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Antidogmatiker
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.02.2008
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 (#1412637) Verfasst am: 04.01.2010, 06:10 Titel: Nahe Doppelsterne, wenn sie zu Roten Riesen werden... |
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Nehmen wir mal ein Doppelsternsystem mit einem Stern von einer und einem von 3 Sonnenmassen, die beide 10 Millionen km voneinander entfernt sind. Irgendwann wird der Stern mit 3 Sonnenmassen ins Rote-Riesen-Stadium eintreten. Jetzt wird aus einem Stern mit 3 Sonnenmassen ein Riese mit über 300 Millionen km Durchmesser. Der andere Stern ist aber nur 10 Millionen km entfernt. Was passiert dann da?
Nehmen wir nun ein Doppelsternsystem dessen beide Sterne die gleiche Massen haben (sagen wir: je 1 Sonnenmasse), ebenfalls 10 Millionen km voneinander entfernt. Irgendwann werden beide zu roten Riesen werden und zwar gleichzeitig. Was passiert, wenn sie sich einem Durchmesser 10 Millionen km nähern und schließlich überschreiten (die werden ja ebenfalls viel größer)?
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1412680) Verfasst am: 04.01.2010, 11:17 Titel: Re: Nahe Doppelsterne, wenn sie zu Roten Riesen werden... |
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| Antidogmatiker hat folgendes geschrieben: | Nehmen wir mal ein Doppelsternsystem mit einem Stern von einer und einem von 3 Sonnenmassen, die beide 10 Millionen km voneinander entfernt sind. Irgendwann wird der Stern mit 3 Sonnenmassen ins Rote-Riesen-Stadium eintreten. Jetzt wird aus einem Stern mit 3 Sonnenmassen ein Riese mit über 300 Millionen km Durchmesser. Der andere Stern ist aber nur 10 Millionen km entfernt. Was passiert dann da?
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ich versuche mal ne schaetzung, die mit vorsicht zu geniessen ist, da ich kein astronom bin:
erste ueberlegung: den kleineren stern interessierts wohl relativ wenig, wenn er durch die duenne (gemeint: wenig dichte) gashuelle des anderen fliegt. kann zu hoellischen bedingungen auf der einen seite der oberflaeche des kleinen sterns fuehren, aber was solls, im innern des sterns sind die bedingungen auch hoellisch...
zweite ueberlegung: bei deinen daten ist doch noch eine erhebliche dichte der atmosphaere des roten riesen am ort des anderen sterns zu erwarten. macht das doch was? aber: sobald die atmosphaere des riesen ernsthaft in die naehe das anderen sterns kommt, wird letzterer sie aufsammeln (und das, was er nicht sofort aufsammelt, ziemlich durcheinanderwirbeln).
dritte ueberlegung: "ernsthaft in die naehe kommt" schrieb ich grade... ist das bei deinen daten nicht eh schon von anfang an der fall? ich wuerde davon ausgehen, dass sich die beiden sterne doch massiv gegenseitig beeinflussen. bei festkoerpern wuerde ich von gebundener rotation ausgehen, sie zeigen sich immer dieselbe seite. ein stern ist nicht fest, aber tendenziell koennte das aehnlich aussehen. wie eine starre rotierende hantel. wenn nun der eine teil allmaehlich zum roten riesen wird, wird sich an dieser form der rotierenden hantel so sehr viel nicht aendern. es duerfte gas vom einen stern zum anderen fliessen. vielleicht sorgt der rote riese aber trotzdem auch irgendwann fuer eine atmosphaere , die beide sterne umgibt, d.h. von aussen sieht man dann einen roten riesen und in dessen innern rotieren halt zwei kerne umeinander. (ob das ewig so bleibt? hmmm...)
| Zitat: |
Nehmen wir nun ein Doppelsternsystem dessen beide Sterne die gleiche Massen haben (sagen wir: je 1 Sonnenmasse), ebenfalls 10 Millionen km voneinander entfernt. Irgendwann werden beide zu roten Riesen werden und zwar gleichzeitig. Was passiert, wenn sie sich einem Durchmesser 10 Millionen km nähern und schließlich überschreiten (die werden ja ebenfalls viel größer)? |
gleichzeitigkeit erscheint mir doch unwahrscheinlich.
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Bynaus
Stellar veranlagt
Anmeldungsdatum: 03.11.2003
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| (#1412687) Verfasst am: 04.01.2010, 11:32 Titel: |
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Ich bin zwar auch kein Astronom  aber die Überlegungen von tridi sind sinnvoll.
Der zweite Stern, der noch nicht zum Roten Riesen geworden ist, wird das Material der Hülle des Roten Riesen innerhalb seiner Hillsphäre (wo seine Gravitation über jene des Riesen dominiert) aufnehmen und damit etwas an Masse zulegen, so lange die Rote Riesen Phase anhält. Vielleicht rücken die Sterne durch die "Reibung" des Hauptreihensterns mit den Hüllen des Roten Riesen auch etwas näher zusammen. Am Ende lässt der Rote Riese auf jeden Fall einen Weissen Zwerg zurück, und DAS hat eine langfristig dramatischere Folge: Wenn nämlich der Hauptreihenstern seinerseits zum Roten Riesen wird, wird der Weisse Zwerg nun seinerseits dessen Hüllen absorbieren, mit gelegentlichen Nova-Ausbrüchen als Folge - und daraus entwickelt sich am Ende, wenn die Masse des Weissen Zwergs die Chandrasekhar-Grenze von 1.44 Sonnenmassen überschreitet, eine Supernova I a.
Dass zwei Sterne gleichzeitig in die Rote Riesen Phase kommen, ist unwahrscheinlich (weil die Sternentwicklung stark von der Masse abhängt, und es unwahrscheinlich ist, dass zwei exakt gleich schwere Sterne einander auch noch umkreisen).
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Shadaik
evolviert
Anmeldungsdatum: 17.07.2003
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| (#1412691) Verfasst am: 04.01.2010, 11:38 Titel: |
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Hmm, ich hatte irgendwo mal gelesen, dass die Planeten bei einer Expansion der Sonne nach aussen gedrängt werden würden, wenn auch nicht so stark wie die Sonne wächst (Merkur und Venus wären am Ende der expansion immer noch weg).
Ist so etwas möglich?
Was den Hauptreihenstern angeht: Würde der nicht durch die Atmosphäre des Roten Riesen ausgebremst und damit an Abstand zum gemeinsamen Mittelpunkt verlieren, wodurch er mittelfristig in den Riesen stürzen würde?
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Alchemist
registrierter User
Anmeldungsdatum: 03.08.2004
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Wohnort: Hamburg
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| (#1412694) Verfasst am: 04.01.2010, 11:46 Titel: |
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| Shadaik hat folgendes geschrieben: | Hmm, ich hatte irgendwo mal gelesen, dass die Planeten bei einer Expansion der Sonne nach aussen gedrängt werden würden, wenn auch nicht so stark wie die Sonne wächst (Merkur und Venus wären am Ende der expansion immer noch weg).
Ist so etwas möglich?
Was den Hauptreihenstern angeht: Würde der nicht durch die Atmosphäre des Roten Riesen ausgebremst und damit an Abstand zum gemeinsamen Mittelpunkt verlieren, wodurch er mittelfristig in den Riesen stürzen würde? |
Versteh ich nicht.
welche Kraft sollte die Planeten den Auseinanderdrücken?
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Shadaik
evolviert
Anmeldungsdatum: 17.07.2003
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| (#1412707) Verfasst am: 04.01.2010, 12:22 Titel: |
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| Alchemist hat folgendes geschrieben: | | Shadaik hat folgendes geschrieben: | Hmm, ich hatte irgendwo mal gelesen, dass die Planeten bei einer Expansion der Sonne nach aussen gedrängt werden würden, wenn auch nicht so stark wie die Sonne wächst (Merkur und Venus wären am Ende der expansion immer noch weg).
Ist so etwas möglich?
Was den Hauptreihenstern angeht: Würde der nicht durch die Atmosphäre des Roten Riesen ausgebremst und damit an Abstand zum gemeinsamen Mittelpunkt verlieren, wodurch er mittelfristig in den Riesen stürzen würde? |
Versteh ich nicht.
welche Kraft sollte die Planeten den Auseinanderdrücken? |
Vermutlich die selbe, die auch die Materie der Sonne nach aussen drückt? Oder die nach aussen wandernde Materie der Sonne selber? Keine Ahnung.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1412731) Verfasst am: 04.01.2010, 13:52 Titel: |
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| Shadaik hat folgendes geschrieben: |
Was den Hauptreihenstern angeht: Würde der nicht durch die Atmosphäre des Roten Riesen ausgebremst und damit an Abstand zum gemeinsamen Mittelpunkt verlieren, wodurch er mittelfristig in den Riesen stürzen würde? |
wenn der hauptreihenstern eine relativgeschwindigkeit zur atmosphaere des roten riesen hat: ja.
wenn du meine obigen ueberlegungen ansiehst, gehe ich aber davon aus, dass schon weit vor der rote-riesen-phase die eigenrotation der beiden sterne sich weitgehend an die rotation der beiden sterne umeinander angepasst haben wird. bei festen koerpern waere wegen der wahnsinnigen gezeitengraefte davon auszugehen, inwieweit das bei doppelsternen auch stimmt, weiss ich nicht.
wenn nun der eine stern zum roten riesen wird, ist die frage, wie schnell das geht und was mit der rotationsgeschwindigkeit der aeusseren gashuelle des beginnenden roten riesen wird. wenn das gas schnell aufsteigt (vom roten riesen aus gesehen), wird die rotationsgeschwindigkeit zurueckgehen (corioliskraft!). auch mit der drehimpulserhaltung laesst sich dies begruenden.
aber an eine so schnelle radiusausdehnung des roten riesen glaube ich nicht recht (was aber dran liegen mag, dass ich mich nicht genug auskenne - wie lang dauert das?). wenns jedenfalls eher langsam ist, wird die reibung eher fuer eine einigermassen einheitliche rotation sorgen. was nicht mit der die sterne verbindenden achse mitrotiert, wird jedenfalls im hauptreihenstern verschwinden, denke ich... also meine vermutung ist, dass es eine grosse relativgeschwindigkeit zwischen riesen-atmosphaere und hauptreihenstern nicht geben wird.
ob trotzdem noch genug reibung da ist, um langfristig zu einem verschmelzen der zentren der beiden sterne zu fuehren... keine ahnung... frag mich was leichteres.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1412743) Verfasst am: 04.01.2010, 14:08 Titel: |
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| Alchemist hat folgendes geschrieben: |
welche Kraft sollte die Planeten den Auseinanderdrücken? |
der rote riese verliert wohl enorm an masse. das veraendert die bahnen der planeten. weniger sonnenmasse, weniger gravitation zur sonne hin, klar, oder?
wenn wir mal alles idealisieren (also erde fliegt auf kreisbahn um die sonne, die eine ideale kugel ist) und wir dann auch noch die sonne zum roten riesen aufblasen, dann ist die schwerkraft der sonne genau die, die man erwartet, wenn alle sonnenmasse, die naeher am sonnenkern ist als die erde, in diesem sonnenkern konzentriert waere. alle weiter vom sonnenkern entfernte sonnenmaterie (also weiter weg als die erde) haette gravitationstechnisch ueberhaupt keinen effekt.
wenn also 5% der sonnenmasse sich vom sonnenkern ueber die erde hinaus entfernen, wird die gravitationskraft auf die erde 5% geringer.
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Bynaus
Stellar veranlagt
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pera
auf eigenen Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256
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| (#1412927) Verfasst am: 04.01.2010, 19:16 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: |
wenn also 5% der sonnenmasse sich vom sonnenkern ueber die erde hinaus entfernen, wird die gravitationskraft auf die erde 5% geringer. |
Da bin ich mir nicht sicher, ob die Beziehung Masse / Gravitation in dem Fall so einfach ist.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1412985) Verfasst am: 04.01.2010, 21:00 Titel: |
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| pera hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: |
wenn also 5% der sonnenmasse sich vom sonnenkern ueber die erde hinaus entfernen, wird die gravitationskraft auf die erde 5% geringer. |
Da bin ich mir nicht sicher, ob die Beziehung Masse / Gravitation in dem Fall so einfach ist. |
macht nichts, denn ich bin mir sicher
soviel ist bei mir wohl noch vom grundstudium (1985-87) haengengeblieben. herleitbar ist das ueber das recht interessante gravitationsfeld einer hohlkugel. ich frag mich grad, ob ich das heute noch so ausrechnen koennte... lange her, aber ich glaub, da brauchte man keine besonderen tricks, muesste ich (hoffentlich) noch hinkriegen. ergebnis ist jedenfalls, dass die hohlkugel im innern gar kein gravitationsfeld hat und nach aussen wirkt wie ein massepunkt im zentrum der kugel (mit gleicher masse natuerlich). alles ausserhalb der erdbahn interessiert also nicht, und alles innerhalb kann man fuer gravitationszwecke wie ne punktfoermige masse im sonnenmittelpunkt betrachten. und die gravitation ist nun einmal proportional zu der masse, die einen anzieht...
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Bynaus
Stellar veranlagt
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| (#1413013) Verfasst am: 04.01.2010, 21:34 Titel: |
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| pera hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: |
wenn also 5% der sonnenmasse sich vom sonnenkern ueber die erde hinaus entfernen, wird die gravitationskraft auf die erde 5% geringer. |
Da bin ich mir nicht sicher, ob die Beziehung Masse / Gravitation in dem Fall so einfach ist. |
F = G * M(s) * M(e) / R^2 (Gravitationsgesetz von Newton)
Wenn M*(s) = 0.95 * M(s), dann ist F* auch 0.95 * F.
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Antidogmatiker
registrierter User
Anmeldungsdatum: 29.02.2008
Beiträge: 330
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| (#1413019) Verfasst am: 04.01.2010, 21:39 Titel: |
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| Bynaus hat folgendes geschrieben: | | Der zweite Stern, der noch nicht zum Roten Riesen geworden ist, wird das Material der Hülle des Roten Riesen innerhalb seiner Hillsphäre (wo seine Gravitation über jene des Riesen dominiert) aufnehmen und damit etwas an Masse zulegen, so lange die Rote Riesen Phase anhält. Vielleicht rücken die Sterne durch die "Reibung" des Hauptreihensterns mit den Hüllen des Roten Riesen auch etwas näher zusammen. Am Ende lässt der Rote Riese auf jeden Fall einen Weissen Zwerg zurück (...) |
Wird der zweite Stern das Gas der jeweils äußersten Hüllen des Anderen so schnell aufnehmen, dass die Hülle des Roten Riesen nie über den zweiten Stern hinausreichen wird? Wenn ja, dann würde das Ganze sehr schnell ablaufen (während des Eintritts in das Rote-Riesen-Stadium). Interessant wird es, wenn der zweite Stern dann zum weißen Zwerg wird. Werden dabei die noch verbliebenen äußeren Hüllen abgestoßen oder werden die Teil des weißen Zwergs (schließlich sind die ja anders als bei einem normalen weißen Zwerg recht nah dran)?
| Bynaus hat folgendes geschrieben: | | Dass zwei Sterne gleichzeitig in die Rote Riesen Phase kommen, ist unwahrscheinlich (weil die Sternentwicklung stark von der Masse abhängt, und es unwahrscheinlich ist, dass zwei exakt gleich schwere Sterne einander auch noch umkreisen). |
Es geht mir ja nich darum, wie wahrscheinlich sowas ist, sondern, was passiert, wenn dieser unwahrscheinliche Fall eintritt.
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Bynaus
Stellar veranlagt
Anmeldungsdatum: 03.11.2003
Beiträge: 1888
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| (#1413203) Verfasst am: 05.01.2010, 11:18 Titel: |
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Es ist interessant, dass diese Fragen genau jetzt aufgetaucht sind. An einer Pressekonferenz gestern hat das amerikanische Wissenschaftler-Team, welches das Planetensuchteleskop "Kepler" betreibt, eine interessante Entdeckung bekannt gegeben: Es gibt offenbar "Jupiter-grosse", aber gleichzeitig superheisse Objekte, die keine Sterne sind, aber einen Stern umkreisen.
Eine mögliche Erklärung dafür ist, dass es sich um eine Art "Weisse Zwerge" handelt, die einen grossen Teil ihrer Masse während ihrer Riesen-Phase an ihren (sehr nahen) Stern verloren haben, so dass der Weisse Zwerg jetzt ungewöhlich massearm und damit gross ist (weil ihm die Gravitation fehlt, um sich auf die typische Erdgrösse zu kompaktieren).
http://www.skyandtelescope.com/news/home/80621797.html
| Zitat: | | Two very hot objects that Kepler found orbiting white, type-A stars appear to be too hot to be planets but too low-mass to be stars. These may be an odd class of "not-really-white-dwarfs" — in which a normal white dwarf has shed all but about 0.15 solar mass to its companion star, and has thus enlarged beyond normal white-dwarf size due to its lower mass, gravity, and degree of compression. |
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256
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| (#1413439) Verfasst am: 05.01.2010, 20:51 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | ....ergebnis ist jedenfalls, dass die hohlkugel im innern gar kein gravitationsfeld hat und nach aussen wirkt wie ein massepunkt im zentrum der kugel (mit gleicher masse natuerlich). alles ausserhalb der erdbahn interessiert also nicht, und alles innerhalb kann man fuer gravitationszwecke wie ne punktfoermige masse im sonnenmittelpunkt betrachten. und die gravitation ist nun einmal proportional zu der masse, die einen anzieht... |
Na, dann bin ich aber beruhigt, wenn das so einfach ist. 
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1413446) Verfasst am: 05.01.2010, 21:05 Titel: |
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| pera hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | ....ergebnis ist jedenfalls, dass die hohlkugel im innern gar kein gravitationsfeld hat und nach aussen wirkt wie ein massepunkt im zentrum der kugel (mit gleicher masse natuerlich). alles ausserhalb der erdbahn interessiert also nicht, und alles innerhalb kann man fuer gravitationszwecke wie ne punktfoermige masse im sonnenmittelpunkt betrachten. und die gravitation ist nun einmal proportional zu der masse, die einen anzieht... |
Na, dann bin ich aber beruhigt, wenn das so einfach ist. |
das *ergebnis* ist so einfach. die herleitung hatte ich als einfache integration in kugelkoordinaten in erinnerung, aber als ichs gestern versuchte... oehm... ich haetts nicht auf 5 cm x 5 cm zetteln vom notizblock versuchen sollen. letzten endes scheint mir zwar alles mit trivialen mitteln machbar, aber doch laenglich, und erstmal hab ich mich auf den minizetteln doch zu oft verrechnet. meine scheisse, bin ich aus der uebung...
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256
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| (#1413450) Verfasst am: 05.01.2010, 21:13 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | pera hat folgendes geschrieben: | | tridi hat folgendes geschrieben: | | ....ergebnis ist jedenfalls, dass die hohlkugel im innern gar kein gravitationsfeld hat und nach aussen wirkt wie ein massepunkt im zentrum der kugel (mit gleicher masse natuerlich). alles ausserhalb der erdbahn interessiert also nicht, und alles innerhalb kann man fuer gravitationszwecke wie ne punktfoermige masse im sonnenmittelpunkt betrachten. und die gravitation ist nun einmal proportional zu der masse, die einen anzieht... |
Na, dann bin ich aber beruhigt, wenn das so einfach ist. |
das *ergebnis* ist so einfach. die herleitung hatte ich als einfache integration in kugelkoordinaten in erinnerung, aber als ichs gestern versuchte... oehm... ich haetts nicht auf 5 cm x 5 cm zetteln vom notizblock versuchen sollen. letzten endes scheint mir zwar alles mit trivialen mitteln machbar, aber doch laenglich, und erstmal hab ich mich auf den minizetteln doch zu oft verrechnet. meine scheisse, bin ich aus der uebung... |
Habe jetzt auch nachgesehen, aber auf die Schnelle keine Herleitung gefunden. Glaube dir aber unbedingt, dennoch finde ich es einfach erstaunlich, dass im Inneren sich das Feld an jedem Punkt aufhebt. Verblüffend.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1413522) Verfasst am: 05.01.2010, 22:54 Titel: |
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| pera hat folgendes geschrieben: | | dennoch finde ich es einfach erstaunlich, dass im Inneren sich das Feld an jedem Punkt aufhebt. Verblüffend. |
ja, fand ich damals auch verblueffend.
was die herleitung angeht: mich hat gestern geaergert, dass ichs bei diesem versuch auf notizblockzetteln nicht so schnell hingekriegt hab (zu oft verrechnet) und ich ueberlegte schon, das nochmal sauber zu machen, eventuell am computer. wenn ichs noch mache, waerst du dran interessiert? ein raumintegral in kugelkoordinaten ist noetig (kennst du das?), bisschen geometrie zum aufstellen des integranden, eine kleine substitution, eine partielle integration... und ne menge rechnerei... soweit ich das bisher sehe. (bei interesse schreib ichs, wenn ichs noch mache, gleich so, dass ichs auch posten kann.)
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256
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| (#1413534) Verfasst am: 05.01.2010, 23:12 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: | | pera hat folgendes geschrieben: | | dennoch finde ich es einfach erstaunlich, dass im Inneren sich das Feld an jedem Punkt aufhebt. Verblüffend. |
ja, fand ich damals auch verblueffend.
was die herleitung angeht: mich hat gestern geaergert, dass ichs bei diesem versuch auf notizblockzetteln nicht so schnell hingekriegt hab (zu oft verrechnet) und ich ueberlegte schon, das nochmal sauber zu machen, eventuell am computer. wenn ichs noch mache, waerst du dran interessiert? ein raumintegral in kugelkoordinaten ist noetig (kennst du das?), bisschen geometrie zum aufstellen des integranden, eine kleine substitution, eine partielle integration... und ne menge rechnerei... soweit ich das bisher sehe. (bei interesse schreib ichs, wenn ichs noch mache, gleich so, dass ichs auch posten kann.) |
Absolut! Interessiert, meine ich. Raumintegral etc. sollte kein Problem sein, bin schon gespannt,
wie sich alles zu 0 ergibt. Habe mir das Ganze anhand einer Skizze wenigstens plausibel gemacht,
warum es so sein könnte. Ein Beweis ist aber ein Beweis. Viel Erfolg.
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tridi
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Anmeldungsdatum: 21.06.2007
Beiträge: 7933
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| (#1413580) Verfasst am: 06.01.2010, 00:58 Titel: |
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| pera hat folgendes geschrieben: |
Absolut! Interessiert, meine ich. Raumintegral etc. sollte kein Problem sein, bin schon gespannt,
wie sich alles zu 0 ergibt.
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bin auch gespannt, hoffentlich krieg ichs morgen vernuenftig hin.
eine solche rechnung hat allerdings den nachteil, dass am ende zwar das gewuenschte rauskommt, aber richtig verstanden, wieso, hat man damit nicht. also hab ich grad nochmal ueber andere loesungen nachgedacht:
zum einen kann man den kram mit stokes erschlagen und damit, dass die divergenz des gravitationsfeldes die massedichte ist (wie beim elektrischen feld die ladungsdichte). damit ist fuer eine kugelsymmetrische ladungs- bzw. masseverteilung innerhalb einer kugel sofort klar, dass es fuer das feld am kugelrand ueberhaupt nicht drauf ankommt, wie im innern die ladung oder die masse verteilt ist, sondern nur darauf, wieviel ladung bzw. masse sich dort insgesamt befindet. man kann die ladung bzw masse also einfach im mittelpunkt konzentrieren, ohne dass sich was aendert. im innern einer hohlkugel aber kommts nach stokes eben nur auf das volumenintegral der divergenz des feldes weiter innen an, und das ist null, da dort eben keine ladung/masse ist.
so kriegt man es sofort erschlagen, benoetigt aber eben mit stokes ein ziemlich maechtiges hilfsmittel. einem schueler oder erstsemester kann man damit wohl nicht kommen.
fuer das innere einer duennen hohlkugel aber gibts noch einen ganz elementaren beweis, der auch wirklich einsichtig ist:
nimm an, du befindest dich im innern einer duennen hohlkugel (dicke dr) und willst wissen, wie deren gravitation auf dich wirkt. du kannst in alle richtungen gucken und siehst ueberall ein stueck der hohlkugel. unterteile nun dein blickfeld in kleine raumwinkelelemente: ich werde dir zeigen, dass jedes kleine hohlkugelstueck, dass du in einem raumwinkelelement siehst, dich genauso stark anzieht wie das entsprechende stueck im raumwinkelelement genau gegenueber. (und damit hebt sich das dann alles auf.)
also, gucke in die eine richtung, ein raumwinkelelement dO (O wie Omega  ). in diesem raumelement siehst du ein hohlkugelstueck. wenn es zufaellig senkrecht zu deiner blickrichtung steht, hat es die flaeche dO*r1^2, wobei r1 dein abstand davon ist, also das volumen dO*(r1^2)*dr und die masse dO*(r1^2)*dr*dichte. nun gucke gegenueber, dort siehst du die masse dO*(r2^2)*dr*dichte, wenn r2 dein abstand von diesem anderen hohlkugelstueck ist. Sieht anders aus, aber... zur berechnung der gravitationskraft musst du ja noch durch r1^2 bzw r2^2 teilen - und schon ist beides gleich gross und hebt sich auf. (kurz: flaeche geht mit r^2, gravitation aber mit r^(-2), das hebt sich auf.) fertig... aeh... wenn da nicht noch ein problem waere: ich habe grade vorausgesetzt, dass diese flaechenstuecke zufaellig senkrecht zu der graden durch dich und die beiden flaechenstuecke ist - was nur der fall ist, wenn du grade durch den mittelpunkt der kugel guckst oder in die gegenueberliegende richtung.
im allgemeinen fall aber ist diese verbindungsgrade zwischen den beiden flaechenstuecken, auf der auch du dich befindest, keine grade durch den mittelpunkt, sondern einfach irgendeine sehne der kugel. diese sehne durchbohrt die kugeloberflaeche im winkel alpha auf der einen seite und beta auf der anderen seite, und du kriegst damit in obige rechnungen jeweils nen faktor (1/cos alpha) oder (1/cos beta), was alles kaputt macht - es sei denn, es ist alpha=beta. das aber ist der fall, bei jeder sehne, einfach aus symmetriegruenden: betrachte die ebene senkrecht zur sehne durch den mittelpunkt der sehne, diese ebene geht durch den kugelmittelpunkt, spiegelung an dieser ebene ueberfuehrt die kugel in die kugel, die sehne in die sehne und alpha in beta. fertig.
diese loesung hat den vorteil, dass man wirklich begreift, was sich da jeweils aufhebt - und es ist halt voellig elementar ohne grosse rechnung.
fuer einen punkt ausserhalb der kugel, scheint mir, kann man das zwar verallgemeinern, also wenn man ausserhalb der hohlkugel steht, ist die anziehung durch das flaechenstueck, auf das ich in einem bestimmten raumwinkel direkt gucke, so gross wie die anziehung durch das flaechenstueck dahinter auf der anderen seite der hohlkugel, im selben raumwinkel - nur diesmal heben sich beide nicht auf, sondern wirken in die gleiche richtung. nur wie man mit *dem* weg begruenden soll, dass die anziehung insgesamt der anziehung durch eine punktmasse gleicher masse entspricht... keine ahnung.
aber ich versuchs wahrscheinlich morgen nochmal mit der stumpfen integration in kugelkoordinaten. heut nicht mehr, da kommt um diese uhrzeit nur scheisse raus.
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256
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| (#1413889) Verfasst am: 06.01.2010, 22:27 Titel: |
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| tridi hat folgendes geschrieben: |
eine solche rechnung hat allerdings den nachteil, dass am ende zwar das gewuenschte rauskommt, aber richtig verstanden, wieso, hat man damit nicht. also hab ich grad nochmal ueber andere loesungen nachgedacht:
zum einen kann man den kram mit stokes erschlagen und damit, dass die divergenz des gravitationsfeldes die massedichte ist (wie beim elektrischen feld die ladungsdichte). damit ist fuer eine kugelsymmetrische ladungs- bzw. masseverteilung innerhalb einer kugel sofort klar, dass es fuer das feld am kugelrand ueberhaupt nicht drauf ankommt, wie im innern die ladung oder die masse verteilt ist, sondern nur darauf, wieviel ladung bzw. masse sich dort insgesamt befindet. man kann die ladung bzw masse also einfach im mittelpunkt konzentrieren, ohne dass sich was aendert. im innern einer hohlkugel aber kommts nach stokes eben nur auf das volumenintegral der divergenz des feldes weiter innen an, und das ist null, da dort eben keine ladung/masse ist.
so kriegt man es sofort erschlagen, benoetigt aber eben mit stokes ein ziemlich maechtiges hilfsmittel. einem schueler oder erstsemester kann man damit wohl nicht kommen.
fuer das innere einer duennen hohlkugel aber gibts noch einen ganz elementaren beweis, der auch wirklich einsichtig ist:
nimm an, du befindest dich im innern einer duennen hohlkugel (dicke dr) und willst wissen, wie deren gravitation auf dich wirkt. du kannst in alle richtungen gucken und siehst ueberall ein stueck der hohlkugel. unterteile nun dein blickfeld in kleine raumwinkelelemente: ich werde dir zeigen, dass jedes kleine hohlkugelstueck, dass du in einem raumwinkelelement siehst, dich genauso stark anzieht wie das entsprechende stueck im raumwinkelelement genau gegenueber. (und damit hebt sich das dann alles auf.)
also, gucke in die eine richtung, ein raumwinkelelement dO (O wie Omega ). in diesem raumelement siehst du ein hohlkugelstueck. wenn es zufaellig senkrecht zu deiner blickrichtung steht, hat es die flaeche dO*r1^2, wobei r1 dein abstand davon ist, also das volumen dO*(r1^2)*dr und die masse dO*(r1^2)*dr*dichte. nun gucke gegenueber, dort siehst du die masse dO*(r2^2)*dr*dichte, wenn r2 dein abstand von diesem anderen hohlkugelstueck ist. Sieht anders aus, aber... zur berechnung der gravitationskraft musst du ja noch durch r1^2 bzw r2^2 teilen - und schon ist beides gleich gross und hebt sich auf. (kurz: flaeche geht mit r^2, gravitation aber mit r^(-2), das hebt sich auf.) fertig... aeh... wenn da nicht noch ein problem waere: ich habe grade vorausgesetzt, dass diese flaechenstuecke zufaellig senkrecht zu der graden durch dich und die beiden flaechenstuecke ist - was nur der fall ist, wenn du grade durch den mittelpunkt der kugel guckst oder in die gegenueberliegende richtung.
im allgemeinen fall aber ist diese verbindungsgrade zwischen den beiden flaechenstuecken, auf der auch du dich befindest, keine grade durch den mittelpunkt, sondern einfach irgendeine sehne der kugel. diese sehne durchbohrt die kugeloberflaeche im winkel alpha auf der einen seite und beta auf der anderen seite, und du kriegst damit in obige rechnungen jeweils nen faktor (1/cos alpha) oder (1/cos beta), was alles kaputt macht - es sei denn, es ist alpha=beta. das aber ist der fall, bei jeder sehne, einfach aus symmetriegruenden: betrachte die ebene senkrecht zur sehne durch den mittelpunkt der sehne, diese ebene geht durch den kugelmittelpunkt, spiegelung an dieser ebene ueberfuehrt die kugel in die kugel, die sehne in die sehne und alpha in beta. fertig.
diese loesung hat den vorteil, dass man wirklich begreift, was sich da jeweils aufhebt - und es ist halt voellig elementar ohne grosse rechnung.
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Das ist doch eine astreine und sehr anschauliche Darstellung. Kann ich vollkommen nachvollziehen und, wie du schreibst, "sieht" man den Grund weswegen die Gravitationskraft 0 werden muss und zwar in jedem Punkt im Inneren der Hohlkugel.
Habe eine Berechnung gefunden, mittlerweile, die das Gravitationspotential benutzt und dessen Gradienten, der dann das Schwerefeld beschreibt. Das Potential ist dann konstant und somit das Schwerefeld 0.
Auch schön, aber sehen tut man dabei nichts.
Beim Satz von Stokes bin ich noch am Suchen. Danke für deine Mühen. 
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