wurzel2(n) < Wurzel2(n) <q_Wurzel2> 0 beliebig. Dann finde ich ein N aus IN so, dass gilt:
q_Wurzel2'(n) - q_Wurzel2(n) = 10 hoch (-n) <epsilon> N, im Widerspruch zur Annahme, dass die Lücke um Wurzel2 = epsilon ist.
Freundliche Grüsse, Ralf
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ralfkannenberg
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.05.2006
Beiträge: 227
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| (#588964) Verfasst am: 23.10.2006, 21:05 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Ach ja ?? Ich glaube, es ist umgekehrt: Du müsstest beweisen, dass es sowas gibt |
Ich postuliers einfach, dass es welche gibt. Aber ob sich, dass mit den anderen Postulaten verträgt und mit sich selbst hm... |
Zumindest in der Prüfung würde ich es nicht drauf ankommen lassen
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Es ist mir jedenfalls nicht bekannt, dass der Ausdruck "unendlich klein" in der Mathematik definiert wäre |
Ach das ist einfach: wie natürliche Zahlen auch ist "unendlich klein" gottgegeben. Man liest desöfteren den Ausdruck n geht gegen 0 für "unendlich klein", hat n geht gegen null irgendwelche Vorteile(nehme ich doch stark an). |
Ach tatsächlich ??? n stellt typischerweise eine natürliche Zahl dar und die wird kaum gegen 0 gehen ... - vielmehr pflegen n gegen unendlich zu gehen. Und das ist nicht definiert ...
Besser lässt man n einfach alle natürlichen Zahlen durchlaufen: Jede von ihnen ist endlich und somit behandelbar und die "Unendlichkeit" der natürlichen Zahlen ist in den Peano-Axiomen versteckt.
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Nun ich bemühe mich mal, obwohl mir die Sinnlosigkeit bereits bewusst ist kleiner unendlich zu definieren. uK:= x kleiner gleich jeder Zahl größer null. Jede (positive)Zahl[ausgenommen null und unendlichgroß, sofern man letzteres als Zahl ansieht]bildet zu x dass neutrale Element. Das inverse Element ist x mal jeder negativen Zahl. Ja, klingt schon ziemlich abwegig. |
Deine Einsicht ist gut
Was Du übersiehst: das "kleiner gleich" liefert nämlich eine abgeschlossene Menge, während die positiven Zahlen die Zahlen grösser ungleich 0 umfassen, und das ist eine offene Menge. Zwar kannst Du den Abschluss dieser offenen Menge bilden, doch dann kommt nur eine Zahl hinzu und das ist gerade die 0. - Wenn Du also die "unendlich kleinen" Zahlen hinzufügen möchtest, wirst Du mit Äquivalenzklassen arbeiten müssen und ... - eben ... - das 2.Postulat der Nicht-Standard-Analysis lässt sich dann nicht vermeiden !
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Es ist irgendwie nicht anschaulich, aber die rationalen Zahlen liegen "dicht" in den reellen Zahlen: Es gibt keine Lücken! |
Sicher gibt es Lücken trotzdessen sie dicht sind oder ist Wurzel2 keine Lücke? |
Glaub' mir - ich will Dich nicht verarschen, aber diese Lücke, die Du ansprichst, ist nun tatsächlich "unendlich klein".
Sei q_Wurzel2(n) die Zahl, die aus den ersten n Stellen von Wurzel2 besteht. Die q_Wurzel2(n) sind für alle n rationale Zahlen, es sind ja n-stellige Dezimalzahlen.
Sei q_Wurzel2'(n) diejenige Zahl, die aus den ersten n Stellen von Wurzel2 besteht, wobei die letzte Ziffer aber eins grösser ist. Natürlich ist auch q_Wurzel2'(n) eine n-stellige Dezimalzahl, also rational.
Also gilt: q_Wurzel2(n) echt kleiner Wurzel2(n) echt kleiner q_Wurzel2'(n).
Und die Differenzfolge d(n):= q_Wurzel2'(n) - q_Wurzel2(n) = 10 hoch (-n), konvergiert also für n aus IN gegen 0. Somit ist die "Lücke" also unendlich klein.
ok ok, das ist unsauber 
Behauptung: Für alle epsilon > 0 gilt: Die Lücke um Wurzel2 ist echt kleiner als epsilon.
Beweis: Sei epsilon > 0.
Dann finde ich ein N aus IN so, dass gilt:
q_Wurzel2'(n) - q_Wurzel2(n) = 10 hoch (-n) echt kleiner als epsilon für alle n > N, und das heisst, dass die Lücke um Wurzel2 die "Grösse" 0 hat.
Freundliche Grüsse, Ralf
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Sehwolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 26.03.2006
Beiträge: 10077
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| (#589014) Verfasst am: 23.10.2006, 21:53 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: |
Es gibt keine unendlich kleinen Intervalle. |
Ja das habe ich schon geahnt. Nun bitte ich um einen Beweis, dass die nicht gibt.
| caballito hat folgendes geschrieben: | Jedes einzelne Intervall ist endlich klein, also im Grunde verdammt groß, weil es nämlich sogar unendlich viele Elemente hat.
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Das ist klar. Allerdings glaube ich dir dass nicht. Den ein unendlich kleines Intervall dürfte nur ein Element anstatt unendlich vieler haben. |
Bin zwar reichlich eingerostet aber der Beweis ergibt sich doch zwinged aus deinen Voraaussetzungen und der Def von R
Sei [a,b] dein unendliche kleines Intervall mit c als einzigem Element. Wegen a,b,c ε R müssen notwendigerweise c<sub>1</sub> und c<sub>2</sub> existieren mit a<c<sub>1</sub><c und c<c<sub>2</sub><b usw...
Die I-Schachtelung geht also noch weiter bei deinem unendlichen kleien INtervall.
Zuletzt bearbeitet von Sehwolf am 23.10.2006, 22:11, insgesamt einmal bearbeitet |
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matthias
Gefährder
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 1386
Wohnort: Rechts der Böhme
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| (#589036) Verfasst am: 23.10.2006, 22:02 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert. |
Postuliert wird in der Regel nur, daß Intervallschachtelungen mindestens ein Element enthalten.
Der Ausdruck "genau ein" heißt nämlich "mindestens und höchstens ein".
Das läßt sich im übrigen nicht beweisen, sofern man keine zum Intervallschachtelungsaxiom äquivalenten Axiome benutzt (etwa Dedekindsche Schnitte oder Konstruktion der reellen Zahlen mittels Cauchyfolgen).
Ein gutes Beispiel (Eulersche Zahl):
Die Folge ([(1 + 1/n)^n, (1 + 1/n)^(n+1)]), n in N, ist eine Intervallschachtelung. Dazu zeigt man
(1+1/n)^n < (1 + 1/(n+1))^(n+1) < (1 + 1/(n+1))^(n+2) < (1 + 1/n)^(n+1), d. h.,
die Folge (a(n)) = ((1 + 1/n)^n) wächst streng monoton,
die Folge (b(n)) = ((1+1/n)^(n+1)) fällt streng monoton,
beide Folgen beschränken einander.
Mit dem Intervallschachtelungsaxiom läßt sich zeigen, daß monotone und beschränkte Folgen konvergieren (in der Menge der reellen Zahlen). Deswegen konvergieren beide Folgen, und zwar wegen (1 + 1/n)^(n+1) = (1 + 1/n)(1 + 1/n)^n gegen denselben Grenzwert (daraus folgt dann, daß die Intervallschachtelung höchstens eine Zahl enthält).
Allerdings ist der Grenzwert (die Intervallzahl) nicht rational. Dies beweist man am besten, indem man die Gleichheit
e := lim(n → ∞) (1 + 1/n)^n = lim(n → ∞) (1/0! + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!)
benutzt.
Wäre nämlich e rational, also e = a/b mit ganzen Zahlen a/b, dann würde für jedes k ≥ b gelten:
k!(a/b - 1/0! - 1/1! - ... - 1/k!) = k!/(k+1)! + k!/(k+2) + ...
Dabei ist die linke Seite eine ganze Zahl (da b|k! und m!|k!, falls m ≤ k), allerdings gilt für die rechte Seite:
0 < 1/(k+1) + 1/(k+1)(k+2) + 1/(k+1)(k+2)(k+3) + ... < 1/(k+1) + 1/(k+1)² + 1/(k+1)³ + ... = 1/k < 1 für k ≥ 2.
Widerspruch.
Obwohl es sich bei der Intervallschachtelung um rational begrenzte Intervalle handelt, ist die einzige in sämtlichen Intervallen enthaltene Zahl irrational; deswegen kann man das Intervallschachtelungsaxiom nicht aus den Axiomen der rationalen Zahlen ableiten.
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2008 – Jahr der Mathematik
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caballito
zänkisches Monsterpony
Anmeldungsdatum: 16.07.2003
Beiträge: 12112
Wohnort: Pet Sematary
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| (#589054) Verfasst am: 23.10.2006, 22:15 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: | Jedes einzelne Intervall ist endlich klein, also im Grunde verdammt groß, weil es nämlich sogar unendlich viele Elemente hat.
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Das ist klar. Allerdings glaube ich dir dass nicht. Den ein unendlich kleines Intervall dürfte nur ein Element anstatt unendlich vieler haben. |
Nochmals: Ein unendlich kleines Intervall ist nicht definiert ! Ein Intervall enthält stets eine epsilon-Umgebung mit epsilon echt grösser als 0 ! |
Na, na, nicht übers Ziel hinausschießen ... [x,x] ist auch ein Intervall Aber dazu muss eben x schon in der Grundmenge sein.
Will letztlich heißen: natürlich gibt es Intervalle, die nur einen Punkt enthalten. Aber nicht in jede Intervallschachtelung passt so eins. Dass es welche gibt, wo keins reinpasst, ist ja gerade das Problem mit Q.
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Die Gedanken sind frei.
Aber nicht alle Gedanken wissen das.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#589055) Verfasst am: 23.10.2006, 22:17 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| matthias hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert. |
Postuliert wird in der Regel nur, daß Intervallschachtelungen mindestens ein Element enthalten.
Der Ausdruck "genau ein" heißt nämlich "mindestens und höchstens ein" |
Bleibt egal, da wir höchstens eins bewiesen haben(abgesehen davon das unser Axiomensystem unnötig groß ist)
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Trish:(
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Sehwolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 26.03.2006
Beiträge: 10077
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| (#589058) Verfasst am: 23.10.2006, 22:21 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | matthias hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert. |
Postuliert wird in der Regel nur, daß Intervallschachtelungen mindestens ein Element enthalten.
Der Ausdruck "genau ein" heißt nämlich "mindestens und höchstens ein" |
Bleibt egal, da wir höchstens eins bewiesen haben(abgesehen davon das unser Axiomensystem unnötig groß ist) |
Häh
Wenn ihr bewiesen habt dass es mindestesn eins gibt und höchstens eins dann habt ihr doch bewiesen dass es gibt.
Und mach dich mal locker was die Größe eures Axiomensystems angeht. Ist dann später doch 'ne dankbare Übungsaufgabe (Beweisen sie den Satz ohne die Voraussetzung xy und/oder z).
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#589060) Verfasst am: 23.10.2006, 22:21 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| caballito hat folgendes geschrieben: |
Na, na, nicht übers Ziel hinausschießen ... [x,x] ist auch ein Intervall Aber dazu muss eben x schon in der Grundmenge sein. |
Dadurch hätte, dass Intervall aber die Länge null, wäre also nicht unendlich klein(wir wissen was gemeint ist)sondern hätte Länge null.
_________________
Trish:(
Zuletzt bearbeitet von Wolf am 23.10.2006, 22:23, insgesamt einmal bearbeitet |
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#589063) Verfasst am: 23.10.2006, 22:23 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Sehwolf hat folgendes geschrieben: |
Und mach dich mal locker was die Größe eures Axiomensystems angeht. |
Ich sagte ja, dass ich es unnöigerweise ins Axiomensystem gepackt hab.
P.S.:Mindestens 1haben wir nicht bewiesen, daran scheitere ich ja den ganzen Thread lang schon.
_________________
Trish:(
Zuletzt bearbeitet von Wolf am 23.10.2006, 22:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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matthias
Gefährder
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Wohnort: Rechts der Böhme
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| (#589064) Verfasst am: 23.10.2006, 22:24 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | caballito hat folgendes geschrieben: |
Na, na, nicht übers Ziel hinausschießen ... [x,x] ist auch ein Intervall Aber dazu muss eben x schon in der Grundmenge sein. |
Dadurch hätte, dass Intervall aber die Länge null, wäre also nicht unendlich klein(wir wissen was gemeint ist)sondern hätte gar keine Länge. |
Na und?
Laut Definition ist ([1,1]), n in N, eine Intervallschachtelung.
_________________
2008 – Jahr der Mathematik
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Wolf
registrierter User
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Wohnort: Zuhause
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| (#589066) Verfasst am: 23.10.2006, 22:26 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| matthias hat folgendes geschrieben: |
Na und? |
Es sollte doch ein unendlich kleines Intervall darstellen oder?
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Trish:(
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matthias
Gefährder
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 1386
Wohnort: Rechts der Böhme
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| (#589074) Verfasst am: 23.10.2006, 22:37 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Es sollte doch ein unendlich kleines Intervall darstellen oder? |
Immer diese Schwurbelbegriffe. (Nichts gegen Dich …)
In der Nichtstandardanalysis kannst Du so was wie infinitesimale Abtände betrachten. (Oder Du schaust mal unter http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom)
Oder wir reden über Mengen vom (Lebesgue-)Maß 0.
_________________
2008 – Jahr der Mathematik
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#589086) Verfasst am: 23.10.2006, 22:46 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| matthias hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | Es sollte doch ein unendlich kleines Intervall darstellen oder? |
Immer diese Schwurbelbegriffe. |
Mir ist nur nicht ganz klar, was Caba... aussagen wollte. Habe mich wohl zu viel mit Schwurbelbegriffe beschäftigt.
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Trish:(
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Mario Hahna
aktiviert
Anmeldungsdatum: 04.04.2005
Beiträge: 9607
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| (#589087) Verfasst am: 23.10.2006, 22:48 Titel: |
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Wie kann man sich nur freiwillig mit sowas beschäftigen.
Aua aua aua!
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#589094) Verfasst am: 23.10.2006, 22:53 Titel: |
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| Thao hat folgendes geschrieben: | Wie kann man sich nur freiwillig mit sowas beschäftigen.
Aua aua aua! |
Du spricht schon wieder über Jus. Da geb' ich dir Recht.
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Trish:(
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ralfkannenberg
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.05.2006
Beiträge: 227
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| (#589134) Verfasst am: 23.10.2006, 23:33 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| caballito hat folgendes geschrieben: | | ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Nochmals: Ein unendlich kleines Intervall ist nicht definiert ! Ein Intervall enthält stets eine epsilon-Umgebung mit epsilon echt grösser als 0 ! |
Na, na, nicht übers Ziel hinausschießen ... [x,x] ist auch ein Intervall Aber dazu muss eben x schon in der Grundmenge sein.
Will letztlich heißen: natürlich gibt es Intervalle, die nur einen Punkt enthalten. Aber nicht in jede Intervallschachtelung passt so eins. Dass es welche gibt, wo keins reinpasst, ist ja gerade das Problem mit Q. |
Echt ? Es gibt ein-punktige Intervalle ? Gibt es auch leere Intervalle ? Ist ja letztlich eine Sache der Definition ...
Freundliche Grüsse, Ralf
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caballito
zänkisches Monsterpony
Anmeldungsdatum: 16.07.2003
Beiträge: 12112
Wohnort: Pet Sematary
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| (#589180) Verfasst am: 24.10.2006, 00:31 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| ralfkannenberg hat folgendes geschrieben: | | Echt ? Es gibt ein-punktige Intervalle ? |
Klar gibts die. Solange sie nicht offen sein müssen
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Die Gedanken sind frei.
Aber nicht alle Gedanken wissen das.
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Critic
oberflächlich
Anmeldungsdatum: 22.07.2003
Beiträge: 16339
Wohnort: Arena of Air
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| (#589187) Verfasst am: 24.10.2006, 00:40 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Thao hat folgendes geschrieben: | Wie kann man sich nur freiwillig mit sowas beschäftigen.
Aua aua aua! |
Du spricht schon wieder über Jus. Da geb' ich dir Recht. |
Je nachdem, was man macht, muß man sich mit dem Einen oder Anderen nebenher beschäftigen. Für natur- und ingenieurwissenschaftliche Fächer ist ja so und soviel Mathe Pflichtprogramm. Bei mir waren's auch drei Vorlesungen Mathe. Und die nach mir Angefangenen (neue DPO) müssen sich dann beizeiten noch mit Logik und "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik" rumschlagen.
Ansonsten hat Moliere ja auch erst Tapezierer gelernt und danach die Rechte studiert, bevor er zu schreiben anfing...
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"Die Pentagon-Gang wird in der Liste der Terrorgruppen geführt"
Dann bin ich halt bekloppt. 
"Wahrheit läßt sich nicht zeigen, nur erfinden." (Max Frisch)
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cptchaos
kritischer Rationalist
Anmeldungsdatum: 17.07.2006
Beiträge: 304
Wohnort: Hamburg
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| (#591567) Verfasst am: 26.10.2006, 22:57 Titel: Re: Intervallverschachtelung |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | Heute in der Uni Intervallverschachtelung (in R) gemacht.
(Kurze umgangssprachliche Erklärung: In jedes Intervall gibt man ein kleineres sodass die Länge des Intervalls gegen Null geht)
Wir haben bewiesen dass die Intervalle höchstens 1 Element teilen.
Allerdings haben wir, dass sie genau ein Element besitzen postuliert.
Meinem Gefühl nach lässt sich dies allerdings beweisen.
(1)Ich setze voraus: dass es zwischen jeden zwei reelen Zahlen sofern sie nicht ident sind, eine reele Zahl gibt.
Wir haben ein beliebig kleines Intervall (a,b):={x e RI a<x<b}
Aus (1) folgt dass es ein c gibt mit a<c<b Ist unser Intervall unendlich klein gibt es dennoch ein Element c, welches enthalten ist.
Jetzt wäre noch zu zeigen, dass das Element c von unserem unendlich kleinen Intervall in jedem anderen enthalten ist. Was ja (meine Eindruck nach) durch die Definition( Iindexn umfasst Iindexn+1) bewiesen ist(hier bin ich mir nicht sicher). |
ich bin mir nich ganz sicher ob ich dich richtig verstanden habe.
Aber was ihr gezeigt habt, ist sicherlich folgendes:
sei: I_1, I_2, .... eine folge von Intervallen aus R
mit einer Eigenschaft derart, dass
ein lambda aus (0,1) existiert, derart
dass für alle i gilt: | I_{i-1} | < Lambda * | I_i |
(d.h. die länge gegen Null geht)
Dann gilt folgendes:
Der durchschnitt all dieser Intervalle (aus R) enthällt genau einen Punkt in R.
Das ist eine einfache form des Bannachschen Fixpunktsatzes.
Die eindeutigkeit kann man so zeigen:
(Widerspruchsbeweis)
Angenommen es gibt einen weitern punkt c' /= c in dem Durchschnitt aller Inervalle.
Dann ist, die länge des Intevalls welches aus dem durchschnitt aller entstanden ist mindestens d := | c-c' |. (*)
Nun gibt es aber ein i, für das |I_i| < d gilt. (da die Intervallängen sonst nicht zu null laufen würden).
Demnach ist also auch der Duchschnit aller intervalle kleiner d.
Wiederspruch zu (*) !
grüße Eike
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L.E.N.
im falschen Film
Anmeldungsdatum: 25.05.2004
Beiträge: 27745
Wohnort: Hamburg
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| (#592075) Verfasst am: 27.10.2006, 20:20 Titel: |
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schon wieder neinnnn.
ich dachte naiverweise hier ginge es um "zu-fuß-ausrechnen" von wurzeln.
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Ich will Gott lästern dürfen! Weg mit §166 StGB!
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