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Dornröschenproblem
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2195092) Verfasst am: 15.11.2019, 20:55    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Die Fragestellung im Original lautet: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?"

Und darauf ist die korrekte Antwort 1/2, egal wie oft Du das nach dem Münzwurf gefragt wirst.

Stünde da "shows" statt "landed", sind wir bei Deiner Lesart. Aber auch dann wäre die Antwort nicht automatisch 1/3. Denn die Wahrscheinlichkeit dass die Münze in dem Experiment in welchem sich Dornröschen gerade befindet jetzt beim Erwachen Kopf zeigt, ist nicht 1/3 sondern ebenfalls unverändert 1/2.

Stellen wir uns hingegen vor wir würden das Experiment sehr oft wiederholen, alle Erweckungen sammeln und in eine Urne geben und dann zufällig eine Erweckung ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass wir eine Erweckung ziehen, bei der die Münze Kopf zeigt. ...

Wenn nun Dornröschen beim Aufwecken nicht die Originalfrage gestellt würde, sondern sie einen Tip abgeben müßte, also entweder Kopf oder Zahl. Müßte sie dann, da sie ihre Tips ja vergißt, eine zweiseitige oder eine dreisitige Münze werfen, um im Fall der Wiederholung insgesamt das beste Ergebnis zu erzielen?

Ich würde sagen, dass es die erfolgreichste Strategie wäre so oft wie möglich "Zahl" zu tippen. Mit einer dreiseitigen Münze wäre sie demnach erfolgreicher als mit einer zweiseitigen.
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posted by Babyface
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tillich (epigonal)
Prinz Ipienreiter



Anmeldungsdatum: 12.04.2006
Beiträge: 18071

Beitrag(#2195093) Verfasst am: 15.11.2019, 21:00    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Die Fragestellung im Original lautet: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?"

Das ist eine völlig bedeutungslose Unterscheidung. Eine Münze, die auf Kopf landet, zeigt dann auch Kopf, und eine Münze, die Kopf zeigt, ist - wenn keiner fudelt - vorher auch auf Kopf gelandet. Das ist für die mathematische Betrachtung absolut identisch, und deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für beides auch identisch. Und ja, normalerweise ist diese Wahrscheinlichkeit (a) 1/2 und (b) unabhängig davon, wann, wie oft, wo etc. man das gefragt wird.

Ausnahme: Wenn das "wann, wie oft, wo etc." eben nicht unabhängig vom Münzwurf ist, sondern selbst durch den Münzwurf festgelegt wird. Dann haben wir, wenn nach der Wahrscheinlichkeit unter den Bedingungen dieses "wann, wie oft, wo etc." gefragt wird, eben bedingte Wahrscheinlichkeiten, die ganz anders aussehen können, unter Umständen sogar zur Sicherheit führen können.
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2195094) Verfasst am: 15.11.2019, 21:12    Titel: Antworten mit Zitat

Wenigstens sind tillich und ich einer Meinung, dass die Frage eindeutig definiert ist. Lachen
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tillich (epigonal)
Prinz Ipienreiter



Anmeldungsdatum: 12.04.2006
Beiträge: 18071

Beitrag(#2195095) Verfasst am: 15.11.2019, 21:13    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Das ist im Grunde nur eine andere Darstellung dessen was ich als Beobachtungsraum definiert habe. Alles was Du daraus ableiten kannst sind daher Beobachtungswahrscheinlichkeiten.

Nein. Schon allein deswegen, weil dein "Beobachtungsraum" und die "Beobachtungswahrscheinlichkeit" als Abgrenzung zu "Ereignisraum/-wahrscheinlichkeit" einfach sinnlose Begriffe sind. Hast du dir die ausgedacht, oder woher hast du die?

Babyface hat folgendes geschrieben:
Es ist im Unterschied zum Ergebnisraum daher nicht vorgesehen dass ein und derselbe Münzwurf zweimal im ER aufgeführt wird, so wie das bei Dir da oben der Fall ist. Die Frage wie Du bzw. Dornröschen mit dieser Uneindeutigkeit umgehen, hast Du nur elegant umschifft, aber nicht beantwortet.

Da ist nichts uneindeutig. Die Ergebnisse des Münzwurfs tauchen deswegen je zweimal im Ergebnisraum auf, weil sie Teil unterschiedlicher kombinierter Ergebnisse zweier Zufallsexperimente sind. Und diese unterschiedlichen kombinierten Ergebnisse führen eindeutig zu bestimmten Ereignissen - wie oben dargestellt.
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2195096) Verfasst am: 15.11.2019, 21:23    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Das ist im Grunde nur eine andere Darstellung dessen was ich als Beobachtungsraum definiert habe. Alles was Du daraus ableiten kannst sind daher Beobachtungswahrscheinlichkeiten.

Nein. Schon allein deswegen, weil dein "Beobachtungsraum" und die "Beobachtungswahrscheinlichkeit" als Abgrenzung zu "Ereignisraum/-wahrscheinlichkeit" einfach sinnlose Begriffe sind. Hast du dir die ausgedacht, oder woher hast du die?

Ja, die habe ich mir ausgedacht. Weil sie zum Verständnis des Problems wichtig sind.

Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Es ist im Unterschied zum Ergebnisraum daher nicht vorgesehen dass ein und derselbe Münzwurf zweimal im ER aufgeführt wird, so wie das bei Dir da oben der Fall ist. Die Frage wie Du bzw. Dornröschen mit dieser Uneindeutigkeit umgehen, hast Du nur elegant umschifft, aber nicht beantwortet.

Da ist nichts uneindeutig. Die Ergebnisse des Münzwurfs tauchen deswegen je zweimal im Ergebnisraum auf, weil sie Teil unterschiedlicher kombinierter Ergebnisse zweier Zufallsexperimente sind. Und diese unterschiedlichen kombinierten Ergebnisse führen eindeutig zu bestimmten Ereignissen - wie oben dargestellt.

Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 22297
Wohnort: Germering

Beitrag(#2195097) Verfasst am: 15.11.2019, 21:30    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Wenn nun Dornröschen beim Aufwecken nicht die Originalfrage gestellt würde, sondern sie einen Tip abgeben müßte, also entweder Kopf oder Zahl. Müßte sie dann, da sie ihre Tips ja vergißt, eine zweiseitige oder eine dreisitige Münze werfen, um im Fall der Wiederholung insgesamt das beste Ergebnis zu erzielen?

Ich würde sagen, dass es die erfolgreichste Strategie wäre so oft wie möglich "Zahl" zu tippen. Mit einer dreiseitigen Münze wäre sie demnach erfolgreicher als mit einer zweiseitigen.

Nein, ich meinte es so, daß Dornröschen selbst einen (zweiten) Zufallsgenerator besitzt. Sie muß einen Tip in bezug auf die bereits geworfene Ursprungsmünze abgeben, und nimmt, weil sie rational ist, ihren ZG zuhilfe. Sollte sie ihn auf 1/3 oder 1/2 einstellen?
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.
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Babyface
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2195098) Verfasst am: 15.11.2019, 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Wenn nun Dornröschen beim Aufwecken nicht die Originalfrage gestellt würde, sondern sie einen Tip abgeben müßte, also entweder Kopf oder Zahl. Müßte sie dann, da sie ihre Tips ja vergißt, eine zweiseitige oder eine dreisitige Münze werfen, um im Fall der Wiederholung insgesamt das beste Ergebnis zu erzielen?

Ich würde sagen, dass es die erfolgreichste Strategie wäre so oft wie möglich "Zahl" zu tippen. Mit einer dreiseitigen Münze wäre sie demnach erfolgreicher als mit einer zweiseitigen.

Nein, ich meinte es so, daß Dornröschen selbst einen (zweiten) Zufallsgenerator besitzt. Sie muß einen Tip in bezug auf die bereits geworfene Ursprungsmünze abgeben, und nimmt, weil sie rational ist, ihren ZG zuhilfe. Sollte sie ihn auf 1/3 oder 1/2 einstellen?

Ja, genauso so hatte ich es verstanden. Die dreiseitige Münze wäre der Zufallsgenerator (zwei Seiten mit Zahl, eine mit Kopf). Damit wäre sie erfolgreicher als mit einem Zufallsgenerator der auf 1/2 eingestelt wäre. Am effektivsten wäre es aber mE, sie würde den Zufallsgenerator auf 1 einstellen für Zahl, also eine einseitige Münze verwenden.
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tillich (epigonal)
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Beitrag(#2195099) Verfasst am: 15.11.2019, 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
[...] weil dein "Beobachtungsraum" und die "Beobachtungswahrscheinlichkeit" als Abgrenzung zu "Ereignisraum/-wahrscheinlichkeit" einfach sinnlose Begriffe sind. Hast du dir die ausgedacht, oder woher hast du die?

Ja, die habe ich mir ausgedacht. Weil sie zum Verständnis des Problems wichtig sind.

Bedeutungslose Begriffe erklären nichts, sondern verschleiern nur.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2195101) Verfasst am: 15.11.2019, 21:56    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
[...] weil dein "Beobachtungsraum" und die "Beobachtungswahrscheinlichkeit" als Abgrenzung zu "Ereignisraum/-wahrscheinlichkeit" einfach sinnlose Begriffe sind. Hast du dir die ausgedacht, oder woher hast du die?

Ja, die habe ich mir ausgedacht. Weil sie zum Verständnis des Problems wichtig sind.

Bedeutungslose Begriffe erklären nichts, sondern verschleiern nur.

So wie die Zugfahrt ja auch nur alles verschleiert hat, und wahrscheinlich leider auch alle anderen Überlegungen, welche Dich die Halfer-Perspektive auch nur ansatzweise nachvollziehen lassen könnten.

Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.

Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht.
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tillich (epigonal)
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Anmeldungsdatum: 12.04.2006
Beiträge: 18071

Beitrag(#2195108) Verfasst am: 16.11.2019, 01:14    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
So wie die Zugfahrt ja auch nur alles verschleiert hat, und wahrscheinlich leider auch alle anderen Überlegungen, welche Dich die Halfer-Perspektive auch nur ansatzweise nachvollziehen lassen könnten.

Es ist nicht meine Schuld, wenn du schlechte Argumente bringst.

Mit dem Zugfahrt-Beispiel hast du nun mal ein Setting konstruiert, in dem unsere Alltagserfahrung dem Problem, das es angeblich verdeutlichen soll, maximal widerspricht. Warum, habe ich oben dargelegt: Nicht-Erkennbarkeit des Zuges, stetiges Vergessen, Aufwachen genau und ausschließlich an den Haltestellen, vorheriges Informiertsein über diese Umstände, Hinzufügen einer die Bedeutung verändernden Konsequenz. Es ist also eine schlechte Darstellung, im Gegensatz zu der Originaldarstellung, die das Problem plausibel macht (Laborsituation, Amnesie-Droge, Erklärung der Umstände durch Versuchsleiter). Kurz, das Beispiel verschlechtert die Verständlichkeit erheblich, statt sie zu verbessern.

Und hier behauptest du einfach nur, dass es einen Unterschied zwischen einer "Beobachtungswahrscheinlichkeit" und einer "Ereigniswahrscheinlichkeit" gebe, die einem Unterschied zwischen "auf dem Kopf landen" und "Kopf zeigen" entsprechen soll. Dafür gibst du aber keinerlei sachlichen Grund an. Im Gegenteil, auf meine ganz schlichte Feststellung: "Eine Münze, die auf Kopf landet, zeigt dann auch Kopf, und eine Münze, die Kopf zeigt, ist [...] vorher auch auf Kopf gelandet. Das ist für die mathematische Betrachtung absolut identisch, und deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für beides auch identisch", gehst du überhaupt nicht ein.

Dabei soll dann aber auch noch die sog. "Beobachtungswahrscheinlichkeit" wiederum gar keine tatsächliche Beobachtung sein, sondern nur die Vorstellung davon, was die Unterscheidung vollends unsinnig macht.

Gefragt, woher du diese Unterscheidung überhaupt hast, sagst du klar: "Ja, die habe ich mir ausgedacht. Weil sie zum Verständnis des Problems wichtig sind." Mit anderen Worten: Du hast nciht nur keinen sachlichen Grund dafür - du hast sie dir im Gegenteil ausgedacht, weil du meinst, damit das zeigen zu können, was du zeigen möchtest. Bedarfslogik pur.

Dass du dann auch noch mathematische Begriffe wie "Ereignisraum" falsch verwendest und Eineindeutigkeit behauptest, wo nur Eindeutigkeit gegeben ist (Würfel-Farben-Beispiel), und umgekehrt Uneindeutigkeit behauptest, wo Eindeutigkeit gegeben ist (die vier Ergebniss des doppelten Zufallsexperiments --> wach/schlafend), sei nur noch erwähnt.

Ebenso, dass du gelegentlich Beispiele bringst, die in jeder Hinsicht anders sind als das zu lösende Problem (der Alzheimer-Paläontologe u.a.).

Wenn ich all diese Dinge verwirrend und verschleiernd nenne, liegt das Problem wirklich nicht auf der Seite meines Verständnisses.

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Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.

Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht.


Öhhh ... das ist zwar verbal und in Übersichten schon mehrfach geschehen - aber bitte, warum nicht auch als Formel.

Erst einmal zur Vereinfachung: Da Mo und Di nun mal alle relevanten Tage sind, kann ich statt der gewünschten Formel einfacher schreiben:

P(Mo;wach und Di;wach|Zahl) = P(wach|Zahl) = 1


Das ist richtig, denn dass Dornröschen unter der Bedingung "Zahl" an beiden Tag geweckt wird, ist aus der Problemstellung bekannt.

Gesucht wird ja aber umgekehrt die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfergebnisses unter der Bedingung "wach", also:

P(Zahl|wach) = ?

Bekannt ist ferner natürlich die allgemeine Wahrscheinlichkeit für "Zahl":

P(Zahl) = 1/2

Auch die Wahrscheinlichekit für "wach" ist bekannt. Sie wird bei "Zahl" an beiden Tagen geweckt, bei "Kopf" nur an einem von beiden, also insgesamt an 3 von vier möglichen Terminen, also:

P(wach) = 1/2 + 1/4 = 3/4

Damit habe ich alles, was ich brauche.

Der Satz von Bayes lautet:

P(A|B) = [ P(B|A) x P(A) ] : P(B)

Da ich P(Zahl|wach) suche, setze ich A = Zahl und B = wach, also:

P(Zahl|wach) = [ P(wach|Zahl) x P(Zahl) ] : P (wach)

Fett die von dir zu verwenden gewünschte Wahrscheinlichkeit.
Ich setze die bekannten Werte ein:

P(Zahl|wach) = [ 1 x 1/2 ] : 3/4 = 1/2 x 4/3 = 2/3

Da

P(Zahl|wach) + P(Kopf|wach) = 1

folgt

1 - P(Zahl|wach) = P(Kopf|wach)

also

P(Kopf|wach) = 1 - 2/3 = 1/3

Voila.

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Mathemagier: Hab ich was falsch gemacht?
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Babyface
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Beiträge: 11356

Beitrag(#2195110) Verfasst am: 16.11.2019, 10:08    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Und hier behauptest du einfach nur, dass es einen Unterschied zwischen einer "Beobachtungswahrscheinlichkeit" und einer "Ereigniswahrscheinlichkeit" gebe, die einem Unterschied zwischen "auf dem Kopf landen" und "Kopf zeigen" entsprechen soll.

Nein, das fettmarkierte hab ich eigentlich nicht gesagt. Die Beobachtungswahrscheinlichkeit bezieht sich nicht auf das Ereignis "Münze zeigt Kopf (nachdem sie auf Kopf gefallen ist)", sondern auf die Beobachtung, dass die Münze Kopf zeigt bzw. die Beobachtung dass Kopf gefallen ist. Im Alltag brauchen wir diese Unterscheidung nicht, da die Beziehung zwischen den Ereignissen im ER und unseren Beobachtungen dieser Ereignisse im BR i.d.R. eineindeutig ist. Und wenn sich doch mal mehrere Beobachtungen sich auf und dasselbe Ereignis beziehen, ist uns das in den meisten Fällen bewusst und wir überschätzen (im Gegensatz zum dementen Paläontologen) nicht die Auftrittswahrscheinlichkeit für das Ereignis. Mehrere Beobachtungen werden in dem Fall eben nur als eine einzige gewertet.

Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.

Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht.

[…]

Auch die Wahrscheinlichekit für "wach" ist bekannt. Sie wird bei "Zahl" an beiden Tagen geweckt, bei "Kopf" nur an einem von beiden, also insgesamt an 3 von vier möglichen Terminen, also:

P(wach) = 1/2 + 1/4 = 3/4

An der Stelle wird es widersprüchlich. Um die Wahrscheinlichkeiten einfach aufaddieren zu können, müssten die beiden Ereignisse (Mo;wach) und (Di;wach) disjunkt sein, d.h. sie müssten sich gegenseitig ausschließen und dürften in einem Venn-Diagramm keine gemeinsame Schnittmenge haben. Das wiederum würde aber bedeuten, dass P(Mo;wach und Di;wach)=0 sein müsste und damit auch P(Mo;wach und Di;wach/Z).

Das Zufallsexperiment, welches Du definiert hast, schließt diese Schnittmenge aus, da es die Ereignisse (K;Mo;wach), (K;Di;schlaf), (Z; Mo; wach) und (Z;Di;wach) so definiert, dass diese paarweise disjunkt sind: Entweder trifft jeweils das eine zu oder das andere, aber niemals beide zusammen. Das Ereignis (Mo;wach und Di;wach) ist in Deinem Zufallsexperiment eigentlich gar nicht definiert. Dein Modell kann die Information P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 also gar nicht berücksichtigen. zwinkern
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tillich (epigonal)
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Anmeldungsdatum: 12.04.2006
Beiträge: 18071

Beitrag(#2195121) Verfasst am: 16.11.2019, 19:50    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.

Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht.

[…]

Auch die Wahrscheinlichekit für "wach" ist bekannt. Sie wird bei "Zahl" an beiden Tagen geweckt, bei "Kopf" nur an einem von beiden, also insgesamt an 3 von vier möglichen Terminen, also:

P(wach) = 1/2 + 1/4 = 3/4

An der Stelle wird es widersprüchlich. Um die Wahrscheinlichkeiten einfach aufaddieren zu können, müssten die beiden Ereignisse (Mo;wach) und (Di;wach) disjunkt sein, d.h. sie müssten sich gegenseitig ausschließen und dürften in einem Venn-Diagramm keine gemeinsame Schnittmenge haben. Das wiederum würde aber bedeuten, dass P(Mo;wach und Di;wach)=0 sein müsste und damit auch P(Mo;wach und Di;wach/Z).

Das Zufallsexperiment, welches Du definiert hast, schließt diese Schnittmenge aus, da es die Ereignisse (K;Mo;wach), (K;Di;schlaf), (Z; Mo; wach) und (Z;Di;wach) so definiert, dass diese paarweise disjunkt sind: Entweder trifft jeweils das eine zu oder das andere, aber niemals beide zusammen. Das Ereignis (Mo;wach und Di;wach) ist in Deinem Zufallsexperiment eigentlich gar nicht definiert. Dein Modell kann die Information P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 also gar nicht berücksichtigen. zwinkern

Äh ... ja ... natürlich sind die Ereignisse paarweise disjunkt. Es sind Elementarereignisse des zweistufigen Zufallsexperiments Münzwurf/Wochentag, und als Elementarereignisse (= Ergebnismengen mit einem Element) können sie gar nicht anders als disjunkt sein.

Oder mit anderen Worten: Es kann nicht gleichzeitig Montag und Dienstag sein, und die Münze kann nicht gleichzeitig Kopf und Zahl zeigen. Und deshalb kann es in der Tat auch nicht gleichzeitig Montag nach dem Ergebnis Kopf und Dienstag nach dem Ergebnis Kopfsein, und die Münze kann auch nicht am Montag gkleichzeitig Kopf unf Zahl zeigen.

Aber in der Tat habe ich einen Faehler gemacht: Ich habe deine Prämisse ...
Babyface hat folgendes geschrieben:
Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

... ungenau gelesen und deshalb akzeptiert. Natürlich ist diese deine Prämisse genau aus den von dir gerade geschilderten Gründen Quatsch, selbstverständlich gilt:

P(Mo;wach und Di;wach|Zahl) = 0 =/= P(wach|Zahl)

Korrekt müsste es natürlich heißen:

P(Mo;wach oder Di;wach|Zahl) = 1 = P(wach|Zahl)

, und danach geht es so weiter wie in meinem vorigen Post.
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Beitrag(#2195131) Verfasst am: 17.11.2019, 01:03    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich kann es auch anders formulieren: Wie soll Dornröschen ihr Wissen nutzen, dass sich im Falle des Eintretens des Ereignisses Zahl zwei Befragungen auf ein- und denselben Münzwurf beziehen?

Mit dem Satz von Bayes, wie inzwischen x-mal in verschiedenen Varianten dargestellt.

Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

Du darfst gerne Deine Bayes-Rechnung präsentieren, in welcher diese auftaucht.

[…]

Auch die Wahrscheinlichekit für "wach" ist bekannt. Sie wird bei "Zahl" an beiden Tagen geweckt, bei "Kopf" nur an einem von beiden, also insgesamt an 3 von vier möglichen Terminen, also:

P(wach) = 1/2 + 1/4 = 3/4

An der Stelle wird es widersprüchlich. Um die Wahrscheinlichkeiten einfach aufaddieren zu können, müssten die beiden Ereignisse (Mo;wach) und (Di;wach) disjunkt sein, d.h. sie müssten sich gegenseitig ausschließen und dürften in einem Venn-Diagramm keine gemeinsame Schnittmenge haben. Das wiederum würde aber bedeuten, dass P(Mo;wach und Di;wach)=0 sein müsste und damit auch P(Mo;wach und Di;wach/Z).

Das Zufallsexperiment, welches Du definiert hast, schließt diese Schnittmenge aus, da es die Ereignisse (K;Mo;wach), (K;Di;schlaf), (Z; Mo; wach) und (Z;Di;wach) so definiert, dass diese paarweise disjunkt sind: Entweder trifft jeweils das eine zu oder das andere, aber niemals beide zusammen. Das Ereignis (Mo;wach und Di;wach) ist in Deinem Zufallsexperiment eigentlich gar nicht definiert. Dein Modell kann die Information P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 also gar nicht berücksichtigen. zwinkern

Äh ... ja ... natürlich sind die Ereignisse paarweise disjunkt. Es sind Elementarereignisse des zweistufigen Zufallsexperiments Münzwurf/Wochentag, und als Elementarereignisse (= Ergebnismengen mit einem Element) können sie gar nicht anders als disjunkt sein.

Oder mit anderen Worten: Es kann nicht gleichzeitig Montag und Dienstag sein, und die Münze kann nicht gleichzeitig Kopf und Zahl zeigen. Und deshalb kann es in der Tat auch nicht gleichzeitig Montag nach dem Ergebnis Kopf und Dienstag nach dem Ergebnis Kopfsein, und die Münze kann auch nicht am Montag gkleichzeitig Kopf unf Zahl zeigen.

Aber in der Tat habe ich einen Faehler gemacht: Ich habe deine Prämisse ...
Babyface hat folgendes geschrieben:
Dieses spezielle Wissen, dass sie im Fall von Zahl zweimal befragt wird, lässt sich übrigens auch als bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken:

P(Mo;wach und Di;wach/Zahl)=1.

... ungenau gelesen und deshalb akzeptiert. Natürlich ist diese deine Prämisse genau aus den von dir gerade geschilderten Gründen Quatsch, selbstverständlich gilt:

P(Mo;wach und Di;wach|Zahl) = 0 =/= P(wach|Zahl)

Korrekt müsste es natürlich heißen:

P(Mo;wach oder Di;wach|Zahl) = 1 = P(wach|Zahl)

, und danach geht es so weiter wie in meinem vorigen Post.

Meine "Prämisse" ist eigentlich nur folgende Aussage:

Es ist sicher, dass Dornröschen in dem Experiment in welchem sie sich jetzt beim Erwachen gerade befindet am Mo und am Di befragt wird, wenn am Sonntag Zahl gefallen ist.

Diese Aussage ist offenkundig wahr und kann als Information verstanden werden, die sich mit P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 hinreichend präzise beschreiben lässt.

Du bezeichnest das nun alles als "Quatsch" und begründest es einzig und allein damit, dass Dein Wahrscheinlichkeitsmodell diese Information und damit ein Teil von Dornröschens Wissen nicht abbilden kann. Wäre es an der Stelle aber nicht sinnvoller gewesen die Vollständigkeit des Modells zu hinterfragen anstatt die "Prämisse" zu verwerfen? Oder hältst Du die Information einfach nur für unwichtig so dass man sie gar nicht modellieren braucht sondern einfach ignorieren kann?
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Beiträge: 18071

Beitrag(#2195167) Verfasst am: 17.11.2019, 13:58    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Meine "Prämisse" ist eigentlich nur folgende Aussage:

Es ist sicher, dass Dornröschen in dem Experiment in welchem sie sich jetzt beim Erwachen gerade befindet am Mo und am Di befragt wird, wenn am Sonntag Zahl gefallen ist.

Diese Aussage ist offenkundig wahr [...]

Richtig. Das ist allerdings nur eine Umformulierung des Experimentablaufs und hilft bei der Fragestellung noch nicht weiter.

Babyface hat folgendes geschrieben:
[...] und kann als Information verstanden werden, die sich mit P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 hinreichend präzise beschreiben lässt.

Naja, was heißt hinreichend präzise ... du schreibst das so auf, wie ich es getan habe, willst meine Bayes-Rechnung dazu wissen, und wunderst dich dann, wenn ich es nach meiner Modellierung mache und nicht nach deiner ...

Deine Modellierung betrachtet den Zeitraum über beide Tage zusammen als Ereignis (das heißt, "Montag" und "Dienstag" sind bei dir auch nicht als Ergebnis eines Zufallsexperiments betrachtet, weswegen es verwirrend ist, dass du sie dennoch so in die Klammern schreibst, als ob sie das wären).
Parallel könnte man - nach deiner Modellierung - auch andere denkbare Ereignisse beschreiben:
P(Mo;wach und Di;wach/K)=0
P(Mo;wach und Di;schlafend/Z)=0
P(Mo;wach und Di;schlafend/K)=1
Das heißt, wie haben zwei mögliche Ereignisse ([Mo/wach und Di/wach] vs. [Mo/wach und Di/schlafend]), die einem Ergebnis des Münzwurfs eineindeutig zugeordnet sind; deswegen kann auch sicher vom Ereignis auf den Münzwurf zurückgeschlossen werden; die bedingte Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1.

Das ist aber nun erstens völlig banal, weil es genau der Beschreibung des Ablaufs entspricht.

Es ist aber auch zweitens überhaupt nicht zielführend, weil es nicht der Fragestellung entspricht. Die Frage richtet sich an Dornröschen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, die sie "jetzt" annehmen muss; und das "jetzt" ist genau der eine Befragungstag, der gerade stattfindet, und eben nicht der Zeitraum über beide Tage. Den kennt sie ja nämlich nicht (das ist ja gerade sorgfältig ausgeschlossen), und deswegen ist es auch sinnlos, in der Modellierung davon auszugehen.

Dornröschen kennt während der Fragestellung ihre Situation an dem Tag, an dem sie sich gerade befindet, und nicht mehr; deswegen muss die Modellierung auch von einem Tag ausgehen, nicht von beiden. Sie weiß aber nicht, welcher Tag es ist - ob es Montag oder Dienstag ist, ist aus ihrer Sicht Zufall. Da das nun für die Fragestellung relevant ist - es entscheidet ja nicht nur der Münzwurf über ihren Zustand, sondern auch der Wochentag -, muss das auch in die Modellierung rein.
Deswegen habe ich es als zweistufiges Zufallsexperiment mit 4 Ergebnissen beschrieben.
(MaW: Das ist deswegen notwendig, weil der Zustand "wach" eben nicht dem Münzwurf allein eineindeutig zugeordnet ist, sondern nur eindeutig der Kombination aus Münzwurf und Tag, wodurch kein sicherer Rückschluss auf den Münzwurf möglich ist, sondern die Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit notwendig wird.)

Babyface hat folgendes geschrieben:
Du bezeichnest das nun alles als "Quatsch" und begründest es einzig und allein damit, dass Dein Wahrscheinlichkeitsmodell diese Information und damit ein Teil von Dornröschens Wissen nicht abbilden kann. Wäre es an der Stelle aber nicht sinnvoller gewesen die Vollständigkeit des Modells zu hinterfragen anstatt die "Prämisse" zu verwerfen? Oder hältst Du die Information einfach nur für unwichtig so dass man sie gar nicht modellieren braucht sondern einfach ignorieren kann?

Das ist doch wieder Unsinn. Natürlich bildet meine Modellierung diese Information ab. Dornröschen weiß, dass sie beim Münzwurf-Ergebnis "Zahl" sowohl beim Wochentag-Ergebnis "Montag" als auch beim Wochentag-Ergebnis "Dienstag" geweckt wird.
Diese Information stellt sich so dar:
P (wach|Mo,Z) = 1
P (wach|Di,Z) = 1
Es wird eben nur in einer Form abgebildet - nämlich als die beiden Einzeltage - die bei der Fragestellung, die von einem Einzeltag ausgeht, auch weiterhilft.
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smallie
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Beitrag(#2195181) Verfasst am: 17.11.2019, 18:14    Titel: Antworten mit Zitat

zelig hat folgendes geschrieben:
whow... soo genau wollte ich es dann doch nicht definiert haben. : )

Psst. Unter uns.

Wie oft hast du dir das bei meinem Geschreibe auch schon gedacht? zwinkern



Bei mir war der Ofen danach aus:
smallie hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Various sources tried to justify the correctness of their camp using betting or gambling; however, this brings along specifications, depending on which events trigger which outcomes. For example, if Beauty wants to be correct often (e.g. because of a per-awakening reward), she should pick T all the time; this is a setting for which the thirders’ answer (under the “outcome population” perspective, see Section 4) would suit her needs. Mutalik (2016a) emphasized that proponents of all camps agreed on correct solutions, as soon as such concretizations were added to the problem. We will therefore not consider the betting approach.

http://www1.beuth-hochschule.de/FB_II/reports/Report-2019-002.pdf

Grober Fehler, denn im Anschluß machen sie ja doch einige specifications. Warum nicht schon an dieser Stelle?
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Babyface
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Beitrag(#2195189) Verfasst am: 17.11.2019, 19:57    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
zelig hat folgendes geschrieben:
whow... soo genau wollte ich es dann doch nicht definiert haben. : )

Psst. Unter uns.

Wie oft hast du dir das bei meinem Geschreibe auch schon gedacht? zwinkern



Bei mir war der Ofen danach aus:
smallie hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Various sources tried to justify the correctness of their camp using betting or gambling; however, this brings along specifications, depending on which events trigger which outcomes. For example, if Beauty wants to be correct often (e.g. because of a per-awakening reward), she should pick T all the time; this is a setting for which the thirders’ answer (under the “outcome population” perspective, see Section 4) would suit her needs. Mutalik (2016a) emphasized that proponents of all camps agreed on correct solutions, as soon as such concretizations were added to the problem. We will therefore not consider the betting approach.

http://www1.beuth-hochschule.de/FB_II/reports/Report-2019-002.pdf

Grober Fehler, denn im Anschluß machen sie ja doch einige specifications. Warum nicht schon an dieser Stelle?

Der Gambling-Ansatz ist recht flexibel darin eine bestimmte Strategie nahezulegen. Dornröschen könnte am So zb gesagt bekommen, dass sie den Ausgang des Münzwurfs am Montag tippen wird. Und dass sie falls Zahl fällt am Di nochmal die Möglichkeit bekommt ihren Tip zu ändern. Natürlich weiß sie am Di nicht ob sie schon am Mo getippt hat und worauf. Es zählt aber immer nur ihre letzte Antwort und das weiß sie nun.

Das kann man nun sehr oft durchspielen. Am Ende wird man feststellen, dass ein Dornröschen das stets auf Zahl tippt entgegen der Vorhersage des Thirders kein Deut reicher sein wird als ein Dornröschen, das stets auf Kopf tippt. Und warum nicht? Weil Dornröschens Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Kopf bzw. Zahl gefallen ist zu jedem Zeitpunkt im Verlauf des Spiels genau 1/2 beträgt.
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Beitrag(#2195194) Verfasst am: 17.11.2019, 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Meine "Prämisse" ist eigentlich nur folgende Aussage:

Es ist sicher, dass Dornröschen in dem Experiment in welchem sie sich jetzt beim Erwachen gerade befindet am Mo und am Di befragt wird, wenn am Sonntag Zahl gefallen ist.

Diese Aussage ist offenkundig wahr [...]

Richtig. Das ist allerdings nur eine Umformulierung des Experimentablaufs und hilft bei der Fragestellung noch nicht weiter.

Babyface hat folgendes geschrieben:
[...] und kann als Information verstanden werden, die sich mit P(Mo;wach und Di;wach/Z)=1 hinreichend präzise beschreiben lässt.

Naja, was heißt hinreichend präzise ... du schreibst das so auf, wie ich es getan habe, willst meine Bayes-Rechnung dazu wissen, und wunderst dich dann, wenn ich es nach meiner Modellierung mache und nicht nach deiner ...

Deine Modellierung betrachtet den Zeitraum über beide Tage zusammen als Ereignis (das heißt, "Montag" und "Dienstag" sind bei dir auch nicht als Ergebnis eines Zufallsexperiments betrachtet, weswegen es verwirrend ist, dass du sie dennoch so in die Klammern schreibst, als ob sie das wären).
Parallel könnte man - nach deiner Modellierung - auch andere denkbare Ereignisse beschreiben:
P(Mo;wach und Di;wach/K)=0
P(Mo;wach und Di;schlafend/Z)=0
P(Mo;wach und Di;schlafend/K)=1
Das heißt, wie haben zwei mögliche Ereignisse ([Mo/wach und Di/wach] vs. [Mo/wach und Di/schlafend]), die einem Ergebnis des Münzwurfs eineindeutig zugeordnet sind; deswegen kann auch sicher vom Ereignis auf den Münzwurf zurückgeschlossen werden; die bedingte Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1.

Das ist aber nun erstens völlig banal, weil es genau der Beschreibung des Ablaufs entspricht.

Es modelliert den Ablauf des Experiments, ja. Und genau das ist jetzt das entscheidende, damit auch Dornröschens Wissen wenn sie befragt wird. Das lässt sich auf die Wachtage reduziert übrigens noch ausführlicher modellieren:

P(K)=1/2
P(Z)=1/2
P(K oder Z)=1
P(K+Z)=0
P(Mo)=1
P(Di)=1/2
P(Mo+Di)=1/2
P(Mo oder Di)=1

P(Mo/K)=1
P(Di/K)=0
P(Mo/Z)=1
P(Di/Z)=1
P(Mo+Di/K)=0
P(Mo+Di/Z)=1
P(Mo oder Di/K)=1
P(Mo oder Di/Z)=1

P(K/Mo)=1/2
P(Z/Mo)=1/2
P(K/Di)=0
P(Z/Di)=1
P(K/Mo+Di)=0
P(Z/Mo+Di)=1

P(K/Mo oder Di)=1/2
P(Z/Mo oder Di)=1/2

Damit ist Dornröschens Wissen beim Aufwachen schon vollständig beschrieben. Und mit diesem auch alle möglichen Informationen, die ihre Wahrscheinlichkeit, dass Kopf bzw. Zahl gefallen ist beeinflussen können (fett markiert): Wenn sie wüsste, ob sie am Mo und am Di befragt wird oder wenn sie wüßte dass heute Di ist. Erfährt sie aber beides grundsätzlich nicht, und deshalb bleibts bei 1/2.

Zitat:
Es ist aber auch zweitens überhaupt nicht zielführend, weil es nicht der Fragestellung entspricht.

Doch, das entspricht sogar ganz genau der Fragestellung. Dornröschen stellt sich beim Erwachen nichts anderes als die Frage in welchem von zwei experimentellen Armen sie sich jetzt gerade befindet: entweder (Z,Mo+Di) oder (K,Mo). So wie sich der Zugreisende fragt in welchen der beiden Züge er gestiegen ist.

Zitat:

Das ist doch wieder Unsinn. Natürlich bildet meine Modellierung diese Information ab. Dornröschen weiß, dass sie beim Münzwurf-Ergebnis "Zahl" sowohl beim Wochentag-Ergebnis "Montag" als auch beim Wochentag-Ergebnis "Dienstag" geweckt wird.
Diese Information stellt sich so dar:
P (wach|Mo,Z) = 1
P (wach|Di,Z) = 1
Es wird eben nur in einer Form abgebildet - nämlich als die beiden Einzeltage - die bei der Fragestellung, die von einem Einzeltag ausgeht, auch weiterhilft.

Nein, diese Information wird dadurch eben nicht abgebildet. Weil hier nicht definiert ist, dass beide Wachereignisse aus ein und demselben Zahl-Ereignis resultieren. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sagen daher nur folgendes aus: Wenn Dein Zufallsexperiment das Ereignis (Mo,Z) oder (Di,Z) produziert hat, dann hat es auch (wach) produziert. Sie sagen hingegen nicht aus, dass Dein Zufallsexperiment (Mo,wach) und (Di,wach) produziert wenn es Z produziert hat. Kann es ja auch gar nicht, denn dieses Ergebnis ist in Deinem Modell ausgeschlossen.

Wenn Du das nicht nachvollziehen kann, prüfe es empirisch. Nimm eine Münze und lass Dein zweistufiges Zufallsexperiment 10 mal hintereinander laufen und schreibe die 10 Ergebnisse der Reihe nach auf. Du wirst in deren Abfolge kein Muster ausmachen können, welches die gesuchte Information abbildet.

Mögliche Ergebnisse Deines Zufallsexperiments (disjunkt;gleichwahrscheinlich):

(K,Mo,W); (K,Di,S); (Z,Mo,W); (Z,Di,W)

Mögliche Ergebnisabfolge Deines Zufallsexperiments (10 Durchgänge):

K,Di,S
K,Di,S
Z,Di,W
K,Mo,W
Z,Mo,W
K,Di,S
K,Mo,W
Z,Mo,W
Z,Di,W
Z,Di,W

-> Durcheinandergewürfeltes Tohuwabohu; Info eliminiert


Zum Vergleich eine mögliche Abfolge meines Zufallsexperiments:

Z,Mo,Di
Z,Mo,Di
K,Mo
Z,Mo,Di
K,Mo
K,Mo
K,Mo
Z,Mo,Di
K,Mo
Z,Mo,Di

-> Info klar erkennbar..
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tillich (epigonal)
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Beitrag(#2195202) Verfasst am: 18.11.2019, 03:45    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Es modelliert den Ablauf des Experiments, ja. Und genau das ist jetzt das entscheidende, damit auch Dornröschens Wissen wenn sie befragt wird.

Entscheidend ist nicht allein, ob der Ablauf des Experiments modelliert wird. Das ist natürlich eine Grundvoraussetzung, reicht aber nicht (deswegen des Wörtchen "nur" in meiner Aussage "Das ist allerdings nur eine Umformulierung des Experimentablaufs"). Wichtig ist auch, dass es auf eine Weise modelliert wird, die zur Lösung führt.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Das lässt sich auf die Wachtage reduziert übrigens noch ausführlicher modellieren:

Hier habe ich direkt eine Verständnisfrage.

a) Soll das heißen, dass alle weiteren angegebenen Wahrscheinlichkeiten so zu verstehen sind, dass sie unter der - immer mitzudenkenden - Bedingung gelten, dass Dornröschen wach ist? Das wäre merkwürdig, denn diese Wahrscheinlichkeiten willst du doch erst herausfinden.

b) Oder soll das heißen, dass du tatsächlich nur die Wachtage betrachten willst und den Fall "Dienstag/schlafend" ganz außen vorlassen willst? Das wäre auch sehr merkwürdig, denn dieser Fall gehört doch zum Ablauf des Experiments und kann nicht bloß einfach deswegen ignoriert werden, weil Dornröschen ihn nicht bewusst erlebt.

Da beide Verständnismöglichkeiten also problematisch sind, wittere ich Inkonsistenzen.

Aber gehen wir die Modellierung durch:

1.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(K)=1/2
P(Z)=1/2

Meinst du a), würdest du hier schon das, was du suchst (Kopf unter der Bedingung wach) einfach voraussetzen. Das wäre ein offensichtlicher Fehler.
Meinst du b), würde das heißen, dass du P(K) nur unter der Bedingung Montag meinst, P(Z) dagegen unter der Bedingung Montag und Dienstag; dann würdest du zwei unterschiedliche Zeiträume vergleichen, was mE auch fehlerhaft wäre. Da diese Zeiträume genau die Wachzeiträume sind, wäre es außerdem äquivalent mit a), also würdest du auch so das gesuchte Ergebnis voraussetzen.

Korrekt wären die Wahrscheinlichkeitsangeben nur als die allgemeine Wahrscheinlichkeit für K und Z. Dann würde aber zu P(K) genauso wie zu P(Z) auch der Dienstag gehören, der aber nun mal kein Wachtag ist; du würdest also gegen deine obige Aussage, nur die Wachtage zu betrachten, verstoßen.

Entweder setzt du hier also das gesuchte Ergebnis voraus oder du verstößt hier schon gegen deine Absicht, nur die Wachtage zu betrachten, bist also inkonsistent.

2.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(K oder Z)=1
P(K+Z)=0

Nun gut, das ist so richtig wie banal: Ein Münzwurf zeigt auf jeden Fall Kopf oder Zahl, aber keinesfalls beides.

3.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Mo)=1

Hä? Die Wahrscheinlichkeit für Montag ist 1? Das ist doch offensichtlicher Unsinn. Es kann ja nun auch Dienstag sein, egal ob ich von Verständnis a) oder b) ausgehe.

Richtig wäre es nur für eine dritte Verständnismöglichkeit c): Die Wahrscheinlichkeit für "wach" unter der Bedingung "Montag" ist 1. Dann hättest du aber in die Klammern nicht das Ereignis geschrieben, dessen Wahrscheinlichkeit du angeben willst, sondern die Bedingung eines nicht genannten Ereignisses; das wäre aber grob unüblich und auch anders, als du es unter den Fällen in 1. gemacht hast: Dann hättest du da nämlich auch P(Z)=1 schreiben müssen (die Wahrscheinlichkeit für "wach" unter der Bedingung "Zahl" ist 1).

Entweder hast du hier also eine offensichtlich falsche Wahrscheinlichkeit angegeben; oder du bist schon bei der Angabe der einfachen Wahrscheinlichkeiten völlig inkonsistent.

4.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Mo+Di)=1/2

Tja, was soll das wiederheißen? Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es Montag und Dienstag gleichzeitig ist? Wohl kaum. Also wohl eher die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Dornröschen am Montag und Dienstag wach ist. Das ist dann zwar richtig, aber - als im Ablauf genannte Folge - auch wieder nur äquivalent zu zu P(Z) und bringt uns also nicht weiter. Vor allem bringt es uns nicht weiter, da Dornröschen ja keinen Überblick über zwei Tage hat.

5.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Mo oder Di)=1

Ja, wenn Dornröschen aufwacht, ist es entweder Montag oder Dienstag. Andere Tage stehen ja auch nicht zur Verfügung. Das ist allerdings wiederum nur richtig als "Montag oder Dienstag unter der Bedingung wach", nicht umgekehrt "wach unter der Bedingung Montag oder Dienstag" (am Dienstag könnte sie ja auch schlafen). Es liegt also Verständnismöglichkeit a) oder b) vor, nicht die in 3. notwendige c), also wieder eine Inkonsistenz.

6.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Mo/K)=1
P(Di/K)=0

Okay, hier muss ich mir wohl wieder - als zweite Bedingung - hinzudenken: "wach". Nicht heißen kann es "Es ist x-tag und Dornröschen ist wach" unter der Bedingung "Kopf", denn es gibt ja durchaus einen Dienstag nach Kopf, nur eben nicht mit einem wachen Dornröschen. Andere Möglichkeit: Es heißt "wach unter den beiden Bedingungen [Tag] und [Münze]", was aber mit dem Strich drin wieder höchst unüblich wäre, der zeigt ja normalerweise eine Bedingung an.

7.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Mo/Z)=1
P(Di/Z)=1

Konsistent zu den beiden vorigen Aussagen ist das nur, wenn ich die genannte ungewöhnliche Bedeutung der Notierung "wach unter den beiden Bedingungen [Tag] und [Münze]" annehme. Sowohl "Es ist Montag [bzw. Dienstag] und Dornröschen ist wach unter der Bedingung Zahl" als auch "Es ist Montag [bzw. Dienstag] unter den Bedingungen wach und Zahl" wären ja nicht 1, sondern 1/2. Das gilt auch, wenn ich das "wach" hier ganz weglasse.

Diese Bedeutung von P(X/Y) als "Wahrscheinlichkeit für wach unter den Bedingungen X und Y", die in 7. gemeint sein muss, ist im folgenden aber wieder gar nicht möglich:
8.
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(K/Mo)=1/2
P(Z/Mo)=1/2

Hier muss wieder (mW übliche Notierung) "Kopf unter der Bedingung Montag" gemeint sein.

Ich habe keine Kraft mehr, bei allen deinen Formeln nachzuvollziehen, was jeweils gemeint ist. Aber schon bisher zeigt sich ja: Mal muss ich mir das "wach" als Bedingung dazudenken, mal als Ereignis; und wenn in den Klammern Münzwurf und Tag durch einen Strich getrennt sind, heißt das mal "Münze unter der Bedingung von Tag" (in 8.) und mal "wach unter den beiden Bedingungen".

Sorry, aber das ist keine Modellierung, sondern ein wirrer Haufen von Inkonsistenzen. Und das liegt genau daran, dass du das "wach" nicht explizit hinschreibst, weil du angeblich "nur die Wachtage betrachtest"; implizit ist es aber manchmal doch notwendig drin, nur eben mal als Bedingung und mal als Ereignis, inkonsistent je nach Bedarf.

Da das so wirr ist, konnte ich nicht alles nachvollziehen. Aber mutmaßlich hast du das Ergebnis 1/2 nur deswegen raus, weil du ganz oben nicht klar machst, ob du mit P(K)=1/2 bzw. P(Z)=1/2 die allgemeine Wahrscheinlichkeit meinst - dann wäre die Wahrscheinlichkeit zwar richtig zwar richtig, aber das "wach" bei ganz vielen der folgenden Wahrscheinlichkeiten unter der Hand eingeschmuggelt; oder du hast - wie bei vielen der folgenden Wahrscheinlichkeiten - das "wach" als Bedingung mitgemeint, dadurch aber das vorausgesetzt, was du erst beweisen wolltest, nämlich dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf unter der Bedingung, dass Dornröschen wach ist, 1/2 betrage.

---------------------------------------------------

Babyface hat folgendes geschrieben:
Damit ist Dornröschens Wissen beim Aufwachen schon vollständig beschrieben. Und mit diesem auch alle möglichen Informationen, die ihre Wahrscheinlichkeit, dass Kopf bzw. Zahl gefallen ist beeinflussen können (fett markiert): Wenn sie wüsste, ob sie am Mo und am Di befragt wird oder wenn sie wüßte dass heute Di ist. Erfährt sie aber beides grundsätzlich nicht, und deshalb bleibts bei 1/2.

Du behauptest hier im Prinzip einfach, weil Dornröschen nicht wisse, ob Montag oder Dienstag ist (und keinen sicheren Rückschluss ziehen kann), könne der Dienstag einfach komplett ignoriert werden, und es gelte deshalb die allgemeine Wahrscheinlichkeit von 1/2, die auch für den Montag gilt. Das ist aber aus der Perspektive D's nicht richtig: Aus ihrer Perspektive könnte Dienstag sein, und wenn das so wäre, wäre die Wahrscheinlichkeit eben nicht dieselbe wie am Montag. Diese Möglichkeit gehört auch zu D's Wissen. Dass eine zusammengenomme Wahrscheinlichkeit für Zahl von 1/2 am Montag und 1/1 am Dienstag aber wieder 1/2 sein sollte ist komplett unlogisch.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Es ist aber auch zweitens überhaupt nicht zielführend, weil es nicht der Fragestellung entspricht.

Doch, das entspricht sogar ganz genau der Fragestellung. Dornröschen stellt sich beim Erwachen nichts anderes als die Frage in welchem von zwei experimentellen Armen sie sich jetzt gerade befindet: entweder (Z,Mo+Di) oder (K,Mo). So wie sich der Zugreisende fragt in welchen der beiden Züge er gestiegen ist.

Nein, und ich glaube hier ist endlich der Kern unserer Differenz:
Die Fragestellung ist eben nicht die nach "experimentellen Ästen". Die Fragestellung ist die nach der konkreten Situation - und das ist eine Aufwachsituation, nicht ein "experimenteller Ast". Durch den Begriff des "experimentellen Astes" fasst du im einen Fall zwei Situationen zusammen, die in der Perspektive Dornröschens aber nicht zusammengehören. Der Begriff des "experimentellen Astes" hat nur Sinn, wenn man Montag und Dienstag als feste Folge, nicht als Zufall begreift. Das ist aber nur aus einer Perspektive mit Erinnerung möglich. Aus der Perspektive Dornröschens ist der Wochentag aber reiner Zufall. Dass du den Wochentag dennoch nicht als zweites Zufallsexperiment behandeln willst, sondern als Bestandteil eines festen "experimentellen Astes", den Dornröschen ja aber gar nicht erlebt, ist, glaube ich, unsere Differenz.



Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:

Das ist doch wieder Unsinn. Natürlich bildet meine Modellierung diese Information ab. Dornröschen weiß, dass sie beim Münzwurf-Ergebnis "Zahl" sowohl beim Wochentag-Ergebnis "Montag" als auch beim Wochentag-Ergebnis "Dienstag" geweckt wird.
Diese Information stellt sich so dar:
P (wach|Mo,Z) = 1
P (wach|Di,Z) = 1
Es wird eben nur in einer Form abgebildet - nämlich als die beiden Einzeltage - die bei der Fragestellung, die von einem Einzeltag ausgeht, auch weiterhilft.

Nein, diese Information wird dadurch eben nicht abgebildet. Weil hier nicht definiert ist, dass beide Wachereignisse aus ein und demselben Zahl-Ereignis resultieren. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sagen daher nur folgendes aus: Wenn Dein Zufallsexperiment das Ereignis (Mo,Z) oder (Di,Z) produziert hat, dann hat es auch (wach) produziert. Sie sagen hingegen nicht aus, dass Dein Zufallsexperiment (Mo,wach) und (Di,wach) produziert wenn es Z produziert hat. Kann es ja auch gar nicht, denn dieses Ergebnis ist in Deinem Modell ausgeschlossen.

Unsinn. Das Ereignis "Mo,wach und Di,wach" (im Sinne von "Dornröschen ist an beiden Tagen wach") ist keineswegs ausgeschlossen. Es ist ja schlicht und einfach dasselbe wie das Ereignis "Zahl". Natürlich kann das bei dem Experiment auch so betrachtet werden. Es ist nur für die Fragestellung nicht sinnvoll, weil es um Dornröschens Perspektive geht. Und Dornröschen erlebt nun mal nicht dieses Ereignis "Mo,wach und Di,wach" (= das Ereignis "Zahl"), sondern das Ereignis "wach", von dem sie nur weiß, dass ihm die Ergebnisse Mo/K, Mo/Z und Di/Z zugrunde liegen können. Dass aus "Zahl" zweimal "wach" folgt (genauso wie aus "Mo" auch zweimal "wach" folgt), aus "Kopf" (genauso wie aus "Dienstag") hingegen nur einmal (plus einmal "schlafend"), weiß sie zwar; es ändert aber nichts daran, dass alle drei Elementarereignisse aus ihrem Erleben gleich wahrscheinlich sind.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Wenn Du das nicht nachvollziehen kann, prüfe es empirisch. Nimm eine Münze und lass Dein zweistufiges Zufallsexperiment 10 mal hintereinander laufen und schreibe die 10 Ergebnisse der Reihe nach auf. Du wirst in deren Abfolge kein Muster ausmachen können, welches die gesuchte Information abbildet.

Mögliche Ergebnisse Deines Zufallsexperiments (disjunkt;gleichwahrscheinlich):

(K,Mo,W); (K,Di,S); (Z,Mo,W); (Z,Di,W)

Mögliche Ergebnisabfolge Deines Zufallsexperiments (10 Durchgänge):

K,Di,S
K,Di,S
Z,Di,W
K,Mo,W
Z,Mo,W
K,Di,S
K,Mo,W
Z,Mo,W
Z,Di,W
Z,Di,W

-> Durcheinandergewürfeltes Tohuwabohu; Info eliminiert


Zum Vergleich eine mögliche Abfolge meines Zufallsexperiments:

Z,Mo,Di
Z,Mo,Di
K,Mo
Z,Mo,Di
K,Mo
K,Mo
K,Mo
Z,Mo,Di
K,Mo
Z,Mo,Di

-> Info klar erkennbar..

Stimmt. Bei meiner Modellierung (zwei Zufallsexperimente: Münzwurf und Tag) ist die Information "Bei Zahl folgt auf einen wachen Montag ein wacher Dienstag" zwar Teil der Regeln (und als solche bekannt), aber im einzelnen Ergebnis nicht erkennbar, im Gegensatz zu deiner Modellierung (ein Zufallsexperiment: Münzwurf), bei der diese Information im einzelnen Ergebnis erkennbar ist.

Und jetzt Preisfrage: Was von beidem entspricht Dornröschens Perspektive? Hat sie nur die allgemeine Information, dass bei Zahl nach den Regeln zwei Aufwacherlebnisse hintereinander kommen, oder hat sie auch die Information, ob ihr konkretes Aufwacherlebnis Teil einer Zweierkette ist?

Ich würde ja sagen, dass das Fehlen der konkreten Information völlig richtig ist, weil es Dornröschens Erleben und damit der Fragestellung entspricht.
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Beitrag(#2195203) Verfasst am: 18.11.2019, 06:13    Titel: Antworten mit Zitat

@tillich

Aus Zeitmangel nur ein Punkt. In meinem Modell sind die Ereignisse folgendermaßen definiert:

K: Münze ist am Sonntag auf Kopf gefallen
Z: Münze ist am Sonntag auf Zahl gefallen
Mo: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Mo eine Befragung statt
Di: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Di eine Befragung statt

Das sollte eigentliche alle vermeintlichen Inkonsistenzen beheben.
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tillich (epigonal)
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Beitrag(#2195228) Verfasst am: 18.11.2019, 13:49    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Mo: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Mo eine Befragung statt
Di: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Di eine Befragung statt

Ok. Ich hatte einfach eingenommen, "Mo" hieße "es ist Montag". Das schiene mir ... einfacher: Ein Wochentag, ein Ereignis. Stattdessen heißt "Mo" "zwei Wochentage, innerhalb derer an einem von beiden ein Ereignis stattfinden kann".

Mit deiner Definition gehst du wieder systematisch weg von der Situation, in der Dornröschen sich befindet (und nach der mMn gefragt ist), auf die "experimentellen Äste", die nicht Dornröschens Erleben entsprechen (und nach denen deswegen mMn auch nicht gefragt ist).

Ich glaube, an diesem Kern unserer Differenz können wir einfach stehen bleiben.
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Beitrag(#2195595) Verfasst am: 20.11.2019, 23:14    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Mo: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Mo eine Befragung statt
Di: in dem Experiment in welchem sich Dornröschen jetzt gerade befindet, findet am Di eine Befragung statt

Ok. Ich hatte einfach eingenommen, "Mo" hieße "es ist Montag". Das schiene mir ... einfacher: Ein Wochentag, ein Ereignis. Stattdessen heißt "Mo" "zwei Wochentage, innerhalb derer an einem von beiden ein Ereignis stattfinden kann".

Mit deiner Definition gehst du wieder systematisch weg von der Situation, in der Dornröschen sich befindet (und nach der mMn gefragt ist), auf die "experimentellen Äste", die nicht Dornröschens Erleben entsprechen (und nach denen deswegen mMn auch nicht gefragt ist).

Ich glaube, an diesem Kern unserer Differenz können wir einfach stehen bleiben.

Nein, ich entferne mich nicht systematisch von der Situation in der Dornröschen sich wiederfindet, sondern vollziehe einen notwendigen Schritt um Dornröschens Perspektive zu modellieren. Genau hier, nämlich in der Frage wie man überhaupt Perspektive modelliert, liegt unser ganzer Dissens. Und die Antwort auf diese Frage, so behaupte ich mal, ist die Lösung des Dornröschenproblems.

Wenn man von Perspektive spricht, dann stellt sich sofort die Frage worauf eigentlich. Da scheint es ja offensichtlich etwas vom Betrachter Unabhängiges zu geben, dass sich dem Betrachter je nach Perspektive auf eine bestimmte andere Weise darstellt. Einfaches Beispiel wäre ein dreidimensionales Objekt, welches je nach relativer Position des Betrachters ein unterschiedliches Abbild auf der Retina erzeugt. Ich denke schon dieses Beispiel zeigt es ganz deutlich: Es ist völlig unmöglich Perspektive zu modellieren ohne zuvor ihren Bezugsgegenstand objektiv modelliert zu haben. Der erste Schritt zur Modellierung von Perspektive ist also ein vollständiges betrachterunabhängiges Modell aller objektiv feststellbaren Eigenschaften des Gegenstands auf dessen Grundlage dann Perspektiveinnahme erst möglich wird.

Dieses Prinzip ist im Fall der darstellenden Geometrie leicht nachvollziehbar, es ist aber auch für andere Bereiche gültig. So versucht die Naturwissenschaft bekanntlich Vorhersagen in Bezug auf bestimmte Ereignisse zu machen, indem sie deren Zusammenhänge modelliert. Resultat sind Modelle mit verschiedenen Parametern einschließlich deren Beziehungen untereinander. Die Darstellung erfolgt in Form von Gleichungen. Will ich zum Beispiel die Position eine Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhersagen, dann benötige ich dafür Daten mit denen ich das physikalische Modell füttern kann. Je mehr Parameter ich kenne, desto sicherer wird die Vorhersage. Im Idealfall verändert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, den Planeten an einer bestimmten Position zu einem bestimmten Zeitpunkt beobachten zu können auf 1 (Beobachung sicher) oder 0 (Beobachtung sicher ausgeschlossen). Was hat das alles mit Perspektive zu tun? Nun, Perspektive wird hier abgebildet durch den Informationsstand des erkenntnissuchenden Subjekts (in dem Fall des Astronomen) bzgl der Ausprägung relevanter Modellparameter. Dieser Informationsstand definiert die Perspektive des Subjekts, und zwischen „keine Information“ und „vollständiger Information“ ist prinzipiell alles möglich.

Diese überlegungen lassen sich ganz leicht auch auf das Dornröschenexperiment übertragen. Um Dornröschens Perspektive zu modellieren, brauchen wir zunächst ein vollständiges objejtives Modell des experimentellen Ablaufs. Dieses Modell hatte ich oben bereits in Wahrscheinlichkeiten ausformuliert. Es lässt sich sogar noch weiter vereinfachen:

Wenn „Kopf“ dann eine Befragung
Wenn „Zahl“, dann zwei Befragungen

Im zweiten Schritt erfolgt dann eine Beschreibung von Dornröschens Informationsstand bzgl. aller relevanten Modellparameter zum Zeitpunkt der Befragung. Das Ergebnis ist, dass Dornröschen aufgrund ihrer Vergesslichkeit keine Informationen besitzt, die eine von 1/2 abweichende Vorhersage erlauben, wenn sie das Modell damit füttert. Die einzige Information bei dem das Modell eine andere Vorhersage ausspucken würde, wäre die Information wie oft sie befragt wird. Doch genau das erfährt sie ja gerade nicht.

Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast. Das Problem ist nur, dass Dein Modell kein objektives Abbild des Zufallsexperiments ist, welches gerade an Dornröschen durchgeführt wird und nach dessen Ausgang sie gefragt wird. Was im wesentlichen daran liegt, dass Du versuchst den zweiten Schritt vor dem ersten zu machen. Dein Modell ist damit nicht zwangsläufig falsch, jedoch in Bezug auf die eigentlichen Fragestellung invalide. Und das lässt sich auch empirisch zeigen:

Wäre Dornröschens Wahrscheinlichkeit für Zahl beim Erwachen nämlich tatsächlich auf 2/3 angestiegen, dann müsste sie bei einer Tipstrategie auf Zahl auch dann häufiger gewinnen, falls im Verlauf des Experiments nur ihr letzter Tip gewertet wird.
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smallie
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Beitrag(#2195599) Verfasst am: 20.11.2019, 23:59    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast.

Tja, das sagen tillich und ich über dein Modell auch.

Nochmal die Formulierung aus steps Link:

Zitat:
Sleeping Beauty agrees to the following experiment. On Sunday, she is put to sleep, and a fair coin is flipped. If it comes up Heads, she is awoken on Monday morning; if Tails, she is awoken on Monday morning and again on Tuesday morning. In all cases, she is not told the day of the week, is put back to sleep shortly after, and will have no memory of any Monday or Tuesday awakenings. When Sleeping Beauty is awoken on Monday or Tuesday, what – to her – is the probability that the coin came up Heads?

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Beitrag(#2195605) Verfasst am: 21.11.2019, 01:03    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Der erste Schritt zur Modellierung von Perspektive ist also ein vollständiges betrachterunabhängiges Modell aller objektiv feststellbaren Eigenschaften des Gegenstands auf dessen Grundlage dann Perspektiveinnahme erst möglich wird.

"Betrachterunabhängig" ist wissenschaftlich bestimmt sehr oft ganz fein, aber dann nicht, wenn ausdrücklich nach der betrachterabhängigen Perspektive gefragt wird. Dann ist Betrachterunabhängigkeit in Bezug auf die Fragestelung schlicht falsch. Und das ist hier der Fall.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Wenn „Kopf“ dann eine Befragung
Wenn „Zahl“, dann zwei Befragungen

Im zweiten Schritt erfolgt dann eine Beschreibung von Dornröschens Informationsstand bzgl. aller relevanten Modellparameter zum Zeitpunkt der Befragung. Das Ergebnis ist, dass Dornröschen aufgrund ihrer Vergesslichkeit keine Informationen besitzt, die eine von 1/2 abweichende Vorhersage erlauben, wenn sie das Modell damit füttert. Die einzige Information bei dem das Modell eine andere Vorhersage ausspucken würde, wäre die Information wie oft sie befragt wird. Doch genau das erfährt sie ja gerade nicht.

Aber natürlich hat sie eine solche Information. Sie hat die Information, dass es drei mögliche Befragungen gibt und sie sich in einer davon befindet.

Dafür muss sie nicht wissen, wie oft sie tatsächlich befragt wird (dann könnte sie auch auf den Münzwurf sicher schließen und könnte als Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 angeben). Es reicht, dass sie weiß, dass es im einen Fall mehr Befragungen gibt als im anderen, um zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfs aus ihrer Perspektive nicht mehr gleich ist.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast. Das Problem ist nur, dass Dein Modell kein objektives Abbild des Zufallsexperiments ist, welches gerade an Dornröschen durchgeführt wird und nach dessen Ausgang sie gefragt wird.

Nein, ich habe kein anderes Zufallsexperiment modelliert, sondern genau das Zufallsexperiment, das Dornröschen erlebt: Ein Münzwurf, der für alle Teilnehmenden zufällig ist, und der Wochentag, der für Dornröschen ebenfalls ein Zufallsexperiment ist.

Von den vier aus diesen zwei Zufallsexperimenten resultierenden, gleich wahrscheinlichen Ergebnissen wird eins eliminiert, und zwar eines der beiden für Kopf, weil Dornröschen dann gar nicht befragt wird. Die drei anderen bleiben aber gleich wahrscheinlich.

Du modellierst den Wochentag hingegen nicht als Zufallsexperiment (womit du so tust, als wäre eine Befragung für Dornröschen dasselbe wie zwei). Ist er aber - für Dornröschen. Du modellierst so, als würde ein zufälliger amnesischer Danebensteher befragt, der nicht weiß, ab Dornröschen gerade wach ist oder nicht. Der könnte auch am Dienstag nach Kopf befragt werden, für ihn wäre kein Ergebnis eliminiert, und es bliebe bei 2/4=1/2.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Was im wesentlichen daran liegt, dass Du versuchst den zweiten Schritt vor dem ersten zu machen.

Nö. Bei der objektiven Beschreibung des Ablaufs sind wir uns ja völlig einig. Uneinig sind wir uns erst beim zweiten Schritt darüber, wie die unterschiedliche Zahl der Befragungen für Dornröschens Perspektive und damit ihre Informationen zu werten ist.

Übrigens wäre auch die Reihenfolge der beiden Zufallsexperimente (Münze, Wochentag) egal. Man könnte auch Dornröschen auf jeden Fall zweimal wecken, dann erst die Münze werfen und nachträglich (statt vorher durch Nicht-Aufwecken) die zweite Befragung im Falle "Kopf" eliminieren, indem man sie einfach nicht mitzählt. Das Ergebnis wäre genauso 1/3 - natürlich nur, wenn Dornröschen auch diese Regel genau kennt, daher weiß, dass ein Kopf-Ergebnis eliminiert wird, und das Wissen in ihre Antwort einbezieht, dass sie sich in dieser vielleicht ungültigen Befragung befinden könnte.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Dein Modell ist damit nicht zwangsläufig falsch, jedoch in Bezug auf die eigentlichen Fragestellung invalide. Und das lässt sich auch empirisch zeigen:

Wäre Dornröschens Wahrscheinlichkeit für Zahl beim Erwachen nämlich tatsächlich auf 2/3 angestiegen, dann müsste sie bei einer Tipstrategie auf Zahl auch dann häufiger gewinnen, falls im Verlauf des Experiments nur ihr letzter Tip gewertet wird.

Nix empirisch, das ist wieder eine Veränderung des Experiments. Wenn ich dich recht verstehe, würde nun ja im Falle "Kopf" die Montagsbefragung gewertet, im Falle "Zahl" die Dienstagsbefragung, während die Montagsbefragung nach "Zahl" zwar stattfindet, aber nicht gewertet wird. Damit würde nun auch ein "Zahl"-Ergebnis eliminiert, und wenn Dornröschen diese Regel auch kennt, müsste sie nun wieder diese berücksichtigen und 1/2 sagen.

-------------------------------------------------

Es kommt mE wirklich nur darauf an:

- Es gibt aus Dornröschens Perspektive zwei Zufallsexperimente mit je 2 Ergebnisse; das ergibt 4 kombinierte, gleich wahrscheinliche Zufallsergebnisse.

- Von diesen Ergebnissen wird ein Teil auf die eine oder andere Weise nach einer vom Münzwurf abhängigen Regel eliminiert, sei es dadurch, dass man Dornröschen nicht befragt, sei es dadurch, dass man eine Befragung nicht wertet. Das verändert die Wahrscheinlichkeit, welches Münzwurfergebnis der gewerteten Befragung, also dem kombinierten Ergebnis, zugrundeliegt; und deswegen auch Dornröschens Antwort, sofern sie die Eliminationsregeln kennt.
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Beitrag(#2195614) Verfasst am: 21.11.2019, 06:56    Titel: Antworten mit Zitat

Das Problem ist bis heute nicht gelöst und ist auch nur dann zu lösen, wenn man die Fragestellung präziser fasst, so dass keine verschiedenen Interpretationen mehr möglich sind. Dazu braucht es eine präzisere Fomulierung, nicht nur eine präzise Sprache. Das sehe ich vorab als Aufgabe an, und das haben schon einige so erkannt.

Aber wie auch immer, solche Rätsel kosten viel Zeit, so ähnlich wie Schach. Ich weiß nicht, ob sich das lohnt ...-
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Beitrag(#2195620) Verfasst am: 21.11.2019, 09:35    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Dass Dein Modell 1/3 vorhersagt, wenn Du es mit „wach“ fütterst, steht damit übrigens nicht in Widerspruch, sondern liegt einfach nur daran, dass Du ein anderes Zufallsexperiment modelliert hast.

Tja, das sagen tillich und ich über dein Modell auch.

Stimmt ja auch.

Tillichs Zufallsexperiment:
Nach dem Münzwurf findet eine Befragung entweder am Montag oder am Dienstag oder gar nicht statt.

Originalexperiment („mein Modell“):
Abhängig vom Ausgang des Münzwurfs findet entweder nur am Montag oder am Montag und am Dienstag eine Befragung statt.
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Zuletzt bearbeitet von Babyface am 21.11.2019, 15:58, insgesamt 4-mal bearbeitet
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Beitrag(#2195625) Verfasst am: 21.11.2019, 10:14    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Der erste Schritt zur Modellierung von Perspektive ist also ein vollständiges betrachterunabhängiges Modell aller objektiv feststellbaren Eigenschaften des Gegenstands auf dessen Grundlage dann Perspektiveinnahme erst möglich wird.

"Betrachterunabhängig" ist wissenschaftlich bestimmt sehr oft ganz fein, aber dann nicht, wenn ausdrücklich nach der betrachterabhängigen Perspektive gefragt wird. Dann ist Betrachterunabhängigkeit in Bezug auf die Fragestelung schlicht falsch. Und das ist hier der Fall.

Da machst Du es Dir etwas zu einfach. Mein Punkt war ja gerade der, dass diese betrachterabhängige Perspektive genauso auch in der Wissenschaft existiert. Daraus habe ich versucht, eine allgemeine Definition für betrachterabhängige Perspektive abzuleiten:

Betrachterabhängige Perspektive auf einen Sachverhalt= Wissensstand des Betrachters bezüglich der Ausprägung aller relevanten Parameter eines betrachterunabhängigen Modells dieses Sachverhalts.

Diese Definition ist operationalisierbar und lässt sich leicht auf Fragestellungen im Rahmen von Zufallsexperimenten anwenden. Ist sie zutreffend, ist die Thirder-Antwort falsch. Fühle Dich also aufgefordert sie zu widerlegen. Ansonsten drehen wir uns nur weiter im Kreis. Bislang behauptest Du nur dass sie falsch sei und man stattdessen ein anderes Konzept brauche, ohne dieses jedoch zu formulieren und zu begründen.

Zitat:

Nix empirisch, das ist wieder eine Veränderung des Experiments. Wenn ich dich recht verstehe, würde nun ja im Falle "Kopf" die Montagsbefragung gewertet, im Falle "Zahl" die Dienstagsbefragung, während die Montagsbefragung nach "Zahl" zwar stattfindet, aber nicht gewertet wird. Damit würde nun auch ein "Zahl"-Ergebnis eliminiert, und wenn Dornröschen diese Regel auch kennt, müsste sie nun wieder diese berücksichtigen und 1/2 sagen.

Ja, Du hast Recht verstanden. Aber wie darf ich als gerade erwecktes Thirder-Dornröschen bitte Deine Antwort verstehen? „Ich weiß zwar, dass die Wahrscheinlichkeit dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist aus meiner Sicht in diesem Moment 2/3 beträgt, weil ich durch das Erwachen eine neue Information bekommen habe. Ich soll aber trotzdem annehmen dass sie nur 1/2 beträgt weil mein Gewinn für einen richtigen Tip nur einmal ausgeschüttet wird?“ Das erschiene mir doch reichlich irrational. zwinkern
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Beitrag(#2195688) Verfasst am: 21.11.2019, 20:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ich möchte meine Modellierung von Perspektive in Zufallsexperimenten nochmal anhand von zwei Beispielen verdeutlichen.

Bsp1) Das Würfelbecherexperiment von weiter oben

Ablauf: Es wird mit einem normalen Würfel gewürfelt und nicht aufgedeckt. Bei 1, 2, und 3 Augen leuchtet der Becher grün, bei 4, 5 und 6 Augen rot.

Vollständiges betrachterunabhängiges (objektives) Modell des Zufallsexperiments:

P(rot)=P(grün)=1/2; P(rot und grün)=0 (disjunkt)
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6; alle paarweise disjunkt

P(grün/1)=P(grün/2)=P(grün/3)=1
P(grün/4)=P(grün/5)=P(grün/6)=0
P(rot/1)=P(rot/2)=P(rot/3)=0
P(rot/4)=P(rot/5)=P(rot/6)=1

P(1/grün)=P(2/grün)=P(3/grün)=1/3
P(1/rot)=P(2/rot)=P(3/rot)=0
P(4/rot)=P(5/rot)=P(6/rot)=1/3
P(4/grün)=P(5/grün)=P(6/grün)=0

Das Modell ist ein 6x2-Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils 6 bzw. 2 möglichen Ausprägungen und insgesamt 6 möglichen Ergebnissen (Kombinationen):

Augenzahl (1,2,3,4,5,6)
Farbe (rot,grün)

Es ist vollständig und kann als Grundlage genutzt werden um unterschiedliche Perspektiven im Hinblick auf eine bestimmte Fragestellung zu beschreiben, z.b.:

Fragestellung: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 6 gefallen ist, wenn der Becher rot leuchtet?

Perspektive A) Normalsehender
Variable Augenzahl: Ausprägung unbekannt
Variable Farbe: Ausprägung bekannt (rot)
Anwendung der Information auf das Modell: P(6/rot)=1/3

Perspektive B) Farbenblinder
Variable Augenzahl: Ausprägung unbekannt
Variable Farbe: Ausprägung unbekannt
Anwendung auf das Modell: P(6)=1/6


Bsp 2) Münzwurfexperiment

Ablauf: Es wird eine faire Münze verdeckt geworfen. Anschließend wird einer Person die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für Kopf gestellt. Fällt die Münze auf Kopf wird die Frage der Person nur einmal am Mo gestellt (1), fällt sie auf Zahl, wird sie der Person zweimal am Mo und am Di gestellt (2).

Vollständiges betrachterunabhängiges (objektives) Modell:

P(Z)=P(K)=1/2; P(Z und K)=0 (disjunkt)
P(1)=P(2)=1/2; P(1 und 2)=0 (disjunkt)

P(1/K)=1
P(1/Z)=0
P(2/K)=0
P(2/Z)=1

P(K/1)=1
P(K/2)=0
P(Z/1)=0
P(Z/2)=1

Das Modell ist ein vollständiges 2x2 Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils zwei möglichen Ausprägungen und insgesamt zwei möglichen Ergebnissen (Kombinationen):

Münzwurf (K,Z)
Anzahl Befragungen (1,2)

Auch hier kann man das betrachterunabhängige Modell als Grundlage nehmen um nun unterschiedliche Perspektiven in Bezug auf die Fragestellung zu beschreiben:

Perspektive A) Unmanipulierte Person
Variable Münzwurf: Ausprägung zunächst unbekannt
Variable Anzahl Befragungen: Ausprägung am Di bekannt (entweder 1 oder 2)
Anwendung auf das Modell am Mo: P(K)=P(Z)=1/2
Anwendung auf das Modell am Di: P(K/1)=1 oder P(K/2)=0

Perspektive B) Manipulierte Person (Dornröschen)
Variable Münzwurf: Ausprägung unbekannt
Variable Anzahl Befragungen: Ausprägung unbekannt (aufgrund des Vergessens und des Schlafs)
Anwendung auf das Modell: P(K)=P(Z)=1/2
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Beitrag(#2195692) Verfasst am: 21.11.2019, 22:40    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Das Modell ist ein 6x2-Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils 6 bzw. 2 möglichen Ausprägungen und insgesamt 6 möglichen Ergebnissen (Kombinationen):

Ich habe Schwierigkeiten damit, die Farbe als "Variable" im Rahmen des Zufallsexperiments zu bezeichnen. Gut, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, aber die sind nicht selbst zufällig, sondern ergeben sich eindeutig aus dem Würfelergebnis. Deshalb gibt es ja auch nur 6 Kombinationen, also genau so viele wie Würfelergebnisse. Wären es zwei Zufallsereignisse, müssten es ja 12 Kombinationen sein. Es ist also gerade kein 6x2-Modell, sondern als Zufallsexperiment eigentlich nur ein 6x1-Modell.

Ich finde es sinnvoller, im Rahmen der weiter oben von mir benutzten Terminologie von "Ergebnis"="Elementarerereignis" und "Ereignis"="Menge von Ergebnissen" zu sprechen.
Dann wäre das Ereignis "grün" = Menge der Ergebnisse {1,2,3}; es werden also im Rahmen des eigentlichen Zufallsexperiments bestimmte Ergebnisse zu Ereignissen zusammengefasst. Andere mögliche Ereignisse wären "gerade Zahl"={2,4,6}, "Primzahl"={2,3,5} u.Ä.

Mit der Rechnung bin ich ansonsten natürlich einverstanden: Der Normalsehende Beobachter kann nach der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses unter der Bedingung eines Ereignisses fragen, der Farbenblinde nur nach der allgemeinen Wahrscheinlichkeit, weil er das Eriegnis nicht erkennen kann.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Bsp 2) Münzwurfexperiment

Ablauf: Es wird eine faire Münze verdeckt geworfen. Anschließend wird einer Person die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für Kopf gestellt. Fällt die Münze auf Kopf wird die Frage der Person nur einmal am Mo gestellt (1), fällt sie auf Zahl, wird sie der Person zweimal am Mo und am Di gestellt (2).

Vollständiges betrachterunabhängiges (objektives) Modell:

P(Z)=P(K)=1/2; P(Z und K)=0 (disjunkt)
P(1)=P(2)=1/2; P(1 und 2)=0 (disjunkt)

P(1/K)=1
P(1/Z)=0
P(2/K)=0
P(2/Z)=1

P(K/1)=1
P(K/2)=0
P(Z/1)=0
P(Z/2)=1

Das Modell ist ein vollständiges 2x2 Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils zwei möglichen Ausprägungen und insgesamt zwei möglichen Ergebnissen (Kombinationen):

Auch hier halte ich es nicht für sinnvoll, von zwei Variablen zu sprechen. Die Anzahl der Befragungen ergibt sich eineindeutig aus dem Münzwurf; wir haben also in deinem Modell wieder nur ein einfaches Zufallsexperiment (2x1).

Deshalb sind "K/Z" und "1/2" letztlich auch nur verschiedene Schreibweisen für dieselben Ergebnisse.
Vollständig beschrieben ist dein Modell schon mit der ersten Zeile:
Babyface hat folgendes geschrieben:
P(Z)=P(K)=1/2; P(Z und K)=0 (disjunkt)

Alles danach ist nur eine Spielerei damit, statt "K" "1" und statt "Z" "2" zu schreiben, was aber nunmal dasselbe ist.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Perspektive B) Manipulierte Person (Dornröschen)
Variable Münzwurf: Ausprägung unbekannt
Variable Anzahl Befragungen: Ausprägung unbekannt (aufgrund des Vergessens und des Schlafs)
Anwendung auf das Modell: P(K)=P(Z)=1/2

Hier lässt du außen vor, dass es aus Sicht Dornröschens ein zweites Zufallsexperiment gibt, nämlich an welchem theoretisch möglichen Zeitpunkt sie sich befindet (also Mo oder Di). Da Montag und Dienstag aber für die relevanten Ereignisse "wach"/"schlafend" zusammen mit dem Münzwurf unterschiedliche Folgen haben, ist das für die Fragestellung relevant; dein 2x1-Modell ist also für die Fragestellung nicht hinreichend.

Wenn man das berücksichtigt, hat man nun tatsächlich ein 2x2-Zufallsexperiment mit 4 Ergebnissen. Von diesen 4 Ergebnissen werden 3 zum Ereignis "wach" zusammengefasst, während 1 dem Ereignis "schlafend" entspricht und von Dornröschen aufgrund ihres Wissens "ich bin wach" ausgeschlossen werden kann. Dann kann Dornröschen sich die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis "K" unter der Bedingung "wach" ausrechnen, wie ich es inzwischen vielfach in verschiedenen Ausdrucksweisen getan habe.

Nachdem ich inzwischen gefühlt drölfzigmal mit dem zweiten Zufallsexperiment "Mo/Di" argumentiert habe und auch gezeigt habe, warum ich es für relevant halte, wäre es mMn an dir, zu begründen, warum du das außen vorlässt. MMn ist das nur zu rechtfertigen, indem man entweder annimmt, dass "Mo/Di" entgegen meiner Behauptung aus Sicht Dornröschens kein Zufallsexperiment ist (warum?), oder indem man behauptet, dass es zwar ein Zufallsexperiment, aber irrelevant sei (die Rechnung mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zeigt aber, dass es relevant ist).
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Beitrag(#2195770) Verfasst am: 22.11.2019, 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
zelig hat folgendes geschrieben:
whow... soo genau wollte ich es dann doch nicht definiert haben. : )

Psst. Unter uns.

Wie oft hast du dir das bei meinem Geschreibe auch schon gedacht? zwinkern


Nicht daß ich mich erinnern könnte. : )
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Beitrag(#2195802) Verfasst am: 22.11.2019, 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Das Modell ist ein 6x2-Modell bestehend aus zwei Variablen mit jeweils 6 bzw. 2 möglichen Ausprägungen und insgesamt 6 möglichen Ergebnissen (Kombinationen):

Ich habe Schwierigkeiten damit, die Farbe als "Variable" im Rahmen des Zufallsexperiments zu bezeichnen. Gut, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, aber die sind nicht selbst zufällig, sondern ergeben sich eindeutig aus dem Würfelergebnis.

In diesem Fall bezeichnet man die Farbe als abhängige Variable. Die Augenzahl ist die unabhängige Variable.

Zitat:
Mit der Rechnung bin ich ansonsten natürlich einverstanden:

Es geht weniger um den Rechenvorgang, sondern um das Verfahren zur Modellierung von Perspektive.

Zitat:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Perspektive B) Manipulierte Person (Dornröschen)
Variable Münzwurf: Ausprägung unbekannt
Variable Anzahl Befragungen: Ausprägung unbekannt (aufgrund des Vergessens und des Schlafs)
Anwendung auf das Modell: P(K)=P(Z)=1/2

Hier lässt du außen vor, dass es aus Sicht Dornröschens ein zweites Zufallsexperiment gibt, nämlich an welchem theoretisch möglichen Zeitpunkt sie sich befindet (also Mo oder Di).

Aus Sicht von Dornröschen weiß sie beim Aufwachen nicht ob Montag oder Dienstag ist. Diese Unsicherheit lasse ich selbstverständlich nicht außen vor. Ganz im Gegenteil schlussfolgere ich aus ihr, dass Dornröschen keine Kenntnis von der Ausprägung der einzigen Variable erlangen kann, welche ihr oder irgend einem anderen Menschen auf diesem Planeten Aufschluss über den Ausgang des Münzwurfs geben könnte, sofern er ihn nicht selbst direkt beobachtet hat. Nämlich die Anzahl der Befragungen.

Dornröschens subjektive Unsicherheit bzgl. des Wochentags kannst Du zwar als „Zufallsexperiment“ interpretieren, z.b.indem Du Dir den Ablauf so vorstellst als ob Dornröschen nach dem Münzwurf zufällig entweder nach Montag oder Dienstag teleportiert wird und dort entweder wach ist oder schläft. In dem Moment wo Du dieses als ob aber mathematisch so modellierst als entpräche es den realen Abläufen, beschreiben Deine bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht mehr Dornröschens subjektive Perspektive auf ein reales Geschehen (das Originalexperiment), sondern lediglich Dornröschens subjektive Perspektive auf Deine subjektive Interpretation bzw. Umdeutung desselben. Diese Interpretation liegt aber letztlich nur in Deiner Intuition begründet. Folglich kann man aus Deinem Modell auch nur etwas über die Beschaffenheit Deiner Intuition lernen, aber ganz sicher nichts über den tatsächlichen Ausgang des Münzwurfs schlussfolgern.

Warum Dein Modell nichts über den Ausgang des Münzwurfs aussagen kann, habe ich bereits mehrfach auf unterschiedliche Weise begründet. Ich habe es auf intuitivem Weg begründet (dementer Paläontologe, Zugfahrt), theoretisch (Uneineindeutigkeit zwischen Ereignis- und Beobachtungsraum), und zuletzt noch empirisch (Tipspiel mit einfacher Gewinnausschüttung). Keiner Deiner Einwände war für mich schlüssig und nachvollziehbar. Sie haben mir nur verdeutlicht wie schwierig es ist, fehlerhafte Intuition mit rationalen Argumenten zu korrigieren.
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