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Kubikwurzel mit Quadratwurzel berechnen?

 
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Kat
Stanislaus Katczinsky



Anmeldungsdatum: 29.04.2011
Beiträge: 489

Beitrag(#2202930) Verfasst am: 12.02.2020, 19:18    Titel: Kubikwurzel mit Quadratwurzel berechnen? Antworten mit Zitat

In meiner Kindheit (ist schon ne Weile her...) hatte mein erster Taschenrechner nur die vier Grundrechenarten und eine Taste für die Quadratwurzel *).

Damit konnte man die Quadratwurzel berechnen, oder wenn man zweimal auf die Taste drückte, natürlich auch die Wurzel aus der Wurzel, also die 4. Wurzel usw.

Ich kann mich noch erinnern, wie ich versucht habe, damit die 3. Wurzel zu berechnen.
Z.B. die Wurzel aus dem Durchschnitt der 2. und der 4. Wurzel usw.

Ich habe es aber nie geschafft.

War ich damals nur zu blöd dazu oder gibts dafür wirklich keine Lösung?

Kat

*) und einen "saldierenden Vollspeicher" und eine Klammerebene, die allerdings bei Benutzung den Vollspeicher löschte...
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 22233
Wohnort: Germering

Beitrag(#2202933) Verfasst am: 12.02.2020, 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Nee, das geht nicht ohne Logarhithmus. Aber es geht natürlich doch, nämlich analog zum Heron-Verfahren:

Für n-te Wurzel aus a berechnest Du

y1 = Schätzwert
y2 = ((n-1)*y1^n + a)/(n*y1^(n-1))
y3 = usw.

zynisches Grinsen

Wenn Du nur eine Klammer hast, mußt Du da auch noch tricksen ...
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.
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Kat
Stanislaus Katczinsky



Anmeldungsdatum: 29.04.2011
Beiträge: 489

Beitrag(#2202934) Verfasst am: 12.02.2020, 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Nee, das geht nicht ohne Logarhithmus. Aber es geht natürlich doch, nämlich analog zum Heron-Verfahren:

Für n-te Wurzel aus a berechnest Du

y1 = Schätzwert
y2 = ((n-1)*y1^n + a)/(n*y1^(n-1))
y3 = usw.

zynisches Grinsen

Wenn Du nur eine Klammer hast, mußt Du da auch noch tricksen ...


Danke, da bin ich ja beruhigt, dass ich damals keinen Lösungsweg übersehen habe.

Irgendwie hat mich das Ganze wohl geprägt, denn im Laufe der Jahre haben sich hier einige wissenschaftliche Taschenrechner angesammelt, die meisten sogar programmierbar. Ich glaube, ich habe inzwischen mehr Taschenrechner als Unterhosen...

Mist, gerade mal nachgezählt: ich habe doch mehr als 8 Unterhosen...

Kat
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alois
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Anmeldungsdatum: 11.06.2017
Beiträge: 100
Wohnort: Regensburg

Beitrag(#2202949) Verfasst am: 12.02.2020, 22:30    Titel: Antworten mit Zitat

Dritte Wurzel aus a ist dasselbe wie a^(1/3)

1/3 ist 0.010101... im Dualsystem

Also 1/3 = 1/4 + 1/(4*4) + 1/(4*4*4) + ...

Wegen a^(b+c) = (a^b)*(a^c) und a^(b*c) = (a^b)^c
ergibt sich folgender Algorithmus:

Bilde x = vierte Wurzel aus a
Setze Ergebnis = x

Bilde x = vierte Wurzel aus x
Setze Ergebnis = Ergebnis*x

Bilde x = vierte Wurzel aus x
Setze Ergebnis = Ergebnis*x

usw.

So ginge es jedenfalls mathematisch. Ob das Verfahren auch
numerisch brauchbar ist (Rundungsfehler...), weiss ich nicht.
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 22233
Wohnort: Germering

Beitrag(#2202984) Verfasst am: 13.02.2020, 10:59    Titel: Antworten mit Zitat

alois hat folgendes geschrieben:
Ob das Verfahren auch numerisch brauchbar ist (Rundungsfehler...), weiss ich nicht.

Es ist numerisch sehr schlecht: Pro Schritt kommst Du ~ log(1/4) Dezimalstellen näher ran, das sind 0.6. Zudem hast Du noch den Nachteil, daß mehr Arbeistsschritte erforderlich sind, da Wurzelziehen schlimmer ist als Mutliplizieren/Dividieren.

Bei meinem Verfahren hast Du bei jedem Schritt ungefähr eine Verdopplung (!) der Genauigkeit, z.B. bei 3.Wurzel aus 2 hast Du nach 5 Schritten 12 Stellen Genauigkeit.
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step
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Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 22233
Wohnort: Germering

Beitrag(#2203147) Verfasst am: 14.02.2020, 14:55    Titel: Antworten mit Zitat

Und hier ist noch ne coole Näherungsformel für die 3-te Wurzel aus a, wenn man nur eine normale Wurzel auf dem TR hat und keine Iterationen will:

K/2 + sqrt ((4a-K³)/12K)

wobei K ein geratener Wert für die 3-te Wurzel ist.

Z.B. für die 3-te Wurzel aus 30 und Schätzwert K=3 erhält man das Ergebnis in einem Schritt auf 5 Stellen (!) genau.
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Kat
Stanislaus Katczinsky



Anmeldungsdatum: 29.04.2011
Beiträge: 489

Beitrag(#2203249) Verfasst am: 15.02.2020, 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Und hier ist noch ne coole Näherungsformel für die 3-te Wurzel aus a, wenn man nur eine normale Wurzel auf dem TR hat und keine Iterationen will:

K/2 + sqrt ((4a-K³)/12K)

wobei K ein geratener Wert für die 3-te Wurzel ist.

Z.B. für die 3-te Wurzel aus 30 und Schätzwert K=3 erhält man das Ergebnis in einem Schritt auf 5 Stellen (!) genau.


Danke erstmal - darf ich fragen, wie Du da drauf gekommen bist?
Nein, keine komplette Herleitung, nur ein paar Stichwörter

Kat
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step
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Beiträge: 22233
Wohnort: Germering

Beitrag(#2203269) Verfasst am: 15.02.2020, 13:01    Titel: Antworten mit Zitat

Kat hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
... K/2 + sqrt ((4a-K³)/12K) ...
Danke erstmal - darf ich fragen, wie Du da drauf gekommen bist? Nein, keine komplette Herleitung, nur ein paar Stichwörter

Hatte im (Physik-)Studium mehrere Numerikkurse und wußte noch, daß es eine solche Näherungsformel gibt bzw. ist mir wieder eingefallen, als ich Deine Frage gelesen habe. Früher mußten Ingenieure sowas lernen bzw. in Formelsammlungen nachschauen, heute ist es glaube ich eher ein Nischenthema. Die genaue Formel habe ich allerdings dann im Netz gesucht.

Der Heron-Ansatz dagegen hatte ich parat, weil er (unter dem Namen "Newton-Verfahren") zu den absoluten Standardverfahren in Mathematik und Physik gehört.

Die Herleitung der Näherungsformel ist mir nicht bekannt. Ich könnte mir vorstellen, daß sie die statt einer iterativ linearen Approximation (Heron, Newton) eine quadratische Approximation (also eine "Steigungsparabel" statt einer Steigungsgerade) und dafür nur einen Schritt verwendet.
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VanHanegem
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Beitrag(#2203272) Verfasst am: 15.02.2020, 13:15    Titel: Antworten mit Zitat

Der Erfinder hat letztlich nichts anderes getan, als die Gleichung
(nroot3(a)-K)^3=0
nach nroot3(a) aufzulösen, und zwar mit den Teilschritten
- Ausmultiplizieren (binomischer Lehrsatz)
- quadratischen Ausdruck abspalten
- Quadratwurzel ziehen
Genaugenommen wurde nur teilweise aufgelöst, da ein a ja noch unter der Quadratwurzel stehen bleibt. Daher dann die Iteration.
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VanHanegem
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Beitrag(#2203276) Verfasst am: 15.02.2020, 13:23    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
heute ist es glaube ich eher ein Nischenthema.

z.B. wenn du wurzeln auf einem Billig Prozessor rechnen willst, der keine eigene Gleitkokmma Arithmetik drauf hat.
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step
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Beitrag(#2203292) Verfasst am: 15.02.2020, 15:09    Titel: Antworten mit Zitat

VanHanegem hat folgendes geschrieben:
Der Erfinder hat letztlich nichts anderes getan, als die Gleichung
(nroot3(a)-K)^3=0
nach nroot3(a) aufzulösen, und zwar mit den Teilschritten
- Ausmultiplizieren (binomischer Lehrsatz)
- quadratischen Ausdruck abspalten
- Quadratwurzel ziehen

Hmm ... ja, hört sich vernünftig an und ist wohl äquivalent zu der Parabelnäherung.

Das ist übrigens nicht nur Theorie, bis in die 80-er wurde nach numerischen Methoden gesucht für Systeme, die schnell Quadratwurzeln ziehen können und so schneller konvergieren als Newton, also so wie Kats Taschenrechner:

Computing cube roots when a fast square root is available
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0898122182900414/pdf?md5=1f7060826e9694b3cd0d690a574cfa45&pid=1-s2.0-0898122182900414-main.pdf
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VanHanegem
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Beiträge: 1684

Beitrag(#2203557) Verfasst am: 17.02.2020, 11:32    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Ich könnte mir vorstellen, daß sie die statt einer iterativ linearen Approximation (Heron, Newton) eine quadratische Approximation (also eine "Steigungsparabel" statt einer Steigungsgerade) und dafür nur einen Schritt verwendet.

Deine Formel kann man auch iterierend wiederholen
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