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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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 (#1285930) Verfasst am: 10.05.2009, 12:04 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: |
Edit4: Glm Stetigkeit korrigiert. |
so, das sieht nun nach edit 4 schon besser aus, wegen
| Zitat: |
x,y aus [min[u(t), t e [a,b], max(o(t), t e [a,b]]
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nur leider... ich fuehl mich ja fast wie ein ekel, dass ich das sag... da ist nun ein zirkelschluss drin:
du waehlst o und u passend zu delta. delta aber ist definiert als minimum von delta 1 und delta 2, delta 2 wird aber gewaehlt in abhaengigkeit von o und u... wenn nun aber delta 2 von o und u abhaengig ist, kannst du o und u nicht mehr passend zu delta waehlen...
besser: wenns ueberhaupt irgendne obere treppe gibt, dann ist g eh nach oben beschraenkt, diese schranke kann man einfach als beschraenkung fuer x und y nehmen.
fuer die o und u spaeter kann man einfach annehmen, dass sie so gewaehlt seien, dass auch sie nicht ueber der schranke liegen (u eh nicht, aber o kann auch unproblematisch so gewaehlt werden.)
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Wolf
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| (#1285937) Verfasst am: 10.05.2009, 12:20 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | nur leider... ich fuehl mich ja fast wie ein ekel, dass ich das sag... da ist nun ein zirkelschluss drin:
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | besser: wenns ueberhaupt irgendne obere treppe gibt, dann ist g eh nach oben beschraenkt, diese schranke kann man einfach als beschraenkung fuer x und y nehmen. |
Hmm... Wenn die Schranke aber genau gleich dem Maximum von g ist, dann liegt die obere Treppe drüber.
Ich müsste die Schranke also etwas größer wählen.
Edit: Ich habe jetzt aber keine Lust mehr alles sauber auszuführen, am PC ist das einfach schrecklich.
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Trish:(
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1285945) Verfasst am: 10.05.2009, 12:39 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: |
Hmm... Wenn die Schranke aber genau gleich dem Maximum von g ist, dann liegt die obere Treppe drüber.
Ich müsste die Schranke also etwas größer wählen.
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wie ich schon schrieb, reicht es wohl, eine beliebige obere treppenfunktion o zu nehmen und deren maximum m zu waehlen.
wenn spaeter eine andere obere treppenfunktion o1 irgendwo groesser m sein sollte, dann ersetze man einfach o1 durch min(m,o1), das ist fuer den beweis unschaedlich.
aber... ich hab da noch ein problem... (naechstes posting)
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Wolf
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| (#1285949) Verfasst am: 10.05.2009, 12:44 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | also die erste definition im forster liefert nur |int o - int u| < delta1 und daraus folgt noch lange nicht ||o-u||<delta1, was aber im eroeffnungsposting benutzt wurde. kann aber sein, dass ich nur ein paar seiten weiterlesen muesste... oder mal kurz nachdenken... |
o und u sind Treppenfunktionen. Ich betrachte jetzt die gemeinsame Zerlegung, so das o-u konstant ist.
Auf diesen Intervallen ist das maximum von o-u kleiner als delta. ( Sei etwa [c,d] ein solches Intervall auf dem o-u konstant ist Int(o-u)<Int(delta) <=> (d-c)(o-u)<d> d-c ungleich 0 => o-u<delta auf [c,d])
Daraus folgt die Behauptung.
P.S.: Zwischen der konstanten Funktion o-u auf [c,d] und ihrer Auswertung habe ich nicht unterschieden. Ich weiß...
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Wolf
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| (#1285951) Verfasst am: 10.05.2009, 12:46 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | edit: dies posting ist nicht das, was ich geschrieben hab... sorry, da muss irgendwie der wesentliche teil verschuett gegangen sein... scheisse
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so ein mist... ich versuch, das posting nochmal zu schreiben...
wie ist das denn schiefgegangen... sind das die groesser- und kleiner-zeichen? |
Ja. Du musst HTML deaktivieren.
P.S.: Mir sind auch schon zig Sachen verloren gegangen.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1285953) Verfasst am: 10.05.2009, 12:46 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: |
g integriebar auf [a,b] daraus folgt
Für jedes delta1 groesser 0 gibt es eine obere Treppe o und untere Treppe u von g so dass:
||o-u|| kleiner delta1 |
fuer diese aussage fehlte mir ein beweis, aber ich habe vermutet, dass sie richtig sei.
wenn ich aber die erwaehnte definition im forster, analysis I, fuer riemannsche integrierbarkeit nehme:
riemann-integrierbar, wenn infimum der integrale oberer treppenfkt = supremum der integrale unterer treppenfkt
(treppenfkt ist dabei auf einer unterteilung von [ a , b ] in endlich viele teilintervalle auf jedem teilintervall konstant, bzw. auf dem innern des teilintervalls)
dann ist obige von mir zitierte aussage leider sogar falsch.
(man nehme f(x)=1 fuer x=1/n und f(x)=0 sonst auf dem intervall von 0 bis 1, der rest sei dem leser zur uebung ueberlassen.)
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Wolf
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| (#1285973) Verfasst am: 10.05.2009, 13:08 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: |
(man nehme f(x)=1 fuer x=1/n und f(x)=0 sonst auf dem intervall von 0 bis 1, der rest sei dem leser zur uebung ueberlassen.) |
<s>Nicht Riemann-integrierbar. (Bekannt)
Und es gibt ein delta, etwa 1/2 sodass ||o-u||>delta für alle u, o ist.
delta=1/2 <1<=||o-u|| [/quote]</s>
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Zuletzt bearbeitet von Wolf am 10.05.2009, 13:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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Danol
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| (#1285979) Verfasst am: 10.05.2009, 13:12 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Nicht Riemann-integrierbar. |
Falsch.
(Beweiß ist mir für heute morgen zu viel Fummelarbeit. Schließ fast alle Unstetigkeitsstellen im Intervall (0, epsilon) ein und beweise dann die Integrierbarkeit mithilfe des Integrabilitätskriteriums.)
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Wolf
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| (#1285981) Verfasst am: 10.05.2009, 13:14 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | Nicht Riemann-integrierbar. |
Falsch.
(Beweiß ist mir für heute morgen zu viel Fummelarbeit. Schließ fast alle Unstetigkeitsstellen im Intervall (0, epsilon) ein und beweise dann die Integrierbarkeit mithilfe des Integrabilitätskriteriums.) |
Ups mit der Dirichlet-Funktion verwechselt.
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Danol
registrierter User
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| (#1285983) Verfasst am: 10.05.2009, 13:14 Titel: |
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Ging mir auch zuerst so 
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1285993) Verfasst am: 10.05.2009, 13:25 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | Nicht Riemann-integrierbar. |
Falsch.
(Beweiß ist mir für heute morgen zu viel Fummelarbeit. Schließ fast alle Unstetigkeitsstellen im Intervall (0, epsilon) ein und beweise dann die Integrierbarkeit mithilfe des Integrabilitätskriteriums.) |
genau.
supremum der untersummen-integrale ist null: ne untere treppenfunktion, die irgendwo auf einem intervall groesser 0 ist, gibts nicht. u(x)=0 ist aber ne untere treppenfkt mit integral 0. supremum der integrale unterer treppenfkt ist also 0, zu zeigen bleibt nur, dass es zu jedem epsilon groesser null ne obere treppenfkt mit integral kleiner epsilon gibt.
sei also epsilon groesser null gegeben. o(x) setze man im intervall von 0 bis epsilon/2 auf 1, dann hat man nur noch mit endlich vielen nicht-nullstellen von f(x) zu kaempfen, die nicht in dem intervall liegen. diese endlich vielen stellen sind aber kein problem...
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Wolf
registrierter User
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| (#1285994) Verfasst am: 10.05.2009, 13:25 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: |
(man nehme f(x)=1 fuer x=1/n und f(x)=0 sonst auf dem intervall von 0 bis 1, der rest sei dem leser zur uebung ueberlassen.) |
Wähle als obere Treppe o(x)_k=0 für x aus (1/k, 1/(k-1)).
Die Sprungstellen einer Treppenfunktion dürfen je nach Definition der Treppenfunktion beliebig gewählt werden.
| tridi hat folgendes geschrieben: | | supremum der untersummen-integrale ist null: ne untere treppenfunktion, die irgendwo auf einem intervall groesser 0 ist, gibts nicht. |
S.o. . Das ist eine Frage der Definition. Die Werte der Sprungstellen einer Treppenfunktion sind für die Definition des Integrals über Treppenfunktionen irrelevant, also muss man sich für die Werte auch nicht bei der Definition der Treppenfunktion interessieren.
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Zuletzt bearbeitet von Wolf am 10.05.2009, 13:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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Danol
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| (#1285996) Verfasst am: 10.05.2009, 13:30 Titel: |
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| Problem ist dass eine Treppe m.W. nur endlich viele Sprungstellen haben darf. Problematisch ist das, da hier abzählbar unendlich viele Sprungstellen vorliegen.
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Wolf
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| (#1286001) Verfasst am: 10.05.2009, 13:37 Titel: |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Problem ist dass eine Treppe m.W. nur endlich viele Sprungstellen haben darf. Problematisch ist das, da hier abzählbar unendlich viele Sprungstellen vorliegen. |
Mist.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1286002) Verfasst am: 10.05.2009, 13:38 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: |
(man nehme f(x)=1 fuer x=1/n und f(x)=0 sonst auf dem intervall von 0 bis 1, der rest sei dem leser zur uebung ueberlassen.) |
Wähle als obere Treppe o(x)_k=0 für x aus (1/k, 1/(k-1)).
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? kapier ich nicht
oder... ach so, du meinst, man waehlt ganz am anfang o(x)=1 in einem kleinen intervall und danach o(x)=0, nur dass man an den sprungstellen (die man geeignet waehlt) o(x)=1 setzt?
ja klar, kann man machen.
aber es bleibt das problem, dass du fuer kein epsilon zwischen 0 und 1 garantieren kannst, dass ||o-u|| kleiner epsilon. das geht immer auf dem ersten intervallstueck ab 0 schief. irgendwie scheint mir dein beweis (eroeffnungsposting) damit unrettbar.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1286004) Verfasst am: 10.05.2009, 13:41 Titel: |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Problem ist dass eine Treppe m.W. nur endlich viele Sprungstellen haben darf. Problematisch ist das, da hier abzählbar unendlich viele Sprungstellen vorliegen. |
genau das ist die springende stelle... aeh... ich meine, der springende punkt.
zumindest forster analysis I erlaubt nur endlich viele sprungstellen. damit muss im ersten stueck (rechts von null) o(x) mindestens 1 und u(x) hoechstens 0 sein und das ||o-u|| kleiner epsilon kann man sich von der backe wischen...
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Wolf
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| (#1286005) Verfasst am: 10.05.2009, 13:43 Titel: Re: Integriebarkeit fehlerhafter Beweis? |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | aber es bleibt das problem, dass du fuer kein epsilon zwischen 0 und 1 garantieren kannst, dass ||o-u|| kleiner epsilon. das geht immer auf dem ersten intervallstueck ab 0 schief. irgendwie scheint mir dein beweis (eroeffnungsposting) damit unrettbar. |
Ich muss noch kurz überlegen.
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Danol
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| (#1286006) Verfasst am: 10.05.2009, 13:46 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | zumindest forster analysis I erlaubt nur endlich viele sprungstellen. damit muss im ersten stueck (rechts von null) o(x) mindestens 1 und u(x) hoechstens 0 sein und das ||o-u|| kleiner epsilon kann man sich von der backe wischen... |
Naja, wie schon gesagt sollte man das retten können, da man die Nullmenge der Unstetigkeitsstellen ja in einer beliebig kleinen offenen Menge einschließen kann. Man muss dann nur die integrierbarkeit für diese offene Menge und den Rest des Intervalls getrennt zeigen.
[Edit: Getrennt ist ein doofes Wort, ich befürchte das ist missvertständlich. Mir fällt aber nix besseres ein.]
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Wolf
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| (#1286009) Verfasst am: 10.05.2009, 13:51 Titel: |
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| ´Wolf hat folgendes geschrieben: | Ja, aber ich wollte eigentlich kein Wissen über Nullmengen und co reinstecken.
Aber ich kann ihn glaube ich auch ohne retten einen Moment Zeit bitte. |
Nein.
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Zuletzt bearbeitet von Wolf am 10.05.2009, 14:02, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Danol
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| (#1286011) Verfasst am: 10.05.2009, 13:55 Titel: |
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Dafür brauchst Du kein Wissen über Nullmengen, Du musst nur begründen können das diese offene Menge beliebig klein werden kann. Geht ganz ohne Nullmengen 
Aber ich bin auf Deine Rettung gespannt, also leg los
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Wolf
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| (#1286013) Verfasst am: 10.05.2009, 13:58 Titel: |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Dafür brauchst Du kein Wissen über Nullmengen, Du musst nur begründen können das diese offene Menge beliebig klein werden kann. Geht ganz ohne Nullmengen |
Da fehlt dann aber nur noch die Erwähnung der Nullmenge.
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Danol
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| (#1286015) Verfasst am: 10.05.2009, 14:00 Titel: |
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| Keine Ahnung wie Du das jetzt meinst. Btw. dein vorletzter Beitrag ist irgendwie komisch.
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Wolf
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| (#1286021) Verfasst am: 10.05.2009, 14:07 Titel: |
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| Danol hat folgendes geschrieben: | | Keine Ahnung wie Du das jetzt meinst. Btw. dein vorletzter Beitrag ist irgendwie komisch. |
Wenn ich ganzen Unstetigkeitsstellen überdecken und zeige, dass die Überdeckung beliebig klein wird, also das Integral darüber verschwindet, habe ich ja im Prinzip und nicht nur im Prinzip eine Nullmengen verwendet. Ich wollt die eigentlich umgehen.
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tridi
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| (#1286031) Verfasst am: 10.05.2009, 14:24 Titel: |
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nullmengen, ueberdeckungen der sprungstellen etc... das klingt mir alles viel zu sehr nach lebesgue.
moeglich, dass man mit lebesgueschen kanonen riemannsche spatzen abschiessen kann, aber... gefaellt mir nicht. es geht doch nur um riemannsche integrale.
der bisherige beweis beruht darauf, dass man o(x), u(x) mit ||o-u|| kleiner epsilon finden kann, das ist so nicht zu retten, da diese aussage einfach falsch ist (zumindest nach der def. im forster analysis I).
aber der zu beweisende satz ist sicher richtig. man finde eine maximalgrenze m fuer |exp(x)-exp(y)| / |x-y| , die natuerlich nicht allgemein existiert, wohl aber fuer den bereich, in dem sich g(x) bewegt. wenn nun epsilon groesser null gegeben ist, suche man o und u so, dass int o - int u kleiner epsilon / m. dann sind exp(o(x)) und exp(u(x)) obere und untere treppenfkt fuer exp(g(x)), und int exp(o)-exp(u) kleiner m*int(o-u), also kleiner epsilon. fertig...
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Danol
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| (#1286062) Verfasst am: 10.05.2009, 15:33 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Wenn ich ganzen Unstetigkeitsstellen überdecken und zeige, dass die Überdeckung beliebig klein wird, also das Integral darüber verschwindet, habe ich ja im Prinzip und nicht nur im Prinzip eine Nullmengen verwendet. Ich wollt die eigentlich umgehen. |
Du hast einen sehr, sehr simplen Spezialfall einer Nullmenge verwendet. Einen so simplen, dass Du das sogar ganz ohne ein Maß zu definieren tun kannst.
| tridi hat folgendes geschrieben: | nullmengen, ueberdeckungen der sprungstellen etc... das klingt mir alles viel zu sehr nach lebesgue.
moeglich, dass man mit lebesgueschen kanonen riemannsche spatzen abschiessen kann, aber... gefaellt mir nicht. es geht doch nur um riemannsche integrale. |
Ich hab' nichts weiter vorgeschlagen als den Beweiß zu Deiner obigen, etwas exotischen, Funktion auf die allgemeinere Situation zu übertragen. Das halt ich nicht unbedingt für zu kompliziert, ist aber Geschmackssache ...
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Wolf
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| (#1286142) Verfasst am: 10.05.2009, 18:14 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: |
der bisherige beweis beruht darauf, dass man o(x), u(x) mit ||o-u|| kleiner epsilon finden kann, das ist so nicht zu retten, da diese aussage einfach falsch ist (zumindest nach der def. im forster analysis I). |
Stimmt aber fast. Nur auf einer Nullmenge kann o-u größer epsilion sein. So könnte man den Beweis auch retten, aber das gefällt mir gar nicht.
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Wolf
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| (#1286143) Verfasst am: 10.05.2009, 18:20 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | man finde eine maximalgrenze m fuer |exp(x)-exp(y)| / |x-y| , die natuerlich nicht allgemein existiert, wohl aber fuer den bereich, in dem sich g(x) bewegt. wenn nun epsilon groesser null gegeben ist, suche man o und u so, dass int o - int u kleiner epsilon / m. dann sind exp(o(x)) und exp(u(x)) obere und untere treppenfkt fuer exp(g(x)), und int exp(o)-exp(u) kleiner m*int(o-u), also kleiner epsilon. fertig... |
Edit: Irgendwie habe ich Zweifel an der Existenz von m.
Wie schließt du aus durch 0 zu dividieren?
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1286162) Verfasst am: 10.05.2009, 19:55 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | man finde eine maximalgrenze m fuer |exp(x)-exp(y)| / |x-y| , die natuerlich nicht allgemein existiert, wohl aber fuer den bereich, in dem sich g(x) bewegt. wenn nun epsilon groesser null gegeben ist, suche man o und u so, dass int o - int u kleiner epsilon / m. dann sind exp(o(x)) und exp(u(x)) obere und untere treppenfkt fuer exp(g(x)), und int exp(o)-exp(u) kleiner m*int(o-u), also kleiner epsilon. fertig... |
Edit: Irgendwie habe ich Zweifel an der Existenz von m.
Wie schließt du aus durch 0 zu dividieren? |
das ist simpel:
wenn g riemann-intgrierbar, dann gibts ne obere treppenfkt, die hat ein maximum, somit ist g nach oben beschraenkt, nennen wir diese schranke s. nun gilt fuer x,y kleiner gleich s und x ungleich y nach dem mittelwertsatz der diffrechnung |exp(x)-exp(y)| / |x-y| = exp'(z) fuer ein z kleiner gleich s. beachten wir noch exp'(z)=exp(z) und dass exp monoton steigend ist, so kann man m einfach gleich exp(s) waehlen.
die division durch null ist kein problem, denn gebraucht wird nur |exp(x)-exp(y)| kleiner gleich m*|x-y|, und das gilt fuer x verschieden von y wie eben gezeigt und fuer x=y gilts sowieso.
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Wolf
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Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
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| (#1286261) Verfasst am: 10.05.2009, 21:56 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | man finde eine maximalgrenze m fuer |exp(x)-exp(y)| / |x-y| , die natuerlich nicht allgemein existiert, wohl aber fuer den bereich, in dem sich g(x) bewegt. wenn nun epsilon groesser null gegeben ist, suche man o und u so, dass int o - int u kleiner epsilon / m. dann sind exp(o(x)) und exp(u(x)) obere und untere treppenfkt fuer exp(g(x)), und int exp(o)-exp(u) kleiner m*int(o-u), also kleiner epsilon. fertig... |
Edit: Irgendwie habe ich Zweifel an der Existenz von m.
Wie schließt du aus durch 0 zu dividieren? |
das ist simpel:
wenn g riemann-intgrierbar, dann gibts ne obere treppenfkt, die hat ein maximum, somit ist g nach oben beschraenkt, nennen wir diese schranke s. nun gilt fuer x,y kleiner gleich s und x ungleich y nach dem mittelwertsatz der diffrechnung |exp(x)-exp(y)| / |x-y| = exp'(z) fuer ein z kleiner gleich s. beachten wir noch exp'(z)=exp(z) und dass exp monoton steigend ist, so kann man m einfach gleich exp(s) waehlen. |
An den guten alten MWS hatte ich gar nicht mehr gedacht. | Zitat: |
die division durch null ist kein problem, denn gebraucht wird nur |exp(x)-exp(y)| kleiner gleich m*|x-y|, und das gilt fuer x verschieden von y wie eben gezeigt und fuer x=y gilts sowieso. |
Ja ich hab mich falsch ausgedrückt. Ich wollte eigentlich nur wissen ob exp(x)-exp(y)/x-y nicht abhaut, wenn x-y fast 0 wird. Im nachhinein erscheint mir die Frage ausgesprochen dämlich.(Noch dämlicher als die falsche Formulierung).
Aber ich dachte mir bereits, dass du auch die eigentliche Frage beantworten würdest.
Dein Beweis ist einfach klasse und vorallem benützt er nur einfache Mittel.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
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| (#1286352) Verfasst am: 11.05.2009, 01:35 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: |
An den guten alten MWS hatte ich gar nicht mehr gedacht. |
der mittelwertsatz war hier allerdings nicht beweiserheblich, ich habe ihn nur bei der endgueltigen formulierung genutzt, um die sache schnell und einfach zu erschlagen.
beim finden des beweises ging es einfach darum, zu erkennen, dass |exp(x)-exp(y)|/|x-y| was mit der ableitung zu tun hat und einfach nicht groesser sein kann als die maximale steigung von exp im betrachteten bereich. ist schon anschaulich klar... formal wollte ichs dann, von der anschauung her kommend, erst mit exp(x)-exp(y) = integral exp' von x bis y machen und das integral mit dem maximum der ableitung exp', multipliziert mit der intervalllaenge |x-y|, abschaetzen, das haetts auch getan, aber der mittelwertsatz erschlug die sache dann einfacher und schneller.
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Ich wollte eigentlich nur wissen ob exp(x)-exp(y)/x-y nicht abhaut, wenn x-y fast 0 wird. Im nachhinein erscheint mir die Frage ausgesprochen dämlich.
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lol... da ich annehme, dass du eigentlich weisst, was ne ableitung ist, und auch die ableitung von exp(x) kennst, ist die frage wirklich "ausgesprochen daemlich"
vielleicht troestet es dich, wenn ich dir versichere, dass ich auch gelegentlich n brett vorm kopf hab - geht wohl jedem so
| Zitat: |
Dein Beweis ist einfach klasse und vorallem benützt er nur einfache Mittel. |
hmmm... ich fand das jetzt eigentlich einfach nur naheliegend, nix besonderes dran...
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