Der dumme-Fragen-zu-Stochastik-Thread

[Kival]

Ich schreib morgen meine Klausur, juchu, und stolper natürlich nochmal schön über einige Probleme... evtl. ist ja jemand hier zur Zeit da und gewillt, die (hoffentlich) kleinen Fragen zu klären; Begründungen sind eher nebensächlich bei den meisten.

Nummero uno...

Krengel , "Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie" sagt: "Sind X, Y unabhängig, so sind sie auch unkorreliert"


Laut der Musterlösung unserer Probeklausur ist aber "X, Y unabhängig => X, Y unkorreliert" falsch (d.h. nicht notwendigerweise wahr...) Was stimmt? Habe erst gedacht, die Lösung in der Probeklausur wäre richtig, aber der Beweis bei Krengel erscheint logisch...



Nummero duo..



Var (X)=0 <=> X=E(X) P.-f.s. ist falsch, oder?



Nummero tres



E(X^2) <= (E(X))^2 ist korrekt, oder?
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Rudolf]

Also eins und zwei würde ich bejahen, obwohl ich nicht ausschließen kann, dass sie aufgrund bestimmter Spezialfälle nicht allgemein wahr sind. Eins zB ist nur wahr, wenn die Kovarianz überhaupt existiert.

Was heißt "P.-f.s."?


Drei muss eigentlich umgekehrt sein. Eine Formel für die Varianz ist

Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

und die Varianz ist immer positiv, daher (E(X))^2 <= E(X^2).

[Kival]

P-f.s. = P fast sicher eine bestimmte Grenzwertdefinition der Stochastik.

bei a) dachte ich, dass "X, Y unabhängig => X, Y unkorreliert" deshalb falsch ist, weil die Kovarianz nicht zwangsläufig definiert ist für die X,Y.

b) Denkst Du wirklich? Ich dachte, dass zumindest die Folgerung X=E(X) P.-f.s. => Var (X)=0 falsch wäre. X=E(X) ist schließlich nur fast sicher.

bei c) hast du natürlich recht... ich bin definitiv schon zu müde.
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[Kival]

4)

E((X + Y )^2) = E(X^2) + E(Y^2) => X; Y stoch. unabhÄangig

X; Y stoch. unabhÄangig, E(X^2 + Y^2) <1> E((X + Y )^2) = E(X^2) + E(Y^2)

Beides ist völliger Unsinn, oder?

E((X+Y)^2)=E(X^2+2X*Y+Y^2)=E(X^2)+E(2*X*Y)+E(Y^2) gilt ja immer. Bei Unabhängigkeit von X und Y würde ja nur gelten

E(X^2)+E(2*X*Y)+E(Y^2) = E(X^2)+2*E(X)*E(Y)+E(Y^2); Ich sehe jedenfalls keinen Zusammenhang zwischen X,Y unabhängig und E(2*X*Y)=0

5) Unsicher bin ich mir hingegen bei folgendem... (lim n->oo soll limes n gegen unendlich heißen)

a) lim n->oo 1 E(Xn) = 0 => lim n->oo Xn = 0 P-f.s.

b) limn n->oo Xn = 0 P-f.s. => lim n->oo E(Xn) = 0

Ich würde sagen, dass wenn überhaupt nur 5.b) stimmen kann. Nur weil der Erwartungswert gegen 0 geht bei a) heißt das ja nicht zwangsläufig, dass die Zufallsvariable gegen die 0-Funktion konvergiert (auch nicht fast sicher). Bei 5.b) bin ich mir unsicher. Grundsätzlich würde ich sagen, dass es gilt, aber eigentlich folgt aus fast-sicher Konvergenz ja keine Aussage über normale Konvergenz, ich bin aber zugegebenermaßen nicht ganz sicher, was für eine Art von Konvergenz mit lim n->oo E(Xn) = 0 genau gemeint ist...
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[Rudolf]

Ja klar, der Erwartungswert ist auch nicht zwangsläufig definiert, von daher nicht allgemein wahr.

4. nachdem die Gleichung nur stimmt, wenn E(XY) = 0, sind die Variablen überhaupt nicht unabhängig.

5. tu ich mich hart, die Gleichung zu verstehen. Ist das n ein Subskript? Was soll die 1?


Bin selber nicht vom Fach. Kenne einen Ort, wo sich ein paar Checker herumtreiben (stats.stackexchange.com), weiß aber nicht, ob die Hausaufgaben erlauben. Würd sonst dort fragen, die können das verdammt gut.

Ist <1> ein Operator?
Wofür steht das P in "P.-f.s."? Ist das dasselbe wie "almost surely"?
Was studierst du?

[Kival]

[Rudolf]

Und wie ist es gelaufen?

[Misterfritz]

[Rudolf]

Dankeschön. Finde es trotzdem respektabel. Stochastik ist hart.