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Sermon panta rhei
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 18430
Wohnort: Sine Nomine
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(#2004) Verfasst am: 21.07.2003, 10:08 Titel: Auf der Spur der Obststapel |
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Computerbeweise in der Mathematik
_________________ "Der Typ hat halt so seine Marotten" (Sermon über Sermon)
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ric Gast
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(#2116) Verfasst am: 21.07.2003, 13:15 Titel: |
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Da werden Assoziationen zu "Fermats letzter Vermutung" und Andrew Wiles wach.
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Blaubär Höhlenbewohner
Anmeldungsdatum: 18.07.2003 Beiträge: 1133
Wohnort: Mainufer
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(#2135) Verfasst am: 21.07.2003, 13:40 Titel: |
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ric hat folgendes geschrieben: | Da werden Assoziationen zu "Fermats letzter Vermutung" und Andrew Wiles wach. |
Wenn ich mich recht erinnere, war es der Beweis des Vierfarbenproblems, der als erster in der Mathematik zum großen Teil per Computer durchgeführt wurde, was heftige Kontroversen auslöste.
Andrew Wiles hat seinen Beweis dagegen fast im Alleingang nach der "klassischen" Methode (Papier und Stift) durchgeführt, wofür er dann auch mehrere Jahre benötigte.
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diogenes Gast
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(#2143) Verfasst am: 21.07.2003, 13:47 Titel: |
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Blaubär hat folgendes geschrieben: | Andrew Wiles hat seinen Beweis dagegen fast im Alleingang nach der "klassischen" Methode (Papier und Stift) durchgeführt, wofür er dann auch mehrere Jahre benötigte. | Stimmt. Und zwar hat Ken Ribet bewiesen, dass die Fermat'sche Vermutung aus der Taniyama-Shimura Vermutung folgt. Andrew Wiles hat dann "nur mehr" die Taniyama-Shimura Vermutung beweisen müssen - und fertig war er!
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nocquae diskriminiert nazis
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 18183
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(#2153) Verfasst am: 21.07.2003, 13:56 Titel: |
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diogenes hat folgendes geschrieben: | Stimmt. Und zwar hat Ken Ribet bewiesen, dass die Fermat'sche Vermutung aus der Taniyama-Shimura Vermutung folgt. Andrew Wiles hat dann "nur mehr" die Taniyama-Shimura Vermutung beweisen müssen - und fertig war er! |
hm, soweit ich weiß ist die überprüfung seines beweises doch noch in bearbeitung, oder?
_________________ In Deutschland gilt derjenige, der auf den Schmutz hinweist, als viel gefährlicher, als derjenige, der den Schmutz macht.
-- Kurt Tucholsky
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ric Gast
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(#2155) Verfasst am: 21.07.2003, 13:57 Titel: |
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Blaubär hat folgendes geschrieben: | ric hat folgendes geschrieben: | Da werden Assoziationen zu "Fermats letzter Vermutung" und Andrew Wiles wach. |
Wenn ich mich recht erinnere, war es der Beweis des Vierfarbenproblems, der als erster in der Mathematik zum großen Teil per Computer durchgeführt wurde, was heftige Kontroversen auslöste.
Andrew Wiles hat seinen Beweis dagegen fast im Alleingang nach der "klassischen" Methode (Papier und Stift) durchgeführt, wofür er dann auch mehrere Jahre benötigte. | Ich hab ein Interview von ihm gelesen, worin er beschrieben hat, daß er sehr viele falsche Wege mit dem Computer ausgeschlossen hat.
Aber mit dem Vierfarbproblem hats Du natürlich Recht. Das war das erste mal.
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Blaubär Höhlenbewohner
Anmeldungsdatum: 18.07.2003 Beiträge: 1133
Wohnort: Mainufer
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(#2209) Verfasst am: 21.07.2003, 14:42 Titel: |
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ric hat folgendes geschrieben: | Ich hab ein Interview von ihm gelesen, worin er beschrieben hat, daß er sehr viele falsche Wege mit dem Computer ausgeschlossen hat.
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Hallo ric,
dieses Interview kenne ich nicht, aber wenn er das so gesagt hat, wird es sicher stimmen.
Der Knackpunkt bei der Sache ist aber die Verifikation des Beweises und da sieht es, wie in dem verlinkten Artikel beschrieben, bei solchen Computerbeweisen ungünstig aus. Es läuft letzten Endes darauf hinaus, die vollständige Korrektheit des Programms zu beweisen und dieses Problem haben m.W. die Informatiker noch nicht lösen können. Wiles' Beweis von Fermat ist dagegen Schritt für Schritt nachvollziehbar (wenn auch nicht von mir ).
Ich denke auch, dass es nicht für jede Problemstellung einen Computerbeweis geben kann. Es dürfte von der Struktur des Problems abhängen. Vermutlich ist die Frage, wann ein gegebenes Problem per Computer lösbar ist oder nicht, letzten Endes darauf zurückzuführen, ob die Menge der durchzuführenden Rechnungsschritte endlich oder unendlich ist.
Aber hier begebe ich mich auf unsicheres Gebiet, obwohl ich Mathematik sehr interessant finde... da kennen sich andere sicher besser aus...
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ric Gast
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(#2212) Verfasst am: 21.07.2003, 14:49 Titel: |
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Blaubär hat folgendes geschrieben: | ...Der Knackpunkt bei der Sache ist aber die Verifikation des Beweises und da sieht es, wie in dem verlinkten Artikel beschrieben, bei solchen Computerbeweisen ungünstig aus. Es läuft letzten Endes darauf hinaus, die vollständige Korrektheit des Programms zu beweisen und dieses Problem haben m.W. die Informatiker noch nicht lösen können. ... |
Und werden es auch prinzipiell nicht lösen können. Siehe auch Turings Halteproblem.
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2220) Verfasst am: 21.07.2003, 14:55 Titel: |
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Hilbert hat mal einige mathematische Rätsel gesammelt und Preise für deren Lösung ausgestellt. Soweit ich weiß wurde bislang nur eines dieser Rätsel gelöst.
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Blaubär Höhlenbewohner
Anmeldungsdatum: 18.07.2003 Beiträge: 1133
Wohnort: Mainufer
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(#2223) Verfasst am: 21.07.2003, 15:02 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | Hilbert hat mal einige mathematische Rätsel gesammelt und Preise für deren Lösung ausgestellt. Soweit ich weiß wurde bislang nur eines dieser Rätsel gelöst. |
Hi gustav,
schau doch mal hier rein: Hilberts Probleme
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2228) Verfasst am: 21.07.2003, 15:08 Titel: |
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Naja ohne Mathematikstudium versteh ich da natürlich nur Bahnhof
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Blaubär Höhlenbewohner
Anmeldungsdatum: 18.07.2003 Beiträge: 1133
Wohnort: Mainufer
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(#2234) Verfasst am: 21.07.2003, 15:32 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | Naja ohne Mathematikstudium versteh ich da natürlich nur Bahnhof |
Mach dir nichts draus, kann ja noch werden. Ich hatte zwar Mathe bis zum Vordiplom, aber da ist leider nicht mehr viel hängengeblieben .
Man sieht aber in der Liste immerhin, dass mittlerweile doch schon einige Probleme gelöst wurden bzw. sich als nicht entscheidbar herausgestellt haben.
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2237) Verfasst am: 21.07.2003, 15:56 Titel: |
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Hat Problem 2 was mit der Gödelisierung zu tun?
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ric Gast
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(#2240) Verfasst am: 21.07.2003, 16:02 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | Hat Problem 2 was mit der Gödelisierung zu tun? |
Ja.
Im Kern sagt Gödel, daß, wenn man in einem formalen System Widerspruchsfreiheit beweist, dies ein Widerspruch in sich ist.
In der Art:
System A sagt: "System A ist widerspruchsfrei"
Ich sage: "Ich lüge nie"
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2247) Verfasst am: 21.07.2003, 16:15 Titel: |
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ric hat folgendes geschrieben: | gustav hat folgendes geschrieben: | Hat Problem 2 was mit der Gödelisierung zu tun? |
Ja.
Im Kern sagt Gödel, daß, wenn man in einem formalen System Widerspruchsfreiheit beweist, dies ein Widerspruch in sich ist.
In der Art:
System A sagt: "System A ist widerspruchsfrei"
Ich sage: "Ich lüge nie"
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Irgendwie will sich mir der Sinn der Gödelisierung nicht ergeben. Letzlich sagt sie ja aus, dass die Mathemaitk eine leere Menge ist, die eigentlich keine Aussagen machen kann die richtig sind. Dass sie es doch kann liegt daran, dass sie auf sich selbst bezogen ist. Eigentlich ein vollkommen abstraktes Gedankengebäude. Ich habb aber irgendwo mal gelesen, dass sie auch in der Physik zum tragen kommt. Doch wie kann das sein? die Physik macht ja irgendwie konkrete Angaben und so etwas wie die Gödelisierung kann da doch kaum mehr Klarheit einbringen
Ich hab mir die Gödelisierung mal selbst in der grundschule überlegt, als ich Sätze die grammatische Regeln beeinhalteten abschrieb. ICh war sehr verwundert, dass ich die Sätze verstehn konnte, obwohl ich doch eigentlich erst durch die Grammatik in der Lage bin die Sätz zu verstehen.
Seitdem trage ich ine tiefe Ablehnung gegen jede Form der Grammatik mit mir rum Ich hab dann von dem Gedanken aus auch immer weiter überlegt hier noch was und da noch was und fragte mich, was es wohl noch für selbstbezogene Sachen gäbe. Irgendwann vor 2 Jahren las ich dann etwas über die Gödelisierung(auf einer Party ) und ich war fasziniert meien Gedanken von damlas wiederzuerkennen.
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ric Gast
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(#2249) Verfasst am: 21.07.2003, 16:20 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | ...Irgendwie will sich mir der Sinn der Gödelisierung nicht ergeben. Letzlich sagt sie ja aus, dass die Mathemaitk eine leere Menge ist, die eigentlich keine Aussagen machen kann die richtig sind. Dass sie es doch kann liegt daran, dass sie auf sich selbst bezogen ist. Eigentlich ein vollkommen abstraktes Gedankengebäude. Ich habb aber irgendwo mal gelesen, dass sie auch in der Physik zum tragen kommt. Doch wie kann das sein? die Physik macht ja irgendwie konkrete Angaben und so etwas wie die Gödelisierung kann da doch kaum mehr Klarheit einbringen
Ich hab mir die Gödelisierung mal selbst in der grundschule überlegt, als ich Sätze die grammatische Regeln beeinhalteten abschrieb. ICh war sehr verwundert, dass ich die Sätze verstehn konnte, obwohl ich doch eigentlich erst durch die Grammatik in der Lage bin die Sätz zu verstehen.
Seitdem trage ich ine tiefe Ablehnung gegen jede Form der Grammatik mit mir rum Ich hab dann von dem Gedanken aus auch immer weiter überlegt hier noch was und da noch was und fragte mich, was es wohl noch für selbstbezogene Sachen gäbe. Irgendwann vor 2 Jahren las ich dann etwas über die Gödelisierung(auf einer Party ) und ich war fasziniert meien Gedanken von damlas wiederzuerkennen. |
Ich sehe es genau andersherum. Oder so.
Letzendlich hat Gödel bewiesen, daß es immer eine oder mehrere Aussagen in einem mathematischen System gibt, bei denen man mit den Mitteln des Systems nicht entscheiden kann, ob sie beweisbar sind (noch nicht mal korrekt!). Aber, an diesem Punkt ist die Mathematik nicht zu Ende. Nun kann man mit zusätzlichen Axiomen das System auf den nächsthöheren Level hieven, und voila, es steht eine völlig neue Welt offen.
Gödel hat natürlich die Uni-Mathematiker ziemlich frustriert . Er hat damit auch bewiesen, daß es nie die eine Mathematik geben wird, in der alles ausdrückbar ist.
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2251) Verfasst am: 21.07.2003, 16:26 Titel: |
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Theologie und Mathematik auf einer Stufe ?
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diogenes Gast
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ric Gast
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(#2257) Verfasst am: 21.07.2003, 16:36 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | Theologie und Mathematik auf einer Stufe ?
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Wie kommst Du darauf?
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diogenes Gast
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(#2258) Verfasst am: 21.07.2003, 16:38 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: | Theologie und Mathematik auf einer Stufe ? |
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2259) Verfasst am: 21.07.2003, 16:41 Titel: |
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Wenn das erst 1930 erstellt wurde wieso kommt es dann in Hilberts Rede von 1900 vor?
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ric Gast
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(#2261) Verfasst am: 21.07.2003, 16:44 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: |
Wenn das erst 1930 erstellt wurde wieso kommt es dann in Hilberts Rede von 1900 vor? |
Artikel von 1999 hat folgendes geschrieben: | 1900 David Hilbert formuliert auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongreß in seinem berühmten Vortrag über 23 ungelöste Probleme
- als »2. Problem« den Nachweis der Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome (gemeint: für die reellen Zahlen) und
- als »10. Problem« die Frage, ob es (im damals noch unpräzisierten Sinn) ein allgemeines Verfahren gibt »nach welchem sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob [eine gegebene diophantische] Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.« (Negative Antwort erst 1970 durch J. V. Matijasevitch)
...
1930 Kurt Gödel beweist in seiner Dissertation die Vollständigkeit eines Beweiskalküls für Sprachen erster Stufe. Im gleichen Jahr kündigt er in einer kurzen Note seine beiden Sätze über Unvollständigkeit und Nichtbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit an. | Wo z.T. ist Dein Problem?
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narziss auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 16.07.2003 Beiträge: 21939
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(#2262) Verfasst am: 21.07.2003, 16:54 Titel: |
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Ja okay
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diogenes Gast
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(#2281) Verfasst am: 21.07.2003, 17:21 Titel: |
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gustav hat folgendes geschrieben: |
Wenn das erst 1930 erstellt wurde wieso kommt es dann in Hilberts Rede von 1900 vor? | Du meinst die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome? So nach der Mitte des letzten Jahrhunderts stellte man fest, dass die Mathematik nicht frei von Widersprüchen war. Darauf folgten gewaltige Umwälzungen, Revolutionen in der Mathematik. Mit Gottlob Frege (ein paar Werke sind hier online) begann die moderne Logik. All das, was heute geklärt ist, war damals ein großes Problem, dazu gehörte auch die Vollständigkeit, die für Sprachen erster Stufe (etwa die "Prädikatenlogik erster Stufe") von Gödel bewiesen wurde, sowie die Unvollständigkeit aller Sprachen, die mächtig genug sind um die Arithmetik zu formulieren. Genau gesagt, kann 1. die Peano-Arithmetik nicht zugleich widerspruchsfrei und vollständig sein (Gödels erster Unvollständigkeitssatz).
2. die Widerspruchsfreiheit der Peano-Arithmetik nicht innerhalb der Peano-Arithmetik bewiesen werden (Gödels zweiter Satz) Was Hilberts Rede betrifft, entwarf David Hilbert die Vision eines mathematischen Systems, das von einer bestimmten Menge von Axiomen ausgeht und damit die gesamte Mathematik begründet. Gödels Arbeit und die anderer (Turing, ...) zeigten, dass dies nur ein unerfüllbarer Wunschtraum ist.
Die Mathematik kann von verschiedenen Axiomensystemen ausgehen. Eine Aussage, die bewiesenermaßen unentscheidbar ist, kann dem zugrundeliegendem Axiomensystem als weiteres Axiom hinzugefügt werden oder nicht, auf keinen Fall ändert sich aber dadurch die Unvollständigkeit. Ein Beispiel ist die Kontinuumshypothese von Georg Cantor, nach der es keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die in ihrer Mächtigkeit kleiner als die reellen Zahlen ist. Kurt Gödel hat bewiesen, dass die Kontinuumshypothese widerspruchsfrei zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist, Cohen hat gezeigt, dass sie keine Folgerung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist. Daher ist die Kontinuumshypothese innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre nicht entscheidbar und kann als Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre hinzugefügt werden. Umgekehrt ist es auch möglich, die Kontinuumshypothese abzulehnen (Beispiel: Arturo Sangalli).
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diogenes Gast
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(#2292) Verfasst am: 21.07.2003, 17:47 Titel: |
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NOCQUAE hat folgendes geschrieben: | diogenes hat folgendes geschrieben: | Stimmt. Und zwar hat Ken Ribet bewiesen, dass die Fermat'sche Vermutung aus der Taniyama-Shimura Vermutung folgt. Andrew Wiles hat dann "nur mehr" die Taniyama-Shimura Vermutung beweisen müssen - und fertig war er! |
hm, soweit ich weiß ist die überprüfung seines beweises doch noch in bearbeitung, oder? |
Soweit ich weiß, sind bei der Überprüfung Fehler festgestellt worden, die Wiles aber korrigieren konnte. Bis jetzt hielt ich den Beweis als korrekt und die Überprüfung damit als abgeschlossen, habe aber an einen Freund, der es wissen könnte, eine Email geschrieben. Leider hat er noch nicht geantwortet.
Für den Fermat-Beweis war seit 1908 von der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen ein Preis ausgesetzt. Es gibt unzählige Hobbymathematiker, die ihre Beweise eingereicht haben. Obwohl alle diese Beweisversuche abgelehnt wurden, glauben einige dieser Freizeitmathematiker noch immer, sie hätten Fermats Vermutung bewiesen, und zwar vor Wiles. Es hat sich sogar eine Verschwörungstheorie entwickelt. (siehe http://www.aemmenet.ch/~aebi/fermat/Wolfskehlpreis.html)
Den Schluß dieser Seite
Zitat: | Als die Akademie der Wissenschaften in Göttingen den Beweis von Wiles zur Überprüfung an mehrere ausgewiesene Mathematiker in aller Welt sandte, kamen einige Exemplare umgehend mit dem Kommentar zurück: "Verstehe ich nicht." Wiles Arbeit über die Gleichung von Fermat ist so kompliziert, dass es wahrscheinlich nur eine Hand voll Leute gibt, die sie im Detail nachvollziehen können.
Mindestens in diesem Punkt unterscheidet sich Wiles nicht von den Fermatisten. Auch ihre Beweise muss man einfach glauben. | lese ich so, dass die Überprüfung zumindest noch laufen könnte, auch wenn ich persönlich das eher bezweifle.
Zusammenfassend kann ich sagen, dass ich die Frage noch nicht mit Sicherheit beantworten kann.
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diogenes Gast
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(#3119) Verfasst am: 23.07.2003, 09:41 Titel: |
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Wen es interessiert, zum Beweis von Andrew Wiles: Inzwischen weiss ich, dass sein Beweis des Satzes von Fermat als bewiesen gilt.
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ric Gast
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(#3123) Verfasst am: 23.07.2003, 09:47 Titel: |
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diogenes hat folgendes geschrieben: | Wen es interessiert, zum Beweis von Andrew Wiles: Inzwischen weiss ich, dass sein Beweis des Satzes von Fermat als bewiesen gilt. | Die Zeitschrift ,,Inventiones Mathematicae'' akzeptierte im Oktober 94 seinen Beweis.
Zuerst mußte er eine noch eine Lücke schließen, die einer der Peer Reviewer bemerkt hatt.
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Christian Wieder (unregelmäßig) da!
Anmeldungsdatum: 18.07.2003 Beiträge: 221
Wohnort: Knittelfeld (Österreich)
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(#4089) Verfasst am: 25.07.2003, 01:25 Titel: |
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ric hat folgendes geschrieben: | Da werden Assoziationen zu "Fermats letzter Vermutung" und Andrew Wiles wach. |
Hier muss ich an eine TNG-Episode denken und schmunzeln. Cpt. Picard erwähnt in dieser (weiß aber nicht welche genau) Fermats letzten Satz als ein seit langem ungelöstes Rätsel.
Tja - Pech nur dass in der Zeit die seitdem diese Serie gedreht wurde vergangen ist man das Rätsel schon gelöst hat...
_________________ Ubi dubium, ibi libertas:
Wo der Zweifel ist, da ist die Freiheit.
Lateinisches Sprichwort
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Rebecca E. Gast
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(#4107) Verfasst am: 25.07.2003, 08:07 Titel: An diese Szene muß ich auch immer denken... |
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@Christiah.
Christian hat folgendes geschrieben: |
ric hat folgendes geschrieben: | Da werden Assoziationen zu "Fermats letzter Vermutung" und Andrew Wiles wach.
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Hier muss ich an eine TNG-Episode denken und schmunzeln. Cpt. Picard erwähnt in dieser (weiß aber nicht welche genau) Fermats letzten Satz als ein seit langem ungelöstes Rätsel.
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Die Folge in der diese Szene vorkam weis ich leider auch nicht, aber an das hübsche virtuelle Planetensystem- Modell auf Jens Lutz Pickerts Schreibtisch kann ich mich noch erinnern.
Christian hat folgendes geschrieben: |
Tja - Pech nur dass in der Zeit die seitdem diese Serie gedreht wurde vergangen ist man das Rätsel schon gelöst hat...
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Tja da scheinen wir in mancherlei Hinsicht jetzt schon einen Schritt weiter zu sein...
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