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Naturwissenschaftliche Fragen
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 20756
Wohnort: Germering

Beitrag(#1940814) Verfasst am: 10.08.2014, 22:29    Titel: Re: Big Bang oder Black Hole? Antworten mit Zitat

Xing xiao jie hat folgendes geschrieben:
Ist der Kosmos, wie wir ihn kennen, nicht mehr als eine dreidimensionale 'Fata Morgana' von einem kollabierenden Stern, in einem Universum grundlegend anders als unser eigenes? Geschockt

Nette Idee. Das schöne ist, daß 4D-BHs (...) nur sehr wenige Freiheitsgrade haben und man daher schöne Überprüfungen dieser Theorie anstellen kann.
_________________
Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.
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kereng
transnixtunisch



Anmeldungsdatum: 12.12.2006
Beiträge: 2444
Wohnort: Hamburg

Beitrag(#1940875) Verfasst am: 11.08.2014, 07:47    Titel: Re: Big Bang oder Black Hole? Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
4D-BHs

Ist das eine Körbchengröße?
_________________
Was rennst du so, Gilgamesch?
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step
registriert



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 20756
Wohnort: Germering

Beitrag(#1940893) Verfasst am: 11.08.2014, 10:06    Titel: Re: Big Bang oder Black Hole? Antworten mit Zitat

kereng hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
4D-BHs
Ist das eine Körbchengröße?

Ja, für schwarze Löcher.
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.
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beefy
Be Vieh
Foren-Admin



Anmeldungsdatum: 24.09.2008
Beiträge: 5590
Wohnort: Land der abgehärteten Seelen

Beitrag(#1956328) Verfasst am: 10.10.2014, 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Eigentlich eher eine Frage an Einod - und Landbewohner :

Ist es normal daß man mitten im "Nirgendwo" plötzlich einer riesigen Schafherde (Heidschnuckenmäßig- 200-300 Tiere ) ohne "Betreuer" begegnen kann?

Die waren die zehn Minuten die ich sie beobachtet habe ständig in eine Richtung unterwegs, und kein Mensch oder Köter weit und breit zu sehen. Eingezäunt war nichts und dafür nicht weit entfernt ein ehemaliges Mil.-Übungsgelände mit Betreten verboten Explosionsgefahr Schildern.

Minenräumung? Am Kopf kratzen
_________________
Wenn der Berg nicht zum Propheten kommt, tanzen die Mäuse auf dem Tisch.
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Murphy
auf eigenen Wunsch deaktiviert



Anmeldungsdatum: 29.04.2011
Beiträge: 5000

Beitrag(#1956416) Verfasst am: 11.10.2014, 04:04    Titel: Antworten mit Zitat

Also hinter meinem Fernseher hat eine Spinne ein Netz gebaut. Kein symetrisches, sondern so ein Geflecht, es war ne kleine Spinne. Und jedenfalls ich dacht mir so 'Die fängt doch da nie was' und hab ein paar Tage so zugeschaut und die hat auch wirklich nie was gefangen. Dann hab ich irgendwann ne Fliege gefangen und in das Netz fallen lassen. Die Spinne war etwas kleiner als die Fliege, aber sie hat sie trotzdem gepackt und tot gebissen und ein Stückchen rechts davon wo ich sie reingeschmissen hab aufgehängt. Dann war die Spinne ne zeitlang weg und hat sich dann irgendwann wieder in das Netz gesetzt, dort wo die Fliege ursprünglich hineingefallen war. Aber sie hat sich nicht mehr bewegt und so und nachdem ich mir das zwei Tage so angeschaut hab, bin ich dann mal hingegangen und hab so hingepustet, weil ich wissen wollte, ob die Spinne überhaupt noch lebt. Die ist dann runtergefallen wie ein Stein und seitdem hab ich sie nicht mehr gesehen, das ist jetzt glaub ich schon ne Woche her - ich befürchte das Schlimmste.
Was ist da los? Hat sich die Spinne tot gefressen? Oder reicht ihr das bis zur Rente und sie lebt jetzt lieber hinterm Schrank? War das schlecht sie zu füttern? Oder was ist los?
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 20756
Wohnort: Germering

Beitrag(#1956447) Verfasst am: 11.10.2014, 12:21    Titel: Antworten mit Zitat

Könnte es sein, daß die Spinne einfach gestorben ist? Sie muß ja nicht verhungert sein ...
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Murphy
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Anmeldungsdatum: 29.04.2011
Beiträge: 5000

Beitrag(#1956487) Verfasst am: 11.10.2014, 15:32    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Könnte es sein, daß die Spinne einfach gestorben ist? Sie muß ja nicht verhungert sein ...

Ja, aber gerade dann, wenn sie einen dicken, fetten Brocken zu fressen hat? Du meinst da besteht kein ursächlicher Zusammenhang? Hm.. könnte sein. Naja, vielleicht hab ich ihr damit wenigstens ein bisschen den Lebensabend versüßt. Weinen
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armer schlucker
pleite



Anmeldungsdatum: 09.01.2009
Beiträge: 1233
Wohnort: wo die Hosen Husen haßen und die Hasen Hosen haßen

Beitrag(#1958140) Verfasst am: 16.10.2014, 22:20    Titel: Antworten mit Zitat

War das wirklich die Spinne, oder ist da nur die Haut runter gefallen?
In alten Netzen liegen oft die Häute, wenn sich eine Spinne gehäutet hat, und die sehen manchmal aus wie tote Spinnen.
Könnte ja sein, das die nach der Mahlzeit gewachsen ist und ihr die Haut nicht mehr gepaßt hat.
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Die Philosophen haben die Welt verschieden interpretiert, es kommt aber darauf an, sie zu verschonen!
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armer schlucker
pleite



Anmeldungsdatum: 09.01.2009
Beiträge: 1233
Wohnort: wo die Hosen Husen haßen und die Hasen Hosen haßen

Beitrag(#1958145) Verfasst am: 16.10.2014, 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

An die Astrophysiker hier:

Wenn Sterne aus Altersgründen explodieren, schleudern sie Materie ins All.
Diese Materie enthält schwere Elemente, die sich im Laufe des Lebens angesammelt haben.
Wenn diese Materie sich nun später wieder zusammenballt und einen neuen Stern bildet, sind ja dann die schweren Elemente schon von Beginn an in dem neuen Stern enthalten.
Welche Auswirkungen hat das auf diesen neuen Stern? Lebt er dann kürzer, länger oder was sonst?
Natürlich ist mir klar, das das auch noch von anderen Dingen abhängt (Masse), aber so über den Daumen gepeilt würde ich das gern mal wissen wollen.
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Smode
registrierter User



Anmeldungsdatum: 13.06.2013
Beiträge: 308

Beitrag(#1967512) Verfasst am: 26.11.2014, 15:45    Titel: Siede- und Gefrierpunkt von Salzwasser Antworten mit Zitat

Mich beschaeftigt schon seit laengerem die Frage warum die Zugabe von Salz zu Wasser den Gefrierpunkt erniedrigt und gleichzeitig den Siedepunkt erhoeht. Das spricht gegen meine Intuition. Habe noch keine befriedigende Antwort, die mir diese Diskrepanz wegerklaert gehoert, deshalb versuch ich es hier.

Entweder ich liege falsch in der Annahme, dass das Vermischen zweier Stoffe Gefrier und Siedpunkt in dieselbe Richtung auf der Skala verschieben sollten (chemie ist schon ein bisschen her Verlegen )

oder

es haengt an der dipolaritaet?

hier angehängt - astarte
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Every man takes the limits of his own field of vision for the limits of the world.
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Alchemist
Luminous beings are we, not this crude matter.



Anmeldungsdatum: 03.08.2004
Beiträge: 21255
Wohnort: Hamburg

Beitrag(#1967515) Verfasst am: 26.11.2014, 15:51    Titel: Re: Siede- und Gefrierpunkt von Salzwasser Antworten mit Zitat

Smode hat folgendes geschrieben:
Mich beschaeftigt schon seit laengerem die Frage warum die Zugabe von Salz zu Wasser den Gefrierpunkt erniedrigt und gleichzeitig den Siedepunkt erhoeht. Das spricht gegen meine Intuition. Habe noch keine befriedigende Antwort, die mir diese Diskrepanz wegerklaert gehoert, deshalb versuch ich es hier.

Entweder ich liege falsch in der Annahme, dass das Vermischen zweier Stoffe Gefrier und Siedpunkt in dieselbe Richtung auf der Skala verschieben sollten (chemie ist schon ein bisschen her Verlegen )

oder

es haengt an der dipolaritaet?



Kennst du die Größe des "chemischen Potentials"?

Um eine Erklärung für das Phänomen zu bekommen, wirst du um ein wenig Thermodynamik nciht herumkommen
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"Does anybody remember laughter?"
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Vobro
Privatnachdenker



Anmeldungsdatum: 10.11.2011
Beiträge: 1024
Wohnort: Wuppertal

Beitrag(#1968409) Verfasst am: 30.11.2014, 12:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich wollte mal fragen, was Ihr davon haltet, was etwa den Zusammenhang zwischen freiem Willen und der Existenz von Paralleluniversen betrifft.

Ich dachte bisher immer, die Frage nach dem freien Willen, oder dem Willen überhaupt, sei eine Frage, die auf der Ebene der Psychologie behandelt wird, oder der Neurobiologie und der Bewußtseinsphilosophie.

Und gibt es inzwischen eine Lösung für den "kalten Fleck"?

http://www.freiehonnefer.de/superloch-im-all-paralleluniversum-entdeckt.htm
_________________
"Es gibt so stumpfsinnige Menschen, dass jeder Gedanke, der auf der Oberfläche ihres Gehirns aufginge, sogleich aus Einsamkeit Selbstmord begehen würde." - Emile Cioran
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Hatiora
sukkulent



Anmeldungsdatum: 16.09.2012
Beiträge: 4896
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Beitrag(#2023724) Verfasst am: 03.10.2015, 12:47    Titel: Antworten mit Zitat

heute morgen kam mir der gedanke, ob irrationale zahlen viellecht nur deshalb auftreten, weil unser (dezimal-)zahlensystem so eingeschränkt ist. mal ganz ehrlich, wenn man seine finger als basis für die mathematik nimmt, was kann da schon bei rauskommen.. zwinkern

sind zahlensysteme vorstellbar, in denen irrationale zahlen kaum oder gar nicht auftreten?
und könnten wir mit diesen zahlensystemen im alltag was anfangen, oder müsste dazu erst unser gehirn weiter entwickelt sein?

(ich bin kein mathematiker)
_________________
"Daß alles immer schlimmer wird, versteht sich auch im neuen Jahr von selbst und hat noch immer nichts mit Verschwörung zu tun, sondern mit allen, die ihre Arbeit nach bestem Wissen und Gewissen verrichten." Gärtners kritisches Sonntagsfrühstück.
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Er_Win
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Anmeldungsdatum: 31.01.2008
Beiträge: 4482

Beitrag(#2023729) Verfasst am: 03.10.2015, 13:05    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
heute morgen kam mir der gedanke, ob irrationale zahlen viellecht nur deshalb auftreten, weil unser (dezimal-)zahlensystem so eingeschränkt ist. mal ganz ehrlich, wenn man seine finger als basis für die mathematik nimmt, was kann da schon bei rauskommen.. zwinkern

sind zahlensysteme vorstellbar, in denen irrationale zahlen kaum oder gar nicht auftreten?
und könnten wir mit diesen zahlensystemen im alltag was anfangen, oder müsste dazu erst unser gehirn weiter entwickelt sein?

(ich bin kein mathematiker)


ich bin Mathematiker und muss gestehen: ich verstehe deine Frage nicht so wirklich skeptisch

Mathematik ist eine sinnvolle Abstraktion, die aus Betrachtungen über Abzählbarkeit, Teilbarkeit, Unterscheidbarkeit, Beschreibung von Geometrien entstand ...

Und es gibt doch sowieso eine Menge unterschiedlicher Zahlenbereiche - schon mit den "natürlichen Zahlen" kann man im Alltag jede Menge Sinnvolles anstellen...


Zuletzt bearbeitet von Er_Win am 03.10.2015, 19:00, insgesamt einmal bearbeitet
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Hatiora
sukkulent



Anmeldungsdatum: 16.09.2012
Beiträge: 4896
Wohnort: Frankfurt

Beitrag(#2023744) Verfasst am: 03.10.2015, 14:10    Titel: Antworten mit Zitat

Er_Win hat folgendes geschrieben:


ich bin Mathematiker und muss gestehen: ich verstehe deine Frage nicht so wirklich skeptisch



Ausgangspunkt meiner Frage ist, dass ich Ergebnisse wie 1/3=0,3333 (Periode3) schon immer hässlich fand.
Und die Kreiszahl pi ist eine Zumutung.
Es will mir nicht ganz in den Kopf, dass man sich diese Zahlen ja doch "irgendwie" vorstellen, sie aber zumindest mit unserem gängigen Alltags-Zahlensystem nicht "vernünftig" darstellen kann.

Wahrscheinlich beruht meine Abneigung darauf, dass ich zur Zeit meines Abis in Mathe eher schlecht war und mich auch nicht dafür interessiert habe und zwischendrin war kein Bedarf für höhere Mathematik. So blieb Mathematik in meinem Kopf sehr lange als Gebiet verankert, auf dem ich nur Niederlagen erzielen kann.
Aber da ich mich jetzt aus Spass an der Freude für alles Mögliche interessieren kann und keine Tests schreiben muss, hat auch hier die Scheu abgenommen..

Im Moment bin ich jetzt durch Googlen bei den Komplexen und Irrationalen Zahlen gelandet. Vor allem diese Zitat finde ich sehr interessant:

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Komplexe_Zahlen.html hat folgendes geschrieben:
Es hat sich gezeigt dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.


Das spiegelt ein Phänomen wieder, das mir in Chemie und Biologie auch begegnet:
die Realität ist eben nicht das, was wir als Alltagswissen bezeichnen, sondern sie ist viel komplexer, und die Beschreibungen/Vereinfachungen, mit denen wir unseren Alltag bewältigen, sind immer unzulänglich.
_________________
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smallie
Mädchen.



Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 2678

Beitrag(#2023787) Verfasst am: 03.10.2015, 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
heute morgen kam mir der gedanke, ob irrationale zahlen viellecht nur deshalb auftreten, weil unser (dezimal-)zahlensystem so eingeschränkt ist. mal ganz ehrlich, wenn man seine finger als basis für die mathematik nimmt, was kann da schon bei rauskommen.. zwinkern

sind zahlensysteme vorstellbar, in denen irrationale zahlen kaum oder gar nicht auftreten?

Erst mal zu den Fingern:

die alten Babylonier rechneten im 12er oder 60iger-System. Das ist uns bis heute bei Stunden und Minutenangaben erhalten geblieben. Unser moderne Schreibweise im 10er-Positionssystem stammt aus Indien, etwa 600 oder 800 der Zeitrechnung. Warum die Inder kein 12er-Positionssystem gebaut haben, weiß ich nicht.

Der Vorteil des Positionssystems gegenüber einem Symbolsystem, wie den römischen Zahlen, zeigt sich hier:

Code:

 1234
- 123
 ====
 1111


Code:

MCCXXXIV
- CXXIII
========
    MCXI


Das Positionssystem erlaubt es, Rechnungen einfach und "mechanisch" - also ohne viel Denkarbeit - auszuführen. Damit können Grundschüler heutzutage Aufgaben lösen, für die es vor 2000 Jahren einen Gelehrten gebraucht hätte.

Ob nun im 10er- oder 12er-System, oder im Binärsystem zur Basis 2 gerechnet wird - es kommt immer die gleiche Zahl heraus. Aber: das gilt nur für ganze Zahlen. Die Probleme beginnen, wenn auch gebrochene Zahlen dargestellt werden sollen.

    Im Zehnersystem ist 1/3 = 0,3333... nicht als Dezimalbruch darstellbar.
    Umgekehrt ist 0,1 (Basis 10) nicht im Binärsystem darstellbar, dort ist das 0,00011001100110011...


Hier bleibt nur die Bruchdarstellung, um eine Zahl in einer bestimmten Basis richtig hinschreiben zu können. Oder halt die Pünktchen ... als Stellvertretersymbol.

Soviel zu den rationalen Zahlen. Zu den Irrationalen Zahlen eine kurze Geschichte.


    PYTHAGORÄER

    Die Pythagoräer haben eins der ersten quantitativen Naturgesetze entdeckt: die Frequenz einer schwingenden Saite hängt von ihrer Länge ab; halbe Länge = doppelte Frequenz. Musikalische Harmonien oder Dissonanzen lassen sich als Brüche schreiben: 1/2, 2/3, ... In der Weltsicht der Pythagoräer standen diese Brüche für die Verhältnisse in der Welt. Siehe Tetraktys.

    Das Entsetzen der Phytagoräer muß groß gewesen sein, als ihnen auffiel, daß sich die Diagonale eines Quadrates nicht als Bruch schreiben läßt. Der Legende nach, wurde Hipasos, der Überbringer der schlechten Botschaft, auf offenem Meer über Bord geworfen.


Das Problem ist unabhängig von der gewählten Basis der Zahlendarstellung. Die Griechen dachten geometrisch, in Längenverhältnissen. Die Diagonale eines Quadrats läßt sich nicht als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen schreiben.



Was bedeutet etwas genauer betrachtet?

Code:

0         1         2
|         |         |


Das sollen die ganzen Zahlen von 0 bis 2 sein. Jetzt versuche ich, die Einteilung immer feiner und feiner zu machen:

Code:

0         1         2
|         |         |
|    |    |    |    |
| | | | | | | | | | |
|||||||||||||||||||||


Das kann ich machen, bis ich schwarz werde. Trotzdem wird die Fläche nie ganz schwarz werden. Zwischen den unendlich vielen Bruchzahlen liegen unendlich viel mehr andere Zahlen. Den Mathematikern ist das erst spät aufgefallen, Ende neunzehntes Jahrhundert. Stichwort Manigfaltigkeit: abzählbar Unendlich und überabzählbar Unendlich.
_________________
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Er_Win
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Anmeldungsdatum: 31.01.2008
Beiträge: 4482

Beitrag(#2023795) Verfasst am: 03.10.2015, 18:58    Titel: Antworten mit Zitat

sorry @smallie: aber du würfelst jetzt Zahlen(def.)bereiche...



recht wild mit deren Repräsentation in Zahlensystemen wie zB. dem Dezimalsystem durcheinander...

Und eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, was hat der jetzt zB. genau mit "abzählbarer Unendlichkeit" zu tun, welche definiert ist als Menge, die sich bijektiv auf die Menge der (unendlichen) natürlichen Zahlen abbilden läßt.
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Er_Win
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Anmeldungsdatum: 31.01.2008
Beiträge: 4482

Beitrag(#2023922) Verfasst am: 04.10.2015, 09:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Er_Win hat folgendes geschrieben:


ich bin Mathematiker und muss gestehen: ich verstehe deine Frage nicht so wirklich skeptisch



Ausgangspunkt meiner Frage ist, dass ich Ergebnisse wie 1/3=0,3333 (Periode3) schon immer hässlich fand.
Und die Kreiszahl pi ist eine Zumutung.
Es will mir nicht ganz in den Kopf, dass man sich diese Zahlen ja doch "irgendwie" vorstellen, sie aber zumindest mit unserem gängigen Alltags-Zahlensystem nicht "vernünftig" darstellen kann.


also ein ästhetisches "Problem" Lachen

Gerade Pi "die Kreiszahl" ist doch wunderschön - also geometrisch betrachtet und interessant zahlentheoretisch zwinkern

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Wahrscheinlich beruht meine Abneigung darauf, dass ich zur Zeit meines Abis in Mathe eher schlecht war und mich auch nicht dafür interessiert habe und zwischendrin war kein Bedarf für höhere Mathematik. So blieb Mathematik in meinem Kopf sehr lange als Gebiet verankert, auf dem ich nur Niederlagen erzielen kann.


das wäre möglich - zumindest war's bei mir eher umgekehrt...

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Im Moment bin ich jetzt durch Googlen bei den Komplexen und Irrationalen Zahlen gelandet. Vor allem diese Zitat finde ich sehr interessant:

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Komplexe_Zahlen.html hat folgendes geschrieben:
Es hat sich gezeigt dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.


Das spiegelt ein Phänomen wieder, das mir in Chemie und Biologie auch begegnet:
die Realität ist eben nicht das, was wir als Alltagswissen bezeichnen, sondern sie ist viel komplexer, und die Beschreibungen/Vereinfachungen, mit denen wir unseren Alltag bewältigen, sind immer unzulänglich.


mit der letzten Bemerkung rennst du bei mir zumindest offene Türen ein. Ich schrieb ja auch hier schon einige male, dass man nicht den Fehler machen sollte, "die Realität" mit der vereinfachten wissenschaftlichen Abstraktion zu verwechseln - insbesondere da nach dem jetzigen Stand der Abstraktion die gesamte "gut abgesicherte" Empirie sich auf läppische ca. 4-5% dessen was "sein soll" bezieht. Über den "dunklen Rest", gibt's so gut wie keine Empirie, ausser jener, die man "pöhswillig" genauso als "Konstrukt nötiger Fehlerkorrektur" bezeichnen könnte.
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Klaus-Peter
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Anmeldungsdatum: 10.01.2004
Beiträge: 1534

Beitrag(#2023944) Verfasst am: 04.10.2015, 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:


Ausgangspunkt meiner Frage ist, dass ich Ergebnisse wie 1/3=0,3333 (Periode3) schon immer hässlich fand.
Und die Kreiszahl pi ist eine Zumutung.
Es will mir nicht ganz in den Kopf, dass man sich diese Zahlen ja doch "irgendwie" vorstellen, sie aber zumindest mit unserem gängigen Alltags-Zahlensystem nicht "vernünftig" darstellen kann.


Ich finde es echt faszinierend, wenn Leute, die in der Schule in Mathe eher schlecht waren, in späteren Jahren anfangen, die großen alten Probleme der Mathematik selber neu zu entdecken und daran herumknobeln. Vielleicht sollte der Matheunterricht von Anfang an so aufgezogen werden.

Ich glaube im Gegensatz zu Erwin nicht, dass du nur ein "ästhetisches" Problem hast, sondern ich denke du bist auf das alte Problem der Pythagoreer gestoßen, wie das Smallie auch schon vermutet hat. Es ist also ein durchaus tieferliegendes mathematisches Problem, dessen letzten Baustein erst Ferdinand Lindemann im Jahr 1882 einsetzen konnte (Beweis der Transzendenz von Pi).

Ich versuche das aus etwas anderer Sicht noch einmal zu beleuchten.
Also, es gibt Ganze Zahlen, das sind die die man zählen kann ..., -3,-2,-1, 0,1,2,3, ...
Dann gibt es Zahlen, die man als Brüche von Ganzen Zahlen schreiben kann, das sind die sogenannten "Rationalen Zahlen". Also z.B. 1/2, 3/4, 781/976, und wie sie alle heißen. Smallie hat darauf hingewiesen, dass solche Brüche, wenn man sie als Kommazahlen in einem Zahlensystem schreibt, manchmal abbrechende Darstellungen ergeben, manchmal nicht abbrechende Darstellungen. Z.B. ist der Bruch 1/3 im Dezimalsystem 0,333..., aber im Dreiersystem ist er 0,1. Man kann aber beweisen, dass jeder Bruch entweder als abbrechende Dezimalzahl oder als periodische Dezimalzahl. Und das gilt in jedem Zahlensystem. Nicht nur im Dezimalsystem. Umgekehrt kann man jede Zahl, die eine abbrechende oder periodische Darstellung hat, in einen Bruch umwandeln. Zum Beispiel ist
0,123412341234.... = 1234/9999.

Nun gibt es aber andere Zahlen, zum Beispiel Wurzel(2). Diese Zahl ist das Verhältnis der Diagonale eines Quadrats und einer Seite, also auch etwas ganz Einfaches, Anschauliches. Nun kann man relativ leicht nachrechnen (wenn du willst, zeige ich es dir), dass Wurzel(2) in keinem Fall als Bruch zweier Ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Wurzel 2 ist eine sogenannte Irrationale Zahl. Und damit ist auch klar, dass Wurzel 2 in keinem denkbaren Zahlsystem abbrechend oder periodisch sein kann. Faszinierenderweise gibt es aber eine Darstellung von Wurzel 2 als "Periodischen Kettenbruch".
Wurzel 2 = 1+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ 1/ (2+ .....)))))))
Sorry, in Textschreibweise sieht das sehr hässlich aus, in einer gescheitten Darstellung hat das aber durchaus eine gewissen Ästhetik, siehe z.B. hier.
Alle "Quadratwurzeln", also alle Lösungen von quadratischen Gleichungen, in denen nur ganze Zahlen vorkommen (also solche Gleichungen, die mit der Mitternachtsformel zu lösen sind), können als periodische Kettenbrüche geschrieben werden.
Nun gibt es natürlich noch andere Arten von Wurzeln. Zum Beispiel dritte Wurzeln, 5te Wurzeln, usw. Die sind sogar als Kettenbrüche nicht-periodisch.
Und dann gibt es noch Zaheln wie zum Beispiel Pi. Diese Zahl ist zwar einfach "herzustellen": Sie ist das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises. Also einfach einen Kreis mit Durchmesser 1 cm einmal abrollen. Trotzdem kann die Zahl Pi nicht als irgendwie geartete Wurzel aus Ganzen Zahlen oder Brüchen dargestellt werden. Sie ist "transzendent". Das hat aber erst der oben genannte Herr Lindemann 1882 zeigen können.
Übrigens: Wenn die Zahl Pi in ihrer Dezimaldarstellung für dich eine ästhetische Zumutung ist, dann wird dir diese Darstellung vielleicht gefallen:
Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -+...
Diese Darstellung hat Leibniz im 1682 gefunden.
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Hatiora
sukkulent



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Beiträge: 4896
Wohnort: Frankfurt

Beitrag(#2023954) Verfasst am: 04.10.2015, 12:50    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für diese ausführliche Antworten! Sehr glücklich

Ich habe jetzt ein paar Stichworte, die ich weiter vertiefen muss, und das Durcheinander, was die Einteilung der Zahlen in Mengen angeht, ist auch schon ein wenig überschaubarer geworden.

Die Frage, die mich jetzt noch interessiert:
Was passiert, wenn man irrationale zahlen als basis für ein zahlensystem nimmt? stelle ich erst, wenn ich da ein bisschen mehr durchblicke, vielleicht finde ich heraus, warum das nonsens ist und bin dann froh, sie mir verkniffen zu haben.. zwinkern

Ich würde ja jetzt nach einem guten Mathebuch fragen, aber ich habe gelernt, dass die übliche Methode von Mathebüchern, den Stoff zu vermitteln, mir nicht weiterhilft:

"sehen wir uns einmal an:--das ist ein sogenannter blabla--- wenn wir jetzt.."

Mittlerweile denke ich, das liegt daran, dass bei dieser Art der Wissensvermittlung schon vorausgesetzt wird, man würde die Hintergründe verstehen, und was erklärt wird, ist lediglich die reine Arbeitstechnik:

wie beweise ich dies?
wie löse ich das?
wie lautet der Satz von xy?

Zwar auch oft gut zu wissen, aber wenn ich mich privat da ein wenig weiterbilden möchte, muss ich wohl den geschichtlichen Weg gehen und den Gedankenpfaden der historischen Mathematiker folgen.
Mein Gehirn benötigt immer eine Verknüpfung mit Bildern und Vorgängen, um etwas aufnehmen zu können, bei der reinen Abstraktion tut es sich schwer, und ich muss dann immer nach Wegen suchen, es zu überlisten.

(Das dauert auch immer sehr lange: herauszufinden, wie das eigene Gehirn funktioniert. Die Zeit sollte man sich aber nehmen.)
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Er_Win
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Anmeldungsdatum: 31.01.2008
Beiträge: 4482

Beitrag(#2023963) Verfasst am: 04.10.2015, 14:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:

Ich würde ja jetzt nach einem guten Mathebuch fragen, aber ich habe gelernt, dass die übliche Methode von Mathebüchern, den Stoff zu vermitteln, mir nicht weiterhilft:


ist jetzt nicht wirklich ein Mathebuch, sondern ein Skript meiner Heimat-Uni über die Historie, könnte aber was für dich sein und ist frei als PDF verfügbar:

http://www.uni-graz.at/~gronau/Gm.pdf
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Klaus-Peter
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Anmeldungsdatum: 10.01.2004
Beiträge: 1534

Beitrag(#2023965) Verfasst am: 04.10.2015, 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Ich würde ja jetzt nach einem guten Mathebuch fragen, aber ich habe gelernt, dass die übliche Methode von Mathebüchern, den Stoff zu vermitteln, mir nicht weiterhilft:

"sehen wir uns einmal an:--das ist ein sogenannter blabla--- wenn wir jetzt.."

Wenn das so ist, dann empfehle ich dir das Buch "Welt-Formeln - 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten" von Ian Stewart.

Deine Frage, was passiert, wenn man irrationale Zahlen als Basis nimmt, ist übrigens überhaupt nicht dumm. So funktioniert mathematische Forschung. Das Schlimmste, was dir passieren kann, ist, dass es nicht geht oder dass daraus keine spannende Mathematik wird. Aber das weißt du erst, wenn du die Frage gestellt und untersucht hast.

Ich habe mal mit Hilfe von Excel versucht, die Zahl 10 im Pi-System darzustellen.
10 = 100,01022122221121122001101... ein nicht periodischer unendlicher Pi-Bruch.
Rechne: 10 = 1*pi² + 0*Pi + 0*1 + 0*1/pi + 1*1/pi² + 0*1/pi³ ....
Man könnte aber 10 auch so darstellen:

10 = 30,12120110311002220211000210201202111100101022211...
10 = 30,12120111002213001203002221212220222022300210202...
10 = 30,12120111002213001203002221212220222022231020002...
10 = 30,12113122100201021202000030102223010220210100101...

Die Darstellung ist also nicht eindeutig. Was eine solche Darstellung ziemlich unschön macht. Du könnntest nicht einmal so einfach feststellen, ob zwei Zahlen gleich sind. Eindeutige Darstellungen bekommst du nur, wenn du eine ganzzahlige Basis nimmst. (und festlegst, dass 1,9999999.... immer als 2,0 geschrieben wird).
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 20756
Wohnort: Germering

Beitrag(#2023983) Verfasst am: 04.10.2015, 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Mein Gehirn benötigt immer eine Verknüpfung mit Bildern und Vorgängen, um etwas aufnehmen zu können, bei der reinen Abstraktion tut es sich schwer, und ich muss dann immer nach Wegen suchen, es zu überlisten.

Damit bist Du absolut kein Einzelfall. Meiner Ansicht nach sollten im Mathe-Unterricht noch viel mehr Visualisierungen und Geschichten verwendet werden. Übrigens gab es mal eine Studie, daß Matheverstehen besser geht, wenn zwischendurch schöne Fotos kommen, auch wenn die nix mit dem Thema zu tun haben.

Für beide Effekte zusammen (gute Visualisierung und Katzenfotos dazwischen) hier ein Beispiel - Erklärung des Satzes von Bayes, der ja nicht gerade intuitiv ist. Das nehme ich leicht verändert auch selbst gern her, wenn ich es jemandem erklären soll. Hier allerdings leider auf Englisch.

So You Want to Understand Bayes’ Theorem and/or Look at Photos of Cats
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Myron
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Beiträge: 2003

Beitrag(#2023985) Verfasst am: 04.10.2015, 17:42    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Hatiora hat folgendes geschrieben:
Mein Gehirn benötigt immer eine Verknüpfung mit Bildern und Vorgängen, um etwas aufnehmen zu können, bei der reinen Abstraktion tut es sich schwer, und ich muss dann immer nach Wegen suchen, es zu überlisten.

Damit bist Du absolut kein Einzelfall. Meiner Ansicht nach sollten im Mathe-Unterricht noch viel mehr Visualisierungen und Geschichten verwendet werden. Übrigens gab es mal eine Studie, daß Matheverstehen besser geht, wenn zwischendurch schöne Fotos kommen, auch wenn die nix mit dem Thema zu tun haben.

Für beide Effekte zusammen (gute Visualisierung und Katzenfotos dazwischen) hier ein Beispiel - Erklärung des Satzes von Bayes, der ja nicht gerade intuitiv ist. Das nehme ich leicht verändert auch selbst gern her, wenn ich es jemandem erklären soll. Hier allerdings leider auf Englisch.


Ein neuer SEP-Artikel:

The Epistemology of Visual Thinking in Mathematics (Die Erkenntnistheorie visuellen Denkens in der Mathematik)
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smallie
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Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 2678

Beitrag(#2024026) Verfasst am: 04.10.2015, 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hatiora hat folgendes geschrieben:
Im Moment bin ich jetzt durch Googlen bei den Komplexen und Irrationalen Zahlen gelandet. Vor allem diese Zitat finde ich sehr interessant:

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Komplexe_Zahlen.html hat folgendes geschrieben:
Es hat sich gezeigt dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Die Frage hab' ich mir auch schon oft gestellt.

Meine vorsichtige Vermutung geht so:

die komplexen Anteile kommen in die Gleichungen, weil Kreisprozesse und sinus und cosinus über die imaginäre Einheit i und die Eulersche Zahl e verbandelt sind. Die e-Funktion ist im Komplexen periodisch. Das i eignet sich gut für die Darstellung von periodischen Vorgängen, wie zum Beispiel Wellen. Deshalb taucht das i in Quantenmechanik und Elektrotechnik/Signalverarbeitung auf.

Ich bitte um Gegenmeinungen, warum das i hier nicht nur ein Artefakt der Rechnung ist.
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"There are two hard things in computer science: cache invalidation, naming things, and off-by-one errors."
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Klaus-Peter
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Anmeldungsdatum: 10.01.2004
Beiträge: 1534

Beitrag(#2024049) Verfasst am: 04.10.2015, 22:20    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Hatiora hat folgendes geschrieben:
Im Moment bin ich jetzt durch Googlen bei den Komplexen und Irrationalen Zahlen gelandet. Vor allem diese Zitat finde ich sehr interessant:

http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Komplexe_Zahlen.html hat folgendes geschrieben:
Es hat sich gezeigt dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Die Frage hab' ich mir auch schon oft gestellt.

Meine vorsichtige Vermutung geht so:

die komplexen Anteile kommen in die Gleichungen, weil Kreisprozesse und sinus und cosinus über die imaginäre Einheit i und die Eulersche Zahl e verbandelt sind. Die e-Funktion ist im Komplexen periodisch. Das i eignet sich gut für die Darstellung von periodischen Vorgängen, wie zum Beispiel Wellen. Deshalb taucht das i in Quantenmechanik und Elektrotechnik/Signalverarbeitung auf.

Ich bitte um Gegenmeinungen, warum das i hier nicht nur ein Artefakt der Rechnung ist.

Ich denke, die Antwort besteht darin, dass erst mit Einführung der Komplexen Zahlen ein "algebraisch abgeschlossener Körper" entsteht.

Klingt kompliziert, ist aber relativ einfach:
Die Natürlichen Zahlen sind bezüglich Subtraktion nicht abgeschlossen: 3-5 hat keine Lösung. Also brauchen wir zusätzliche neue Zahlen, die negativen Zahlen, und erhalten die Menge der Ganzen Zahlen, ..., -3,-2,-1,0,1,2,3...
Die Ganzen Zahlen sind bezüglich Division nicht abgeschlossen. Die Rechnung 3:5 hat keine Lösung. Also brauchen wir neue Zahlen. Die Rationalen Zahlen.
Die RAtionalen Zahlen sind bezüglich Wurzelziehen nicht abgeschlossen: Wurzel 2 hat keine Lösung. Also brauchen wir neue Zahlen, die Reellen Zahlen. Die sind schon ziemlich vollständig, aber ein Problem bleibt: Die Gleichung x²+1=0 hat keine Lösung, es gibt keine Wurzel aus -1. Also braucht man eine neue Zahl, genannt i mit i²=-1. Nimmt man nun alle denkbaren Kombinationen a+b*i, mit a und b Reelle Zahlen, dann hat man eine neue Menge von Zahlen, die Komplexen zahlen. Und diese Menge ist nun endlich "algebraisch abgeschlossen", will sagen jede beliebige Gleichung der Form ax^n + bx^(n-1)+... = 0 hat genau n Lösungen. Man kann also beliebig subtrahieren, dividieren, wurzelziehen, usw. und kommt niemals aus den Komplexen Zahlen raus. Deshalb sind auch alle Funktionen von Komplexen Zahlen besonders elegant. Die Komplexe Funktionentheorie gehört zum Elegantesten das die Mathematik kennt. Da alle Naturgesetze durch Funktionen beschrieben werden, ist es nur natürlich, dass die Komplexe Funktionentheorie am besten auf die Welt passt.

Kurz und ein bisschen schlampig: Das "i" ist deshalb kein "Artefakt", weil erst mit Einführung des "i" die mathematische Welt abgeschlossen ist.
Die eleganteste Gleichung der Welt ist im Übrigen m.E.:

e hoch (2 Pi i) -1 = 0

In dieser Gleichung ist alles enthalten, was in der Algebra wichtig ist: e, pi, die 0 und die 1.
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sponor
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Anmeldungsdatum: 16.05.2008
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Beitrag(#2024107) Verfasst am: 05.10.2015, 09:38    Titel: Antworten mit Zitat

Zur Zahldarstellung mit irrationaler Basis gibt es was in der englischen Wikipedia, die deutsche hält sich etwas bedeckter.
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Unsere Welt wird noch so fein werden, daß es so lächerlich sein wird, einen Gott zu glauben als heutzutage Gespenster.
(G. Chr. Lichtenberg)
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smallie
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Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 2678

Beitrag(#2024254) Verfasst am: 05.10.2015, 22:48    Titel: Antworten mit Zitat

Klaus-Peter hat folgendes geschrieben:
smallie hat folgendes geschrieben:
Hatiora hat folgendes geschrieben:
<schnipp>

Die Frage hab' ich mir auch schon oft gestellt.

Meine vorsichtige Vermutung geht so:

die komplexen Anteile kommen in die Gleichungen, weil Kreisprozesse und sinus und cosinus über die imaginäre Einheit i und die Eulersche Zahl e verbandelt sind. Die e-Funktion ist im Komplexen periodisch. Das i eignet sich gut für die Darstellung von periodischen Vorgängen, wie zum Beispiel Wellen. Deshalb taucht das i in Quantenmechanik und Elektrotechnik/Signalverarbeitung auf.

Ich bitte um Gegenmeinungen, warum das i hier nicht nur ein Artefakt der Rechnung ist.

Ich denke, die Antwort besteht darin, dass erst mit Einführung der Komplexen Zahlen ein "algebraisch abgeschlossener Körper" entsteht.

Klingt kompliziert, ist aber relativ einfach:
Die Natürlichen Zahlen sind bezüglich Subtraktion nicht abgeschlossen: 3-5 hat keine Lösung. Also brauchen wir zusätzliche neue Zahlen, die negativen Zahlen, und erhalten die Menge der Ganzen Zahlen, ..., -3,-2,-1,0,1,2,3...
Die Ganzen Zahlen sind bezüglich Division nicht abgeschlossen. Die Rechnung 3:5 hat keine Lösung. Also brauchen wir neue Zahlen. Die Rationalen Zahlen.
Die RAtionalen Zahlen sind bezüglich Wurzelziehen nicht abgeschlossen: Wurzel 2 hat keine Lösung. Also brauchen wir neue Zahlen, die Reellen Zahlen. Die sind schon ziemlich vollständig, aber ein Problem bleibt: Die Gleichung x²+1=0 hat keine Lösung, es gibt keine Wurzel aus -1. Also braucht man eine neue Zahl, genannt i mit i²=-1. Nimmt man nun alle denkbaren Kombinationen a+b*i, mit a und b Reelle Zahlen, dann hat man eine neue Menge von Zahlen, die Komplexen zahlen. Und diese Menge ist nun endlich "algebraisch abgeschlossen", will sagen jede beliebige Gleichung der Form ax^n + bx^(n-1)+... = 0 hat genau n Lösungen. Man kann also beliebig subtrahieren, dividieren, wurzelziehen, usw. und kommt niemals aus den Komplexen Zahlen raus. Deshalb sind auch alle Funktionen von Komplexen Zahlen besonders elegant. Die Komplexe Funktionentheorie gehört zum Elegantesten das die Mathematik kennt. Da alle Naturgesetze durch Funktionen beschrieben werden, ist es nur natürlich, dass die Komplexe Funktionentheorie am besten auf die Welt passt.

Mathematisch ist das sicher richtig.

Aber kannst du eine Textaufgabe angeben, die auf x² + 1 = 0 hinausläuft und deren komplexe Lösung eine praktische Bedeutung hat? Mir fällt gerade nichts ein.



Klaus-Peter hat folgendes geschrieben:
Kurz und ein bisschen schlampig: Das "i" ist deshalb kein "Artefakt", weil erst mit Einführung des "i" die mathematische Welt abgeschlossen ist.

Beispiel Fourier-Analyse.

Jedes Signal, auch ein aperiodisches, läßt sich als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen beschreiben. Diese wiederum lassen sich als Real- und Imaginärteil einer komplexen e-Funktion schreiben. Schwupps hat man ein i in der Darstellung.



Klaus-Peter hat folgendes geschrieben:
Die eleganteste Gleichung der Welt ist im Übrigen m.E.:

e hoch (2 Pi i) -1 = 0

In dieser Gleichung ist alles enthalten, was in der Algebra wichtig ist: e, pi, die 0 und die 1.

Das ist in der Tat eine sehr elegante Darstellung der Tatsache, daß man wieder in die gleiche Richtung schaut, wenn man sich einmal um 360 Grad dreht. zwinkern

Im Ernst: Gibt es eigentlich Aussagen von Euler, was er dachte, als er dies das erste Mal erkannte? Ist er zufällig drauf gekommen, als er mit der Reihenentwicklung der e-Funktion herumspielte oder hatte er eine Vorahnung, die ihn veranlasste, genau das zu tun?
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Beiträge: 4482

Beitrag(#2024296) Verfasst am: 06.10.2015, 08:45    Titel: Antworten mit Zitat

Klaus-Peter hat folgendes geschrieben:

Kurz und ein bisschen schlampig: Das "i" ist deshalb kein "Artefakt", weil erst mit Einführung des "i" die mathematische Welt abgeschlossen ist.


etwas weniger schlampig solltest du die Aussage nicht auf "die mathematische Welt" beziehen, denn sie gilt eben im math. algebraischen Sinne: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

nicht aber im arithm. logischen:
https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscher_Unvollst%C3%A4ndigkeitssatz
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Klaus-Peter
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Anmeldungsdatum: 10.01.2004
Beiträge: 1534

Beitrag(#2024304) Verfasst am: 06.10.2015, 09:20    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:

Aber kannst du eine Textaufgabe angeben, die auf x² + 1 = 0 hinausläuft und deren komplexe Lösung eine praktische Bedeutung hat? Mir fällt gerade nichts ein.

Bei der Lösung bestimmter kubischer Gleichungen kommt es vor, dass es 3 reelle Lösungen gibt, in den Cardanischen Gleichungen, mit denen die Lösungen berechnet werden, aber Wurzeln aus -1 temporär vorkommen. Hier. Runterscrollen zum "casus irreducibilis". Eine solche Aufgabe könntest du sicher auch als Textaufgabe verpacken.
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