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Mathematische Fragestellungen

 
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Lord Snow
I am the one who knocks



Anmeldungsdatum: 05.09.2006
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Beitrag(#1858912) Verfasst am: 18.08.2013, 16:57    Titel: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Ich versuche meine Mathematik-Kenntnisse aufzufrischen. Bei der Geometrie hänge ich gerade bei der Ellipse etwas in der Luft. Da ich weder über das Internet noch über das Mathematikbuch die Frage beantworten kann, die mich interessiert.

Bei der Ellipse gibt es ja wie in Wikipedia zu lesen Punkte F1 und F2 über die man die beiden Brennstrahlen "verbindet". Die Länge der beiden Brennstrahlen zusammengerechnet ergibt sich aus dem (breiteren) Durchmesser der Ellipse. Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ? Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

PS: Falls meine Fragestellung im Wikipedia-Artikel beantwortet wird, muss ich mich entschuldigen, da sind mir einfach viel zu viele Formeln und Bezeichnungen, die auch gar nicht näher erklärt werden. Manchmal ärgert mich Wikipedia schon, da sehr viele Artikel bereits Grundwissen voraussetzen, welches man sich dann mühsam zusammensuchen müsste.
_________________
Ich irre mich nie! Einmal dachte ich, ich hätte mich geirrt, aber da hatte ich mich getäuscht

"Der Gott, der Gott sterben läßt, um Gott zu besänftigen"...Hundert Folianten, die für oder wider das Christentum geschrieben worden sind, ergeben eine geringere Evidenz als der Spott dieser zwei Zeilen.
Denis Diderot
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256

Beitrag(#1858914) Verfasst am: 18.08.2013, 17:10    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Lord Snow hat folgendes geschrieben:
Ich versuche meine Mathematik-Kenntnisse aufzufrischen. Bei der Geometrie hänge ich gerade bei der Ellipse etwas in der Luft. Da ich weder über das Internet noch über das Mathematikbuch die Frage beantworten kann, die mich interessiert.

Bei der Ellipse gibt es ja wie in Wikipedia zu lesen Punkte F1 und F2 über die man die beiden Brennstrahlen "verbindet". Die Länge der beiden Brennstrahlen zusammengerechnet ergibt sich aus dem (breiteren) Durchmesser der Ellipse. Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ? Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

PS: Falls meine Fragestellung im Wikipedia-Artikel beantwortet wird, muss ich mich entschuldigen, da sind mir einfach viel zu viele Formeln und Bezeichnungen, die auch gar nicht näher erklärt werden. Manchmal ärgert mich Wikipedia schon, da sehr viele Artikel bereits Grundwissen voraussetzen, welches man sich dann mühsam zusammensuchen müsste.


Deine Frage ist unterbestimmt. Also 8m soll die "lange" Strecke der Ellipse sein.
Schau dir die Extremfälle an:
- Gerade mit 8m Länge, (zur geraden entartete Ellipse) dann liegen F1, F2 an den Enden. der "kurze" Durchmesser ist 0.
- Kreis mit Durchmesser 8m, dann liegen F1 und F2 im Kreismittelpunkt zusammen. Der "kurze" Durchmesser ist so groß wie der "lange" 8m.

Zwischen den beiden Extremen gibt es unendlich viele Ellipsen deren "langer" Durchmesser 8m
und deren "kurzer" irgendwas zwischen 0 und 8m ist.
Um eine Ellipse zu konstruieren brauchst du eine weitere Angabe.
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Lord Snow
I am the one who knocks



Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 4034
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Beitrag(#1858916) Verfasst am: 18.08.2013, 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

Anders gefragt, wie berechne ich e, also die Länge zu F1 und F2 jeweils vom Mittelpunkt ausgehend?
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Lord Snow
I am the one who knocks



Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 4034
Wohnort: Würzburg

Beitrag(#1858918) Verfasst am: 18.08.2013, 17:16    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

pera hat folgendes geschrieben:
Lord Snow hat folgendes geschrieben:
Ich versuche meine Mathematik-Kenntnisse aufzufrischen. Bei der Geometrie hänge ich gerade bei der Ellipse etwas in der Luft. Da ich weder über das Internet noch über das Mathematikbuch die Frage beantworten kann, die mich interessiert.

Bei der Ellipse gibt es ja wie in Wikipedia zu lesen Punkte F1 und F2 über die man die beiden Brennstrahlen "verbindet". Die Länge der beiden Brennstrahlen zusammengerechnet ergibt sich aus dem (breiteren) Durchmesser der Ellipse. Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ? Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

PS: Falls meine Fragestellung im Wikipedia-Artikel beantwortet wird, muss ich mich entschuldigen, da sind mir einfach viel zu viele Formeln und Bezeichnungen, die auch gar nicht näher erklärt werden. Manchmal ärgert mich Wikipedia schon, da sehr viele Artikel bereits Grundwissen voraussetzen, welches man sich dann mühsam zusammensuchen müsste.


Deine Frage ist unterbestimmt. Also 8m soll die "lange" Strecke der Ellipse sein.
Schau dir die Extremfälle an:
- Gerade mit 8m Länge, (zur geraden entartete Ellipse) dann liegen F1, F2 an den Enden. der "kurze" Durchmesser ist 0.
- Kreis mit Durchmesser 8m, dann liegen F1 und F2 im Kreismittelpunkt zusammen. Der "kurze" Durchmesser ist so groß wie der "lange" 8m.

Zwischen den beiden Extremen gibt es unendlich viele Ellipsen deren "langer" Durchmesser 8m
und deren "kurzer" irgendwas zwischen 0 und 8m ist.
Um eine Ellipse zu konstruieren brauchst du eine weitere Angabe.


Ok, aber da bin ich überfragt welche Angabe das wäre.
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fwo
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Beitrag(#1858920) Verfasst am: 18.08.2013, 17:19    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Lord Snow hat folgendes geschrieben:
... Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ? Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen....

Es gibt nicht nur eine Ellipse mit einer Länge von 8 Metern, dementsprechend gibt es keine Berechnung dafür, wo Du F1 und F2 ansetzen musst. Der Kreis ist einfach ein Spezialfall der Ellipse, bei dem F1 = F2 und Du kannst jetzt beliebig viele unterschiedliche Ellipsen vom Kreis ausgehend immer flacher konstruieren.

Ich habe eben mal in Wikipedia geguckt - ich würde die Definition der Ellipse als Punktmenge als Ausgangsbasis nehmen und damit müsste es klappen. (Abi 73 - seitdem keine Ellipsen mehr)

Zu deiner Kritik an Wikipedia: Es ist unmöglich, eine Enzyklopädie zu erstellen, die bei komplexeren Themen alles so aufbereitet, dass Du sie ohne Vorbereitung verstehen kannst. So als Beispiel: Stell dir einen Grundschüler vor, der schon lesen kann und dann nachguckt unter Maxwell-Boltzmann-Verteilung oder Citratcyclus oder Prozessorarchitektur. Muss er ja alles ohne weitere Vorbildung verstehen können. Gib doch mal eine Schätzung ab, wie lang die Artikel werden sollen. zwinkern

fwo
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Ich glaube an die Existenz der Welt in der ich lebe.

The skills you use to produce the right answer are exactly the same skills you use to evaluate the answer. Isso.

Es gibt keinen Gott. Also: Jesus war nur ein Bankert und alle Propheten hatten einfach einen an der Waffel.
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caballito
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Beitrag(#1858921) Verfasst am: 18.08.2013, 17:25    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Lord Snow hat folgendes geschrieben:

Bei der Ellipse gibt es ja wie in Wikipedia zu lesen Punkte F1 und F2 über die man die beiden Brennstrahlen "verbindet". Die Länge der beiden Brennstrahlen zusammengerechnet ergibt sich aus dem (breiteren) Durchmesser der Ellipse. Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ?

Gar nicht. Die Frage ist sinnlos.

Lord Snow hat folgendes geschrieben:
Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen.

Der Fehler ist, dass du nach "der" Ellipse mit der großen Halbachse 4m suchst. Die gibts aber nicht, sondern unendlich viele davon, halt unterschiedlich exzentrisch, und mit unterschiedlicher kleiner Halbachse (Von 0 bis 4m), je nach Abstand der Punkte. Je größer der Abstand, desto kleiner die kleine Halbachse. Beim Abstand 0 wird die Ellipse zum Kreis, beim Abstand 8m entartet sie zur Strecke.
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Aber nicht alle Gedanken wissen das.
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caballito
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Beitrag(#1858924) Verfasst am: 18.08.2013, 17:40    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Lord Snow hat folgendes geschrieben:


Ok, aber da bin ich überfragt welche Angabe das wäre.

Na, entweder die kleine Halbachse, oder eben der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt.

Letzeres erlaubt eine besonders einfache Berechnung des Abstands der Brennpunkte ... zwinkern
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Aber nicht alle Gedanken wissen das.
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pera
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Beitrag(#1858926) Verfasst am: 18.08.2013, 17:47    Titel: Re: Mathematische Fragestellungen Antworten mit Zitat

Lord Snow hat folgendes geschrieben:
pera hat folgendes geschrieben:
Lord Snow hat folgendes geschrieben:
Ich versuche meine Mathematik-Kenntnisse aufzufrischen. Bei der Geometrie hänge ich gerade bei der Ellipse etwas in der Luft. Da ich weder über das Internet noch über das Mathematikbuch die Frage beantworten kann, die mich interessiert.

Bei der Ellipse gibt es ja wie in Wikipedia zu lesen Punkte F1 und F2 über die man die beiden Brennstrahlen "verbindet". Die Länge der beiden Brennstrahlen zusammengerechnet ergibt sich aus dem (breiteren) Durchmesser der Ellipse. Angenommen ich will eine Ellipse von 8 Metern in der Länge konstruieren, wie finde ich mittels einer Berechnung heraus wo ich F1 und F2 ansetzen muss ? Die beiden Punkte sind schließlich notwendigerweise weniger als 8 Meter voneinander entfernt. Oder geht das dann nur über trail and error? Kann ich mir so nicht vorstellen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

PS: Falls meine Fragestellung im Wikipedia-Artikel beantwortet wird, muss ich mich entschuldigen, da sind mir einfach viel zu viele Formeln und Bezeichnungen, die auch gar nicht näher erklärt werden. Manchmal ärgert mich Wikipedia schon, da sehr viele Artikel bereits Grundwissen voraussetzen, welches man sich dann mühsam zusammensuchen müsste.


Deine Frage ist unterbestimmt. Also 8m soll die "lange" Strecke der Ellipse sein.
Schau dir die Extremfälle an:
- Gerade mit 8m Länge, (zur geraden entartete Ellipse) dann liegen F1, F2 an den Enden. der "kurze" Durchmesser ist 0.
- Kreis mit Durchmesser 8m, dann liegen F1 und F2 im Kreismittelpunkt zusammen. Der "kurze" Durchmesser ist so groß wie der "lange" 8m.

Zwischen den beiden Extremen gibt es unendlich viele Ellipsen deren "langer" Durchmesser 8m
und deren "kurzer" irgendwas zwischen 0 und 8m ist.
Um eine Ellipse zu konstruieren brauchst du eine weitere Angabe.


Ok, aber da bin ich überfragt welche Angabe das wäre.


Also zum Beispiel der "kurze" Durchmesser.
Dann kannst du alles mit Hilfe der linearen Exzentrität berechnen. Auch die Lage der Brennpunkte. Guckst du hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Exzentrizität_(Mathematik)

(Hab schon wieder vergessen wie man den Unterstrich umgeht, du wirst dir zu helfen wissen)
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pera
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Beitrag(#1858930) Verfasst am: 18.08.2013, 18:06    Titel: Antworten mit Zitat

Der wars:

http://de.wikipedia.org/wiki/Exzentrizit%C3%A4t_%28Mathematik%29
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Lord Snow
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Beitrag(#1858935) Verfasst am: 18.08.2013, 18:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ah der Satz des Pythagoras wieder einmal. Ich glaube ich bin da auch einem Irrglauben aufgesetzt gewesen. Bei jeder Form der Ellipse, auch solche die einem Kreis recht nahe kommen gilt:

Zitat:
Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F1 und F2 gleich ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte.


Und ich dachte das gilt nicht für alle.
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pera
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Beitrag(#1898148) Verfasst am: 21.01.2014, 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

Zitat:
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12


Physiker, na dann.
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Wolf
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Beitrag(#1898159) Verfasst am: 21.01.2014, 20:30    Titel: Antworten mit Zitat

pera hat folgendes geschrieben:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

Zitat:
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12


Physiker, na dann.

Wohl eher ein Fall von Journalismussterben. Der Trick ist uralt.
Das Cesàro-Mittel wird in der Physik sicher nicht auf diese Weise angewendet.
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katholisch
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Beitrag(#1898160) Verfasst am: 21.01.2014, 20:37    Titel: Antworten mit Zitat

in Mahtematik war ich in der Bärenschule nie so besonders gut, da kann ich nicht mitreden(schreiben);
das hier würde aber sehr gut in eine Folge Bing Bang -Theroie passen, dort werden (meistens von Shelton) auch immer so unverständliche Mathematikformeln in den Raum geworfen...
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Grüß euch Gott - alle miteinander!


r.-k. und
gemeiner Feld-, Wald- und Wiesenchrist
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smallie
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Beitrag(#1898162) Verfasst am: 21.01.2014, 20:38    Titel: Antworten mit Zitat

pera hat folgendes geschrieben:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

Zitat:
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12


Physiker, na dann.

Nicht ganz.

Die Sache geht auf einen Mathematiker zurück.

Zitat:
Ramanujan summation

Ramanujan summation is a technique invented by the mathematician Srinivasa Ramanujan for assigning a value to infinite divergent series. Although the Ramanujan summation of a divergent series is not a sum in the traditional sense, it has properties which make it mathematically useful in the study of divergent infinite series, for which conventional summation is undefined.

[...]

In the following text, (R) indicates "Ramanujan summation". This formula originally appeared in one of Ramanujan's notebooks, without any notation to indicate that it was a Ramanujan summation.

For example, the (R) of 1 - 1 + 1 - ⋯ is:



Ramanujan had calculated "sums" of known divergent series. It is important to mention that the Ramanujan sums are not the sums of the series in the usual sense, i.e. the partial sums do not converge to this value, which is denoted by the symbol (R) . In particular, the (R) sum of 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ was calculated as:



http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation


Was mich eher hellhörig macht, ist die Erwähnung von String-Theorie als "Beweis", daß ein mathematisches Vorgehen sinnvoll ist.


EDIT: Wolf war schneller. Und hat eine andere Erklärung. Pfeifen
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"There are two hard things in computer science: cache invalidation, naming things, and off-by-one errors."


Zuletzt bearbeitet von smallie am 21.01.2014, 20:40, insgesamt einmal bearbeitet
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pera
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Beitrag(#1898163) Verfasst am: 21.01.2014, 20:38    Titel: Antworten mit Zitat

Wolf hat folgendes geschrieben:
pera hat folgendes geschrieben:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

Zitat:
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12


Physiker, na dann.

Wohl eher ein Fall von Journalismussterben. Der Trick ist uralt.
Das Cesàro-Mittel wird in der Physik sicher nicht auf diese Weise angewendet.


Das solchen Quark der Artikelschreiber zu verantworten hat war mir klar.
(Denke auch nicht, dass Physiker ernsthaft solchen Blödsinn verbreiten)
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pera
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Anmeldungsdatum: 01.07.2009
Beiträge: 4256

Beitrag(#1898164) Verfasst am: 21.01.2014, 20:47    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
pera hat folgendes geschrieben:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

Zitat:
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12


Physiker, na dann.

Nicht ganz.

Die Sache geht auf einen Mathematiker zurück.


Zitat:
Ramanujan summation

.....

EDIT: Wolf war schneller. Und hat eine andere Erklärung. Pfeifen


Die Sache Ramanujan summation liest sich aber schon ganz anders als die Sache in dem Artikel. Smilie
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smallie
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Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 3216

Beitrag(#1898172) Verfasst am: 21.01.2014, 21:25    Titel: Antworten mit Zitat

pera hat folgendes geschrieben:
(Denke auch nicht, dass Physiker ernsthaft solchen Blödsinn verbreiten)

Du hast eine hohe Meinung von Physikern.

Das läßt sich ändern. zynisches Grinsen

Aktuell gibt es in der einschlägigen Blogosphäre einen kleinen Sturm im Wasserglas. Sean Carroll, Physiker, hat für die diesjährige Edge-Frage zum Thema WHAT SCIENTIFIC IDEA IS READY FOR RETIREMENT? geantwortet, Falsifizierbarkeit sei reif für die Rente.

Zitat:
Falsifiability

[...]

String theory and other approaches to quantum gravity involve phenomena that are likely to manifest themselves only at energies enormously higher than anything we have access to here on Earth. The cosmological multiverse and the many-worlds interpretation of quantum mechanics posit other realms that are impossible for us to access directly. Some scientists, leaning on Popper, have suggested that these theories are non-scientific because they are not falsifiable.

The truth is the opposite. Whether or not we can observe them directly, the entities involved in these theories are either real or they are not. Refusing to contemplate their possible existence on the grounds of some a priori principle, even though they might play a crucial role in how the world works, is as non-scientific as it gets.

[...]

In complicated situations, fortune-cookie-sized mottos like "theories should be falsifiable" are no substitute for careful thinking about how science works. Fortunately, science marches on, largely heedless of amateur philosophizing. If string theory and multiverse theories help us understand the world, they will grow in acceptance. If they prove ultimately too nebulous, or better theories come along, they will be discarded. The process might be messy, but nature is the ultimate guide.

http://www.edge.org/response-detail/25322

Ganz grobes Faul.

String Theorie ist keine Theorie, sondern nur eine Hypothese. Eine Theorie, die alles vorhersagt, sagt in Wirklichkeit gar nichts konkretes.

Ein Kommentator auf Sean Carrolls Blog hat das recht treffend formuliert:

Zitat:
Dear Sean, I’m flabbergasted! Here’s your 2nd paragraph with only a few point modifications:
Zitat:
“The truth is the opposite. Whether or not we can observe Him directly, the Creator involved in this theory is either real or He is not. Refusing to contemplate His possible existence on the grounds of some a priori principle, even though He might play a crucial role in how the world works, is as non-scientific as it gets.”


No further elaboration is called for. But let me only add that, unlike in mathematics, nothing in science is really definitely provable. (That rigorous proofs do exist in mathematics only highlights the fact that math is tautological in nature.) So if one exempts oneself of falsifiability, one is left with nothing but speculation. It may be a very “scientific” speculation, construed as science due to the question asked being conventially categorized as scientific, or because it uses exclusive math tools and layperson-dazzling lingo typical of science, yet it is speculation all the same.

And one more thing. Science fights for its life—against antiscience, pseudoscience and post-modernist relativism—in the public opinion arena. This kind of transgression provides the enemy with ammo: New Agers may rightly ask “Why, then, are you any better?”

http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/01/14/what-scientific-ideas-are-ready-for-retirement/



pera hat folgendes geschrieben:
Die Sache Ramanujan summation liest sich aber schon ganz anders als die Sache in dem Artikel. Smilie

Auf Wikipedia steht auch:

Zitat:
the application of this Ramanujan resummation lends to finite results in the renormalization of Quantum Field theories

Die Erwähnung der String-"Theorie" auf Spiegel-Online war also nur Staffage, Beiwerk, ein potemkinsches Dorf.
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Wolf
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Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause

Beitrag(#1898180) Verfasst am: 21.01.2014, 22:40    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:

EDIT: Wolf war schneller. Und hat eine andere Erklärung. Pfeifen

So wie der "Beweis" im Artikel steht, ist es ein bekannter Trick.
Das Cesàro-Mittel wird benutzt um so zu tun, als hätten wir es mit (bedingt) konvergenten Reihen zu tun. Der Rest ist im wesentlichen der Riemannsche Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen, obwohl alle Reihen eigentlich nicht mal bedingt konvergent sind.

Mit der Ramanujan-Summation im Wikipedia-Artikel hat der "Beweis" nichts bis auf das Ergebnis zu tun. Die Ramanujan-Summation besagt auch nicht, dass 1+2+3+....=-1/12
ist sondern ordnet dieser divergenten Reihe diesen Wert auf sehr spezielle Weise zu. In welchen Zusammenhängen dies sinnvoll ist, kann ich nicht beurteilen. Viele dürften es nicht sein.
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esme
lebt ohne schützende Gänsefüßchen.



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Beiträge: 5667

Beitrag(#1898193) Verfasst am: 21.01.2014, 23:52    Titel: Antworten mit Zitat

Selbstverständlich ist es von Zahlentheorie bis Stringtheorie sinnvoll, die eindeutige meromorphe Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion beziehungsweise äquivalenterweise Renormalisierungsmethoden zu verwenden und geht über einen beliebig zugewiesenen Banachlimes in der Sinnhaftigkeit und Anwendbarkeit weit hinaus.

Die Schreibweise als 1 plus 2 plus 3 ... = -1/12 statt zeta(-1) = -1/12 ist eine Geschmacksfrage. Ich halte das für eine nette eingängige Art, das ganze darzustellen, und auch pädagogisch interessant, darüber nachzudenken, dass unendliche Summen auch in anderen Zusammenhängen definitionsbedürftig sind und Definitionen einerseits beliebig sind, andererseits nur bei Sinnhaftigkeit allgemein akzeptiert werden. Manche anderen Mathematiker finden es nur nervig. Physikern ist das alles egal, solange das richtige rauskommt, aber auch die sind durchaus in der Lage, eine korrekte Schreibweise zu verwenden, wenn sie wollen.

Der Spiegel ist hier aber nur auf einen Internettrend aufgesprungen. Ein paar wichtige Seiten haben Videos damit gepusht und auf allen Mathematikforen im Internet wird das Thema mehrfach am Tag von Newbies herangetragen.

Jetzt auch hier im Freigeisterhaus.

Im übrigen gibt es das Beispiel 1 minus 1 plus 1 ... (und die allgemeine Denkweise) schon bei Euler.

Hausübung: Wenn 1 plus 2 plus 3... =-1/12 ist, was ist dann 1 plus 4 plus 9 plus 16 ....?
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Gunkl über Intelligent Design:
Da hat sich die Kirche beim Rückzugsgefecht noch einmal grandios verstolpert und jetzt wollen sie auch noch Haltungsnoten für die argumentative Brez'n, die sie da gerissen haben.
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smallie
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Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 3216

Beitrag(#1898354) Verfasst am: 22.01.2014, 22:09    Titel: Antworten mit Zitat

Ich nominiere esme als Kandidatin für den FGH-dazzling-lingo-Award 2014. zwinkern


Hier etwas Hintergrundmaterial.

Grundsätzliches von Good Math, Bad Math:
Bad Math from the Bad Astronomer
Oy Veh! Power Series, Analytic Continuations, and Riemann Zeta Mit korrigierten Fehlern.

Fortgeschrittenes:
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation


Wolf hat folgendes geschrieben:
smallie hat folgendes geschrieben:

EDIT: Wolf war schneller. Und hat eine andere Erklärung. Pfeifen

So wie der "Beweis" im Artikel steht, ist es ein bekannter Trick.
Das Cesàro-Mittel wird benutzt um so zu tun, als hätten wir es mit (bedingt) konvergenten Reihen zu tun. Der Rest ist im wesentlichen der Riemannsche Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen, obwohl alle Reihen eigentlich nicht mal bedingt konvergent sind.

Mit der Ramanujan-Summation im Wikipedia-Artikel hat der "Beweis" nichts bis auf das Ergebnis zu tun. Die Ramanujan-Summation besagt auch nicht, dass 1+2+3+....=-1/12
ist sondern ordnet dieser divergenten Reihe diesen Wert auf sehr spezielle Weise zu. In welchen Zusammenhängen dies sinnvoll ist, kann ich nicht beurteilen. Viele dürften es nicht sein.

Ich vermute, die Ramanujan-Summation hat was mit Bernoulli-Zahlen zu tun, diese mit der Zeta-Funktion, die Zeta-Funktion mit der Renormalisierung unendlicher Werte in der Quantenfeldtheorie.

Warum die Autoren den Weg des Cesàro-Mittels gehen? Hmm, nunja, lieber eine falsche und eingängliche Metapher als eine passende und unverständliche. Pfeifen Oder gibt es da Zusammenhänge, die ich nur nicht verstehe?
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pera
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Beitrag(#1898368) Verfasst am: 22.01.2014, 23:04    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:


Warum die Autoren den Weg des Cesàro-Mittels gehen? Hmm, nunja, lieber eine falsche und eingängliche Metapher als eine passende und unverständliche. Pfeifen Oder gibt es da Zusammenhänge, die ich nur nicht verstehe?


Seh ich auch so. Es ist einfach nicht aufregend genug, wenn man sich die Mühe machte den Sachverhalt verständlich darzustellen.

Wie Esme geschrieben hat: "..dass unendliche Summen auch in anderen Zusammenhängen definitionsbedürftig sind und Definitionen einerseits beliebig sind.."
Dazu muss ich sie aber erstmal aufschreiben, die Definition!

Du kannst aus dem Stand 25 völlig verblüffende "Gleichungen" hinschreiben, wenn du wegläßt wie und wo sie definiert sind.
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Wolf
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Beitrag(#1898370) Verfasst am: 22.01.2014, 23:10    Titel: Antworten mit Zitat

esme hat folgendes geschrieben:

Die Schreibweise als 1 plus 2 plus 3 ... = -1/12 statt zeta(-1) = -1/12 ist eine Geschmacksfrage.
Sicherlich ist sie im richtigen Kontext praktikabel.
Zitat:

Ich halte das für eine nette eingängige Art, das ganze darzustellen, und auch pädagogisch interessant, darüber nachzudenken, dass unendliche Summen auch in anderen Zusammenhängen definitionsbedürftig sind und Definitionen einerseits beliebig sind, andererseits nur bei Sinnhaftigkeit allgemein akzeptiert werden.
Nur wird es im Spon-Artikel so getan als handle es sich um "normale Summen". Im "Beweis" wird auch munter addiert. Mit diesen Mitteln kann man alles (Un)Mögliche "beweisen". Mit der analytischen Fortsetzung der Zetafunktion hat der "Beweis" nichts zu tun. Es handelt sich nur um mathematische Taschenspielerei, die mehr verwirrt als zum Nachdenken anregt.
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Trish:(
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zelig
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Beitrag(#2206568) Verfasst am: 15.03.2020, 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

Thomas Bedürftig:
Zitat:
Der Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell brachte schon 1901 den berühmten Ausspruch, über den heute alle immer lachen: "Als Mathematik können wir das Gebiet bezeichnen, auf dem wir nie wissen, wovon wir eigentlich reden, und ob das, was wir sagen, auch wahr ist." Der Satz ist aber sehr richtig. Was Russell meint, ist: Wenn Mathematik mehr als Spielerei oder Experiment sein soll, dann muss sie die Evidenz von ihren Axiomen, ihren Grundregeln, erben, aber es ist unklar, warum die Axiome einen Wirklichkeitsbezug haben sollen oder evident sein sollen. Wir stehen ratlos vor dem Rätsel der Anwendbarkeit der Theorien.

https://www.zeit.de/wissen/2020-02/matheprofessor-mathematik-thomas-beduerftig-wissenschaft-kunst-theorie-loesung/komplettansicht
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smallie
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Beitrag(#2206775) Verfasst am: 18.03.2020, 18:50    Titel: Antworten mit Zitat

Kurzfassung:

Bedürftig übersieht, daß die Probleme erst auftreten, wenn Unendlichkeiten ins Spiel kommen. (Oder selbstbezügliche Aussagen von Kretern über Kreter.) Bedürftig müßte erst sagen, wo diese Unendlichkeiten in der realen Welt eine Rolle spielen. In allen praktischen Fällen müssen wir schon bei endlichen Problemen aufgeben. Warum sich über Unendlichkeiten den Kopf zerbrechen?

Vermutlich aus dem selben Grund, aus dem manche auf Berge steigen und andere Musik machen. zwinkern



Langfassung:

ZEIT hat folgendes geschrieben:
Der Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell brachte schon 1901 den berühmten Ausspruch, über den heute alle immer lachen: "Als Mathematik können wir das Gebiet bezeichnen, auf dem wir nie wissen, wovon wir eigentlich reden, und ob das, was wir sagen, auch wahr ist." Der Satz ist aber sehr richtig.

Eigentlich war es Russells Absicht, damit Schluß zu machen. Er und Whitehead wollten die komplette Mathematik aus einem Grundstock von Axiomen herleiten. Hat nicht geklappt.

ZEIT hat folgendes geschrieben:
Was Russell meint, ist: Wenn Mathematik mehr als Spielerei oder Experiment sein soll, dann muss sie die Evidenz von ihren Axiomen, ihren Grundregeln, erben, aber es ist unklar, warum die Axiome einen Wirklichkeitsbezug haben sollen oder evident sein sollen. Wir stehen ratlos vor dem Rätsel der Anwendbarkeit der Theorien.

Puh. Ich weiß nicht genau, worauf Bedürftig hier hinaus will.

Hat eine Geometrie mit Paralellenpostulat Wirklichkeitsbezug? Ja.
Hat eine Geometrie ohne Parallelenpostulat Wirklichkeitsbezug? Ja, hat aber gedauert, bis es aufgefallen ist.

Das gleiche Spiel läßt sich auch mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten machen. In der Biologie ist manchmal auch das Gegenteil wahr - wie so oft im alltäglichen Geschehen.


ZEIT hat folgendes geschrieben:
Ob es eine unendlich große Zahlenmenge gibt, die reelle Zahlen enthält — und zwar in gewissem Sinne mehr Zahlen als die natürlichen Zahlen 1,2,3, …, aber weniger als die reellen Zahlen — ist nicht eindeutig mit Ja oder Nein zu beantworten.

Weiß jemand, was Bedürftig hier meint?


ZEIT hat folgendes geschrieben:
ZEIT ONLINE: Zur modernen Mathematik gehört ja auch der Computer. Was hat die Technologie verändert?

Bedürftig: Vor dem Computer haben die reinen Mathematiker ja einen gewissen Respekt. Computerbeweise werden nicht richtig akzeptiert.

Zu Computerbeweisen kann ich nichts sagen.

Was ich sagen kann: Computermathematik, numerische Mathematik, folgt nicht immer den Regeln der Schulmathematik. Zum Beispiel kann dies passieren:

Code:
x + 1 = x


Für x = 1 000 000 000 000 000 sollte sich das in Excel nachvollziehen lassen. Oder:

Code:
255 + 1 = 0  (bei  8-bit-Arithmetik)

Die Rechenregeln der Computermathematik sind andere als die der üblichen Arithmetik. Beide Systeme können nebeneinander existieren und "wahr" sein, obwohl der Computer nach Adam Riese "falsch" rechnet. Wo ist das Problem?


ZEIT hat folgendes geschrieben:
Wir stehen ratlos vor dem Rätsel der Anwendbarkeit der Theorien.

Und ich stehe etwas ratlos vor diesem Artikel. zwinkern

Ein Vergleich am Beispiel Musik statt Mathematik. Verschiedenen musikalischen Genres kann ich verschiedene Genre-"Axiome" zuschreiben. Für gregorianische Choräle gelten andere Regeln als für Disco. Ein experimenteller Musiker könnten die Regeln systematisch durchprobieren, die sich für Tondauer, Tonhöhe, Lautstärke und Klangfarbe angeben lassen. Es wäre mir kein Rätsel, wenn manche - viele! - dieser Kombinationen zu fürchterlichen Ergebnissen führten. Sehr selten kommt etwas Neues und Erträgliches (*räusper*) heraus und man hat ein neues Genre erfunden.

Das eigentliche Rätsel ist vielmehr, warum zu verschiedenen Zeiten und an verschiedene Orten Musik mal gefällt, mal nicht gefällt. Dazu wurde zum Beispiel vorgeschlagen, daß Musik ansprechend ist, wenn sie gewissen 1/f-Beziehungen folgt. Das ist zwar auch eine mathematische Erklärung, aber eine ganz andere Baustelle, als die Grundlagenprobleme, von denen Bedürftig spricht.

Auch in der Mathematik wird man Axiome nicht wild erfinden oder durcheinander würfeln können, wenn etwas vernünftiges herauskommen soll. Von allen denkbaren Axiomen bilden nur die wenigsten ein fruchtbares Gebiet.


Die Probleme gibt es ja nur, weil man Unendlichkeiten zuläßt. Nochmal zur Musik:

Das menschliche Ohr nimmt Unterschiede in Dauer, Tonhöhe, Lautstärke und Klangfarbe nur in gewissen Bereichen und Abstufungen wahr. Manche Frequenz- und Lautstärkeunterschiede sind zu gering, um sie hören zu können. Das bedeutet letztlich, daß es nur eine endliche Anzahl an unterscheidbaren Musikstücken einer bestimmten Dauer gibt. Damit gibt es auch nur eine endliche Anzahl von "musikalischen Axiomen", werden mehr gefunden, sind sie zu bereits bestehenden äquivalent.

Musik ist ein weites, offenes Feld mit unzähligen (ha!) Möglichkeiten und Spielarten. Und dennoch kratzt sie nicht an den Unendlichkeiten, die Bedürftig ein Rätsel aufgeben.

Hat der Unterschied zwischen endlich, zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eine praktische Bedeutung? Mir will gerade nichts einfallen.
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zelig
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Anmeldungsdatum: 31.03.2004
Beiträge: 24184

Beitrag(#2206779) Verfasst am: 18.03.2020, 19:16    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Hat der Unterschied zwischen endlich, zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eine praktische Bedeutung? Mir will gerade nichts einfallen.


Hat die Frage nach der praktischen Bedeutung für die Mathematik eine Bedeutung? : )
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smallie
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Beitrag(#2207015) Verfasst am: 21.03.2020, 14:45    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, hat sie nicht. Ein bisschen aber schon. zwinkern

Bis in die jüngere Vergangenheit hatte Mathematik oft einen Anwendungsbezug. So manche Mathematik ist entstanden, um konkrete Probleme zu lösen. Die Gelehrten waren oft Geometer, Physiker oder gar Evolutionsbiologen und zusätzlich Mathematiker. Gegenbeispiele gibt es auch, in denen die Mathematik vor der Anwendung existierte. Wer hätte gedacht, daß das Eulersche e^(i pi phi) jemals in der Elektrotechnik eine Anwendung finden würde? Einen "reinen Mathematiker" braucht die Anwendung nicht zu interessieren. Die können sich alles mögliche ausdenken, solange es in sich stimmig ist.

Bedürftig sprach vom "Wirklichkeitsbezug". Mein erster Gedanke dazu: Er meint die Physik. Leider macht das Interview nicht klar, wo genau Gödel etc. für die Physik relevant ist oder gar ein Problem darstellt. Dazu eine Anekdote:

Zitat:
Gödel and Physics
John D. Barrow

Gödel hatte keine Absicht, aus seinen Unvollständigkeitstheoremen zwingende Schlussfolgerungen für die Physik zu ziehen. ... Greg Chaitin hält diesen Bericht über Wheelers Versuch fest ... :

    Nun, eines Tages war ich am Institut für Höhere Studien, und ich ging in Gödels Büro, und da war Gödel. Es war Winter und Gödel hatte eine elektrische Heizung und seine Beine in eine Decke gewickelt. Ich sagte: "Herr Professor Gödel, welchen Zusammenhang sehen Sie zwischen Ihrem Unvollständigkeitssatz und der Heisenbergschen Unschärferelation? Und Gödel wurde wütend und warf mich aus seinem Büro!

Die Behauptung, dass die Mathematik unbeweisbare Aussagen enthält - die Physik basiert auf der Mathematik -, dass die Physik daher nicht alles Wahres entdecken kann, gibt es schon lange.

https://arxiv.org/pdf/physics/0612253.pdf

Barrow bringt zwei Beispiele, ein pessimistisches von Stanley Jaki, in dem Sinn, daß die Gödelsche Unvollständigkeit uns ein Letztverständnis der Welt unmöglich mache. Und optimistisches von Freeman Dyson, der meinte, Unvollständigkeit garantiere, daß es immer etwas Neues zu entdecken gäbe.

Barrow sieht beide Varianten kritisch - und ich tu's auch.

In der Mathematik kann ein Axiomensystem einträchtig neben einem anderen stehen. Die Physik hat diese Wahlfreiheit der Axiome nicht. Ihre Probleme sind eher praktischer Natur: wie komme ich an Daten, anhand derer ich aus unterschiedlichen Modellen das Passendste auswählen kann? Fehlen diese Daten, lassen sich viele Zusatzannahmen aufstellen, was in gewissem Sinn analog zur Gödel-Unvollständigkeit ist - aber nicht ganz.

Während die wissenschaftliche Methode versucht, den Wildwuchs von Hypothesen zu beschneiden, können die Mathematiker jedes Pflänzchen in ihrem Garten wachsen lassen.
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step
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Beitrag(#2207016) Verfasst am: 21.03.2020, 15:44    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Hat der Unterschied zwischen endlich, zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich eine praktische Bedeutung? Mir will gerade nichts einfallen.

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zelig
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Beitrag(#2207017) Verfasst am: 21.03.2020, 16:18    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Bedürftig sprach vom "Wirklichkeitsbezug". Mein erster Gedanke dazu: Er meint die Physik. Leider macht das Interview nicht klar, wo genau Gödel etc. für die Physik relevant ist oder gar ein Problem darstellt. Dazu eine Anekdote:

Zitat:
Gödel and Physics
John D. Barrow

Gödel hatte keine Absicht, aus seinen Unvollständigkeitstheoremen zwingende Schlussfolgerungen für die Physik zu ziehen. ... Greg Chaitin hält diesen Bericht über Wheelers Versuch fest ... :

    Nun, eines Tages war ich am Institut für Höhere Studien, und ich ging in Gödels Büro, und da war Gödel. Es war Winter und Gödel hatte eine elektrische Heizung und seine Beine in eine Decke gewickelt. Ich sagte: "Herr Professor Gödel, welchen Zusammenhang sehen Sie zwischen Ihrem Unvollständigkeitssatz und der Heisenbergschen Unschärferelation? Und Gödel wurde wütend und warf mich aus seinem Büro!

Die Behauptung, dass die Mathematik unbeweisbare Aussagen enthält - die Physik basiert auf der Mathematik -, dass die Physik daher nicht alles Wahres entdecken kann, gibt es schon lange.

https://arxiv.org/pdf/physics/0612253.pdf

Barrow bringt zwei Beispiele, ein pessimistisches von Stanley Jaki, in dem Sinn, daß die Gödelsche Unvollständigkeit uns ein Letztverständnis der Welt unmöglich mache. Und optimistisches von Freeman Dyson, der meinte, Unvollständigkeit garantiere, daß es immer etwas Neues zu entdecken gäbe.

Barrow sieht beide Varianten kritisch - und ich tu's auch.

In der Mathematik kann ein Axiomensystem einträchtig neben einem anderen stehen. Die Physik hat diese Wahlfreiheit der Axiome nicht. Ihre Probleme sind eher praktischer Natur: wie komme ich an Daten, anhand derer ich aus unterschiedlichen Modellen das Passendste auswählen kann? Fehlen diese Daten, lassen sich viele Zusatzannahmen aufstellen, was in gewissem Sinn analog zur Gödel-Unvollständigkeit ist - aber nicht ganz.


Ich habe die Aussage im Kontext der axiomatischen Mathematik verstanden. Und zwar so, daß Axiome eben gesetzt, und nicht aus etwas gefolgert werden. In diesem Sinn stellt sich die Fage "warum die Axiome einen Wirklichkeitsbezug haben sollen oder evident sein sollen". Aber... ich bin kein Mathematiker.
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CnndrBrbr
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Beitrag(#2207088) Verfasst am: 22.03.2020, 14:40    Titel: Antworten mit Zitat

pera hat folgendes geschrieben:
Wolf hat folgendes geschrieben:
pera hat folgendes geschrieben:
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html
Mathematik bizarr: Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12
(Denke auch nicht, dass Physiker ernsthaft solchen Blödsinn verbreiten)
Stimmt. Physiker haben im Grundstudium was über absolute und unbedingte Konvergenz gehört. Zur Erinnerung: Reihen, die nicht absolut und unbedingt konvergieren, können durch Umordnung (Addition ist kommutativ) gegen jeden gewünschten Wert konvergieren (Riemannscher Umordnungssatz). Kurz: Das Ergebnis -1/12 ist Schrott. Und jeder Physiker, Mathematiker und Informatiker weiß das.
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