Fragen zur Quantenmechanik

[petringer]

Hallo liebes Forum!

Ich studiere eigentlich Philosophie und interessiere mich sehr für Naturphilsophie und in diesem Zusammenhang natürlich auch sehr für die Quantenmechanik. Da ich schon öfter den Vorwurf von Physikern gehört habe, Philosophen labern nur über die Quantenphysik und kennen sich eigentlich gar nicht damit aus (vllt nicht völlig zu Unrecht ), versuche ich jetzt ein bisschen nachzulernen.

Dabei sind mir folgende Fragen gekommen und wollte fragen, ob ihr mir da weiterhelfen könnt.

1.) Wenn eine Wellenfunktion psi in L^2 und daher normalisierbar ist, folgt daraus dann
lim psi(x)=0 (für x->unendlich)?
Irgendwie habe ich das Gefühl, es müsste schon so sein, weiß aber nicht sicher, wie man dafür argumentiert.

2.) Quantenmechanik lebt ja auf dem Hilbertraum L^2. Wie kann man es vereinbaren, dass nicht jede Funktion in L^2 differenzierbar ist, wir aber gleichzeitig mit dem Laplace-Operator arbeiten?

Vielen Dank, vielleicht fallen mir bald noch neue Fragen ein.
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[sponor]

Hallo und willkommen!

Zu 1: Für eine Funktion folgt das m.W. nicht – man kann wohl "pathologische" Funktionen definieren, die zwar quadratintegrabel sind, aber trotzdem nicht verschwinden.
Für eine Wellenfunktion (von gebundenen Zuständen) gilt es aber schon – per Definition. (Ich glaube, das läuft auf die Erhaltung der Materie hinaus.)

Zu 2: Verstehe das Problem nicht ganz... Auch hier muss man halt geeignete Definition wählen: Nicht jede L2-Funktion kann/darf auch eine Wellenfunktion sein.
(Das ist in der Physik eigentlich überall so, die Definitionsbereichsangabe wird aber gern vergessen. Genauso, wie man oft "unphysikalische" Ergebnisse verwirft, negative Terme oder so.)
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Unsere Welt wird noch so fein werden, daß es so lächerlich sein wird, einen Gott zu glauben als heutzutage Gespenster.
(G. Chr. Lichtenberg)

[petringer]

Vielen Dank für Deine Antwort.

Zu 1.) Ja, immer diese Mathematiker mit ihren pathologischen Gegenbeispielen Ich werde mal das Netz durchforsten, um ein solches zu finden.

Zu 2.) Also ist der L^2 strenggenommen gar nicht der Hilbertraum, auf dem Quantenmechanik betrieben wird, sondern der Schnitt von L^2 mit dem Raum der 2-fach differenzierbaren Funktionen?
Gibt es (interessante) quantenechanische Systeme ohne Laplace-operator, d.h. ohne kinetische Energie?
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[step]

@petringer: Das sind sehr gute Fragen! (für einen Philosophen

[petringer]

Ich habe jetzt ein Gegenbeispiel für meine ursprüngliche Behauptung gefunden. Man muss einfach nur eine Funktion nehmen, die bei jeder natürlichen Zahl n auf eins geht, der Höcker darf aber nicht breiter als 1/n^2 sein. Dann kann man das Integral mit Summe(1/n^2)=pi^2/6 dominieren.
Was das jetzt physikalisch für einen Sinn hat, weiß ich aber auch nicht.
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[Tso Wang]

[step]

[petringer]

Ich hätte ja jetzt schon ein (pathologisches) Gegenbeispiel (s.o.).

Die ebene Welle hat doch das Problem, nicht in L^2 zu sein. Wie rechtfertigt man dann, dass k^2 im Energiespektrum ist, da doch

-L (exp(-ikx))=k^2 (exp(-ikx)) ,wobei

L der Laplaceoperator ist und ich diese ganzen nervigen Konstanten weggelassen habe?
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[step]

[step]

[petringer]

Meine Bemerkung zu den ebenen Wellen habe ich nur gemacht, weil ich eine ähnliche Argumentation mal irgendwo gelesen habe, dass das Spektrum von freien Teilchen (muss ja kein Licht sein - kann man Licht überhaupt mit der QM beschreiben?) eben von 0 bis unendlich geht.

Klar ist das nicht physikalisch, aber ist es ja nicht sowieso irgendwie unphysikalisch, die Schrödingergleichung über der unendlichen Achse der reellen Zahlen zu lösen?

Als Philosoph (oder zumindest Stammtischphilosoph) interessiere ich mich natürlich auch für die verschiedenen Interpretationen. Habt ihr schon mal was von der Bohmschen Mechanik gehört? Soweit ich ihren Stellenwert beurteilen kann, beweist sie doch, dass aus den Postulaten der QM nicht notwendigerweise Indeterminismus folgen muss.
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[Tso Wang]

[Tso Wang]

[petringer]

[Tso Wang]

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[Tso Wang]

[petringer]

Ich sehe jetzt ein, dass der Term 1/m nur vorkommt, wenn man die kinetische Energie gleich p^2/2m setzt, was nicht notwendig ist - danke dafür.

Wie sieht dann der Hamiltonian eines Photons aus? Benutzt man E=c*p? Aber ist dann nicht das Problem, dass p in dieser Gleichung nur sinnvoll als skalare Größe ist, man als den absoluten Betrag nehmen muss p=sqrt(px^2+py^2+pz^2)? Identifiziere ich dann aber px^2+py^2+pz^2=-Laplace, was soll dann sqrt(-Laplace) sein?
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A-braham sieht B-braham, doch wollte er ein C-braham.

[step]

[Kival]

[petringer]

[Kival]

[petringer]

[Kival]

Meine rudimentären Physikkenntnisse sind eher relativistisch als quantemechanisch geprägt. Daher von mir halt eher von dort aus.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Tso Wang]

[petringer]

[Kival]

Schrödinger ist ja eigentlich nicht relativistisch. Man kann es nur anpassen.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Tso Wang]

[petringer]

[petringer]