Definition einer Hyperbel

[Seine.Heiligkeit]

Grüß euch liebe Freigeister!

Eine Frage beschäftigt mich schon seit längerer Zeit:

Eine Hyperbel in der Mathematik ist definiert als die Menge aller Punkte für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten auf der Hauptachse, den so genannten Brennpunkten F1 und F2, konstant gleich 2a ist.
Theoretisch würde diese Definition ja auch für alle Punkte er y-Achse gelten, also der Geraden x=0.
Ich weiß, dass es Blödsinn ist, dass 2a Null seien sollte, aber verlangt man in der Mathematik nicht nach Definitionen, die eindeutig sind und keine Ausnahmen zulassen?

lg Seine.Heiligkeit

[esme]

Bei der Definition einer Hyperbel sollte man also dazu sagen, dass die Differenz positiv ist. Richtig, brav, sonst noch was? Ach, bei wikipedia steht das nicht? Dann besser es aus, wenn du dich traust. In deiner Formelsammlung steht das nicht? Willkommen in der Realität der unpräzisen Formelsammlungen.

In der Mathematik macht es aber durchaus oft Sinn, derartige degenerierte Fälle zuzulassen. Eine Gerade ist dann zum Beispiel ein Kreis, deren Mittelpunkt ins Unendliche gewandert ist. Weitere Fragen?

(In einer *Definition* solltest du von Hauptachse eigentlich besser nicht sprechen, die ist erstens noch gar nicht definiert und das Wort suggeriert bereits, dass es sich um eine Symmetrieachse handelt, deren Existenz nach erfolgter Definition erst zu beweisen ist.)
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Gunkl über Intelligent Design:
Da hat sich die Kirche beim Rückzugsgefecht noch einmal grandios verstolpert und jetzt wollen sie auch noch Haltungsnoten für die argumentative Brez'n, die sie da gerissen haben.

[jagy]

Wo wir gerade dabei sind:

Gibt es einen Grund, dass Parallelen so definiert sind, dass sie sich in der Unendlichkeit schneiden?
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INGLIP HAS BEEN SUMMONED - IT HAS BEGUN!

[Wolf]

[jagy]

[Wolf]

[jagy]

Das heißt, wenn man sagt, dass sich Parallelen in der Unendlichkeit schneiden, meint man nicht mehr, als dass sich wie auf dem Bild zB die Lichtlinien in der Unendlichkeit "schneiden"?



Also ist das quasi nur eine "Metapher" um die Unvorstellbarkeit von Unendlichkeit auszudrücken oder so?
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INGLIP HAS BEEN SUMMONED - IT HAS BEGUN!

[Wolf]

[jagy]

Kann ich mir das so vorstellen, dass das einfach 2 völlig verschiedene Dinge sind, die auf verschiedenen Grundannahmen beruhen?

Wie z.B. dass in einer Ebene ein Dreieck niemals mehr als einen rechtwinkligen Winkel hat, auf einer Kugel aber durchaus Dreiecke mit 3 rechtwinkligen Winkeln möglich sind?
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INGLIP HAS BEEN SUMMONED - IT HAS BEGUN!

[esme]

[Yogosh]

Schnittpunkt von parallenen Geraden im Unendlichen durch Hinzunahme von Fernpunkten...
Ich versuch es mal ohne Diagramme zu erläutern:

Stell Dir eine geometrische Ebene vor. In dieser Ebene gilt die ganz normale Geometrie mit Parallelenaxiom (zu jeder Geraden G und jedem Punkt P, der nicht auf der Geraden liegt gibt es genau eine Gerade H durch P, die keinen Schnittpunkt mit G hat), Summe der Dreieckswinkel ist 180°. In dieser Ebene gilt die euklidische Geometrie (das ist fast die, die man so kennt). Ausserdem sehen Geraden wie gerade Striche aus. Das ist Sicht 1.

Jetzt wechseln wir in Sicht 2, ins dreidimensionale, die ebenfalls euklidisch ist. Irgendwo in diese Ebene setzt Du eine Kugel, deren Südpol die Ebene berührt. Ihr Radius ist wurscht. Man definiert sich eine beidseitig eindeutige Abbildung aller Punkte der Ebene auf die Punkte der Kugel ausser dem Nordpol. Das heisst, dass man zu jedem Punkt auf der Ebene genau einen Punkt auf der Kugeloberfläche bestimmt und umgekehrt. Das macht man wie folgt: Zu einem Punkt P in der Ebene zieht man eine Linie zum Nordpol. Diese Linie schneidet die Kugel irgendwo südlich des Nordpols. Und dieser Punkt ist P', der Partnerpunkt von P auf der Kugel. Will man zu einem Punkt P' auf der Kugel den Punkt in der Ebene finden, zieht man halt die Linie vom Nordpol zu P', verlängert die und schneidet die Ebene in dem Partnerpunkt P. Der Nordpol ist der einzige Punkt, der keinen Partner abbekommt. Und gegen Norden hin werden die Punkte sozusagen immer dichter. Ein Gitter in der Ebene würde auf die Kugel gewickelt, aber nach Norden hin würden die Gitterfenster immer kleiner. Unendlich klein, d.h. beliebig klein aber immer noch mit positiver Länge. Die Südkante ist dort oben immer ein Tacken länger als die Nordkante.

Jetzt wechseln wir zu Sicht 3, der Kugeloberfläche ausser dem Nordpol. Und wir definieren Dreiecke, Kreise, Geraden etc. (also eine komplette Geometrie) wie folgt: eine Punktmenge auf der Kugeloberfläche ist ein Dreieck, ein Kreis, eine Gerade genau dann wenn ihre Partnerpunkmenge in der Ebene ein Dreieck, ein Kreis, eine Gerade ist. Kurz: wir definieren einfach eine ziemlich verrückte Geometrie auf der Kugeloberfläche mit Hilfe der bekannten Geometrie in Sicht 1 und der beidseitig eindeutigen Abbildung aus Sicht 2.
Die Dinger auf der Kugel sehen nicht mehr so aus, wie wir das kennen. Alle Geraden in Sicht 3 sind zum Beispiel fast Kreise in Sicht 2. Kreise, weil sie rund sind. Nur 'fast', weil sie alle in den Nordpol zu laufen scheinen, der aber nicht mitspielt. Das Parallelenaxiom gilt weiterhin. Selbst die Winkelsumme im Dreieck ist noch 180°. Warum? Weil wir definieren, dass ein Winkel in Sicht 3 immer genauso bemessen wird wie der entsprechende Winkel in Sicht 1. Das ist wohlgemerkt nicht die normale Definition eines Winkels auf einer Kugeloberfläche wie man ihn in einer Kugeloberflächengeometrie definiert mit der man keine freakigen Spielchen spielen will, sondern etwa den kürzesten Weg von Paris nach New York berechnen möchte.

Jetzt wechseln wir zu Sicht 4: Wir nehmen zu Sicht 3 den Nordpol mit dazu und sagen einfach, dass alle Geraden in Sicht 3 als Bonus noch den Nordpol bekommen. Das bietet sich an, weil sie ohnehin alle in diesen hineinlaufen. Und damit schneiden sich komplett alle Geraden im Nordpol. Unter anderem auch die parallelen Geraden, die vorher gar keinen Schnittpunkt hatten. Alle anderen Geradenpaare haben jetzt zwei Schnittpunkte.

Presto: wir haben eine nicht-euklidische Geometrie konstruiert, in der sich alle Geraden schneiden. Und zwar in einem Punkt, zu dem es in der Ebene keine Entsprechung gibt.

Diese Konstruktion ist ein (wie ich finde) schönes Modell für eine Geometrie in der sich alle Geraden in einem Punkt schneiden. Den kann man jetzt UNENDLICH, Nirvana, Nordpol oder Heinrich nennen. Warum finde ich dieses Modell schön? Weil es elegant ist, die Hinzunahme des Fernpunktes motiviert und natürlich erscheinen lässt und vor allem weil es sämtliche Mystik aus der ganzen Sache nimmt.
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"If the King's English was good enough for Jesus Christ, it's good enough for the children of Texas!" - Miriam Amanda "Ma" Ferguson, Governor of Texas, als Begründung gegen Spanischunterricht

[Lamarck]

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