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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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 (#1172825) Verfasst am: 06.01.2009, 15:15 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Die Ableitung ist lediglich ein Grenzwert der Sekantenanstiege (wenn man das so anschaulich deuten will). Da wird nirgendwo durch 0 dividiert. |
Grenzwerte sind dann aber eben nur in vollständigen Räumen definiert und N ist nicht vollständig.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)
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yxyxyx
dauerhaft gesperrt
Anmeldungsdatum: 04.01.2008
Beiträge: 1552
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| (#1172827) Verfasst am: 06.01.2009, 15:15 Titel: |
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noch mal gedacht:
der Anstieg einer Sekante ist einfach:
zwei Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2) : für beide gilt y1=f(x1) und y2=f(x2) ergo ist der Anstieg der Sekante
(y1-y2)/(x1-x2)
ergo gilt für eine Tangente x1-x2 = 0
daher ist der Anstieg einer Tangente definiert:
y1-y2/0
WIDERSPRUCH!!
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172832) Verfasst am: 06.01.2009, 15:21 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Die Ableitung ist lediglich ein Grenzwert der Sekantenanstiege (wenn man das so anschaulich deuten will). Da wird nirgendwo durch 0 dividiert. |
Grenzwerte sind dann aber eben nur in vollständigen Räumen definiert und N ist nicht vollständig. |
Ich weiß das. yxyxyx leider nicht  Mittlerweile hab ich aber den Verdacht er wills auch nicht merken ...
| yxyxyx hat folgendes geschrieben: | daher ist der Anstieg einer Tangente definiert:
y1-y2/0
WIDERSPRUCH!! |
Der Anstieg der Tangente ist definiert als der GRENZWERT von (f(x+h)-f(x))/h für h->0. Den kann man wunderbar bestimmen ohne durch 0 zu dividieren.
Nachtrag: Zeiche Deine ursprünglich verwendete Funktion einmal auf. Dann stellst Du fest dass es überthaupt keine eindeutigen Tangenten gibt.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#1172870) Verfasst am: 06.01.2009, 16:25 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | yxyxyx hat folgendes geschrieben: | | Ergo sind Differentialrechnungen keine Äquivalenzumformungen! (Integralrechnungen allerdings schon). |
Wenn f=g dann ist auch f'=g'. Natürlich müssen f' und g' dafür existieren ... |
Da fehlt allerdings die andere Seite für die Äquivalenzumformung.
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Trish:(
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172873) Verfasst am: 06.01.2009, 16:27 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Kival hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Die Ableitung ist lediglich ein Grenzwert der Sekantenanstiege (wenn man das so anschaulich deuten will). Da wird nirgendwo durch 0 dividiert. |
Grenzwerte sind dann aber eben nur in vollständigen Räumen definiert und N ist nicht vollständig. |
Ich weiß das. yxyxyx leider nicht |
Wobei: Es gibt natürlich auch Grenzwertdefinitionen (bei Folgen), die ohne vollständige Räume auskommen, das hilft aber hier wenig.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#1172874) Verfasst am: 06.01.2009, 16:29 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Nachtrag: Zeiche Deine ursprünglich verwendete Funktion einmal auf. Dann stellst Du fest dass es überthaupt keine eindeutigen Tangenten gibt. |
Meinst du jetzt x² oder x + ... + x (x-mal)?
Zweitere dürfte für nicht natürliche Zahlen schwer zum zeichnen sein. 
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Trish:(
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#1172876) Verfasst am: 06.01.2009, 16:30 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: |
Wobei: Es gibt natürlich auch Grenzwertdefinitionen (bei Folgen), die ohne vollständige Räume auskommen, das hilft aber hier wenig. |
Das wollte ich gerade einwenden.
Vollständigkeit wird meist mithilfe des Grenzwertbegriffes definiert.
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Trish:(
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172880) Verfasst am: 06.01.2009, 16:33 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: | | yxyxyx hat folgendes geschrieben: | | Ergo sind Differentialrechnungen keine Äquivalenzumformungen! (Integralrechnungen allerdings schon). |
Wenn f=g dann ist auch f'=g'. Natürlich müssen f' und g' dafür existieren ... |
Da fehlt allerdings die andere Seite für die Äquivalenzumformung. |
Braucht man hier doch nicht? Für sein Beispiel ist nur relevant das f'!=g' auch f!=g bedingt ...
| Zitat: | | Zweitere dürfte für nicht natürliche Zahlen schwer zum zeichnen sein. |
Eben, darum ist auch der Begriff der Tangente an dieser Funktion sinnlos. Die Tangentensteigung ist nicht eindeutig.
Zeichnen kann man das schon, der Graph ist dann halt eine Ansammlung von Punkten und keine durchgehende Linie. Ist nur halt gewöhnungsbedürftig wenn die Definitionslücken größer sind als die Definitionsmenge ...
| Kival hat folgendes geschrieben: | | Es gibt natürlich auch Grenzwertdefinitionen (bei Folgen), die ohne vollständige Räume auskommen, das hilft aber hier wenig. |
Es ging um Funktionen, insofern hilft das hier in der Tat wenig.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#1172883) Verfasst am: 06.01.2009, 16:36 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Braucht man hier doch nicht? |
Stimmt. | Zitat: |
Für sein Beispiel ist nur relevant das f'!=g' auch f!=g bedingt ... |
Nein. Für sein Beispiel ist nur relevant, dass er nicht die Rechenregeln der Differentialrechnung benützt.
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Trish:(
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1172884) Verfasst am: 06.01.2009, 16:36 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Die Ableitung ist lediglich ein Grenzwert der Sekantenanstiege (wenn man das so anschaulich deuten will). Da wird nirgendwo durch 0 dividiert. |
Grenzwerte sind dann aber eben nur in vollständigen Räumen definiert und N ist nicht vollständig. |
IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. Genauer: Bei jeder Cauchy-Folge in IN sind eh fast alle Folgenglieder gleich.)
Ein metrischer Raum muss nicht vollständig sein, um von Grenzwerten reden zu können. Es kann einem nur passieren, dass eine Cauchy-Folge in einem nicht vollständigen metrischen Raum keinen Grenzwert in diesem metrischen Raum hat.
Ich sehe im übrigen wenig Probleme, Ableitungen einer Funktion f:ID->IR mit ID Teilmenge von IR fuer beliebiges x aus ID zu definieren, solange x nur nicht isoliert in ID liegt. ID braucht also keineswegs vollstaendig zu sein, ID=IQ wuerde voellig genuegen.
Ableitungen an isolierten Punkten allerdings machen keinen Sinn.
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172888) Verfasst am: 06.01.2009, 16:38 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat.
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172889) Verfasst am: 06.01.2009, 16:40 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | Kival hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Die Ableitung ist lediglich ein Grenzwert der Sekantenanstiege (wenn man das so anschaulich deuten will). Da wird nirgendwo durch 0 dividiert. |
Grenzwerte sind dann aber eben nur in vollständigen Räumen definiert und N ist nicht vollständig. |
IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. Genauer: Bei jeder Cauchy-Folge in IN sind eh fast alle Folgenglieder gleich.) |
Die Notation "IN" verstehe ich nicht.
| Zitat: | | Ein metrischer Raum muss nicht vollständig sein, um von Grenzwerten reden zu können. Es kann einem nur passieren, dass eine Cauchy-Folge in einem nicht vollständigen metrischen Raum keinen Grenzwert in diesem metrischen Raum hat. |
Ja, hatte ich ja auch schon wieder korrigiert.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#1172891) Verfasst am: 06.01.2009, 16:41 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: |
Die Notation "IN" verstehe ich nicht. |
Doppelgestrichenes N für nat. Zahlen.
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Trish:(
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172892) Verfasst am: 06.01.2009, 16:41 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
Ich glaube, das ist uns schon allen klar, wir haben uns hier nur definitiv zu ungenau ausgedrückt.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#1172893) Verfasst am: 06.01.2009, 16:41 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
Nein oder hälst du R für unvollständig?
| Kival hat folgendes geschrieben: |
Ich glaube, das ist uns schon allen klar, wir haben uns hier nur definitiv zu ungenau ausgedrückt. |
Nö mir nicht.
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Trish:(
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172895) Verfasst am: 06.01.2009, 16:42 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Kival hat folgendes geschrieben: |
Die Notation "IN" verstehe ich nicht. |
Doppelgestrichenes N für nat. Zahlen. |
Achsoooo, klar...
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
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| (#1172896) Verfasst am: 06.01.2009, 16:43 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
Ich glaube, das ist uns schon allen klar, wir haben uns hier nur definitiv zu ungenau ausgedrückt. |
tridi anscheinend nicht, das N in diesem Sinne vollständig ist wäre ist mir neu?
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172898) Verfasst am: 06.01.2009, 16:43 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
Nein oder hälst du R für unvollständig?
| Kival hat folgendes geschrieben: |
Ich glaube, das ist uns schon allen klar, wir haben uns hier nur definitiv zu ungenau ausgedrückt. |
Nö mir nicht. |
Hab ich schon wieder zu ungenau gelesen? -.- ... ja, tatsächlich. Ich sollte länger schlafen. 
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
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| (#1172901) Verfasst am: 06.01.2009, 16:44 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
tridi anscheinend nicht, das N in diesem Sinne vollständig ist wäre ist mir neu? |
Vollständigkeit in M bedeutet, dass jede Cauch-Folge in M konvergiert.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#1172903) Verfasst am: 06.01.2009, 16:44 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
tridi anscheinend nicht, das N in diesem Sinne vollständig ist wäre ist mir neu? |
Tridis Vollständigkeitsdefinition ist korrekt deine nicht.
Betrachte für M=R und als Folge a1=1 an=an+1. Sie konvergiert nicht in R obwohl alle Elemente aus R sind und R vollständig ist.
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Danol
registrierter User
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| (#1172904) Verfasst am: 06.01.2009, 16:45 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
Nein oder hälst du R für unvollständig? |
Bitte? R ist doch in diesem Sinne vollständig.
Edit: Achso klar. Ersetze in meiner Definition Folge durch Cauchy-Folge.
Zuletzt bearbeitet von Danol am 06.01.2009, 16:46, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Wolf
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| (#1172906) Verfasst am: 06.01.2009, 16:45 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Bitte? R ist doch in diesem Sinne vollständig. |
s.o.
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Trish:(
Zuletzt bearbeitet von Wolf am 06.01.2009, 16:49, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172911) Verfasst am: 06.01.2009, 16:47 Titel: |
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Ja habs durcheinandergebracht. Es muss jede Cauchyfolge deren sämtliche Folgeglieder aus M stammen einen Grenzwert in M haben. Darauf das der Grenzwert aus M kommen muss kann man allerdings nicht verzichten ...
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum
Warum is denn N nun eigentlich Vollständig? Hab mal nachgeschlagen aber auf die schnelle nix gefunden ... hat wer nen Link zu einem Beweiß?
Edit: Gut, habt recht, mein Fehler. 
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172929) Verfasst am: 06.01.2009, 16:57 Titel: |
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@Wolf
Warum hast Du deine Äußerung über die Vollständigkeit von IN gelöscht?
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tridi
_____
Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1172930) Verfasst am: 06.01.2009, 16:57 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
dann gib mir doch mal ein beispiel einer cauchyfolge in IN, die keinen grenzwert in IN hat. viel spass beim suchen  oder lies einfach was ich noch schrieb: bei einer solchen folge sind eh fast alle folgenglieder gleich. der grenzwert liegt dann trivialerweise auch in IN.
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Kival
Profeminist Ghost
Anmeldungsdatum: 14.11.2006
Beiträge: 24071
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| (#1172933) Verfasst am: 06.01.2009, 16:59 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | Danol hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | IN ist vollstaendig. (Denn jede Cauchy-Folge mit Werten in IN konvergiert auch. |
Aber sie konvergiert nicht zwangsläufig in N. Vollständigkeit bedeutet das jede Folge, bei der sämtliche Folgeglieder aus einer Menge M stammen, auch einen Grenzwert in M hat. |
dann gib mir doch mal ein beispiel einer cauchyfolge in IN, die keinen grenzwert in IN hat. viel spass beim suchen oder lies einfach was ich noch schrieb: bei einer solchen folge sind eh fast alle folgenglieder gleich. der grenzwert liegt dann trivialerweise auch in IN. |
Ja, IN ist sogar zur kanonischen Metrik vollständig.  - ich geh Wäsche machen...
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172938) Verfasst am: 06.01.2009, 17:02 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Kival hat folgendes geschrieben: | |
In etwa das dacht ich mir eben auch ...
Naja siehs positiv, ich bin mir jedenfalls recht sicher das mir dieser Irrtum so bald nicht nochmal passiert ^^
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Danol
registrierter User
Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 3027
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| (#1172947) Verfasst am: 06.01.2009, 17:10 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | Ich sehe im übrigen wenig Probleme, Ableitungen einer Funktion f:ID->IR mit ID Teilmenge von IR fuer beliebiges x aus ID zu definieren, solange x nur nicht isoliert in ID liegt. ID braucht also keineswegs vollstaendig zu sein, ID=IQ wuerde voellig genuegen. |
Hiermit hab ich irgendwie auch ein Problem: Wenn ich mir die Dirichlet-Funktion anschaue und nun als D die Elemente im Schnitt von [0,1] und Q nehme, dann ist f(x) = 1 auf der gesamten Definitionsmenge, die Funktion also konstant und damit diffbar mit f'(x) = 0 auf (0,1) geschnitten mit Q. Wenn ich nun allerdings das ganze Intervall [0,1] nehme ist die Dirichlet-Funktion nicht diffbar. Dein diffbarkeitsbegriff ist hier also deutlich schwächer als der übliche (Es sind bei diesem Begriff auch Funktionen diffbar die normalerweise nichtmal stetig wären). Irgendwie ist mir dabei unwohl, auch wenn ich nicht klar ausdrücken kann was mich daran nun stört. 
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tridi
_____
Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1172986) Verfasst am: 06.01.2009, 17:42 Titel: Re: jetzt mal ein ernsten Mathematikrätsel |
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| Danol hat folgendes geschrieben: |
Hiermit hab ich irgendwie auch ein Problem: Wenn ich mir die Dirichlet-Funktion anschaue und nun als D die Elemente im Schnitt von [0,1] und Q nehme, dann ist f(x) = 1 auf der gesamten Definitionsmenge, die Funktion also konstant und damit diffbar mit f'(x) = 0 auf (0,1) geschnitten mit Q. Wenn ich nun allerdings das ganze Intervall [0,1] nehme ist die Dirichlet-Funktion nicht diffbar. Dein diffbarkeitsbegriff ist hier also deutlich schwächer als der übliche (Es sind bei diesem Begriff auch Funktionen diffbar die normalerweise nichtmal stetig wären). Irgendwie ist mir dabei unwohl, auch wenn ich nicht klar ausdrücken kann was mich daran nun stört. |
ich seh da jetzt kein problem. wenn du die dirichlet-funktion auf IQ einschraenkst, dann ist diese eingeschraenkte funktion natuerlich sowas von gutartig (naemlich konstant), dass sie natuerlich ueberall nicht nur stetig, sondern sogar differenzierbar ist.
mich hat etwas gestoert, dass hier angedeutet wurde, man brauche offene teilmengen von IR, um differenzieren zu koennen. denn jeder kennt rechtsseitige und linksseitige grenzwerte bzw. ableitungen bei einer nur auf [0;1] definierten funktion. fuer den ableitungsbegriff alleine braucht man aber eben grad mal nur einen nicht isolierten punkt. wenn du mehr machen willst, vielleicht mehrfach ableiten, reihenentwicklungen, kettenregel, gar die holomorphie in der funktionentheorie, dann beschraenkt man sich natuerlich auf offene teilmengen von IR^n bzw. IC^n, weil man da mit raendern etc. keinen stress hat. aber fuer den reinen ableitungsbegriff braucht man das eben nicht.
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Karlchen
kritisch christlicher Exot ohne Artenschutz
Anmeldungsdatum: 30.04.2008
Beiträge: 1119
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| (#1172991) Verfasst am: 06.01.2009, 17:45 Titel: |
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