Ein Rätsel (scharf formuliert und in 5 Schwierigkeitsstufen)

[Yogosh]

Man habe 13 Metallkugeln die alle gleich aussehen, gleich groß sind und fast alle gleich viel wiegen.
Eine und nur eine der Kugeln weicht im Gewicht ein klitzekleines bißchen vom Standard ab.
Es ist nicht bekannt, ob diese Kugel zu leicht oder zu schwer ist.
Man hat außerdem eine Balkenwaage die stabil und genau genug für die folgende Aufgabe ist:

Stufe 1:
Man finde die eine abweichende Kugel mit Hilfe dieser Balkenwaage (und keinen weiteren Hilfsmitteln!) und in nur drei Wiegevorgängen. Man muss die Kugel nur finden, nicht herausfinden, ob sie zu schwer oder zu leicht ist.
(Da jede Benutzung der Waage verschiedene mögliche Ausgänge haben kann, besteht eine Lösung aus einem Entscheidungsbaum bei dem man an jedem Ende die Kugel gefunden hat.)


Für Ehrgeizige:
Stufe 2: Man überlege sich für wieviele Kugeln man das Rätsel lösen könnte, wenn man 4, 5, 6 etc. mal wiegen dürfte.
(Wenn man das Prinzip hinter der eigenen Lösung verstanden hat, sollte das einfach sein)

Stufe 3: Man leite eine Formel für den Fall von n Wiegevorgängen ab
(Mittelstufenmathematik dürfte dafür ausreichen)

Stufe 4: Man beweise diese Formel
(Vollständige Induktion, also wohl Oberstufe und Leistungskurs)

Stufe 5: Man beweise dass es keine Lösungen gibt, die für mehr als die von der Formel angegebenen Lösung funktionieren.
(Keinen blassen Schimmer, wie man das beweisen könnte)
_________________
"If the King's English was good enough for Jesus Christ, it's good enough for the children of Texas!" - Miriam Amanda "Ma" Ferguson, Governor of Texas, als Begründung gegen Spanischunterricht

[step]

Kenne die Lösung schon, vielleicht sogar hier schon mal gepostet. Viel Spaß, besonders beim Beweisen. Übrigens behaupte ich, daß die Induktionsbeweise keinesfalls in der Mittelstufe und vermutlich auch selten in der Oberstufe gelöst werden können.

EDIT: Hier war's:
http://freigeisterhaus.de/viewtopic.php?p=918761#918761 ff.
_________________
Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.