Hyperbel

[Wolf]

Ist es möglich die Gleichung einer Hyperbel erster Hauptlage durch zwei bekannte Tagenten zu errechnen? Das einzige was vom Berührungspunkt bekannt ist, ist das ein Kreis ebenfalls die Hyperbell indiesem Punkt tangiert und der Mittelpunkt des Kreises auf der y-Achse liegt.
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Trish:(

[matthias]

Ja, es geht.

Die Gleichung der Hyperbel lautet x²/a² - y²/b² = 1. Gesucht sind die Parameter a und b. (Die Betrachtung eines Kreises ist hier übrigens nicht vonnöten.)
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Die erste Tangente genüge der Gleichung y = m1x + n1. Der Berührpunkt (x1,y1) von Tangente und Hyperbel erfüllt beide Funktionsgleichungen:

(1) x1²/a² - y1²/b² = 1

(2) y1 = m1x1 + n1

Außerdem stimmen Geraden- und Hyperbelsteigung in diesem Punkt überein, da es sich bei der Geraden um eine Tangente handelt. Implizites Differenzieren* der Hyperbelgleichung nach x führt auf

2x/a² - 2yy'/b² = 0,

wobei für die Ableitung von y² nach x die Kettenregel benutzt wurde. Im Punkt (x1,y1) hat die Ableitung y' gerade den Wert m1, nämlich genau die Steigung der Geraden. Wir erhalten also

(3) x1/a² - y1m1/b² = 0.

Analog ergeben sich für die zweite Tangente y = m2x + n2 mit dem Berührpunkt (x2,y2) folgende Gleichungen:

(4) x2²/a² - y2²/b² = 1

(5) y2 = m2x2 + n2

(6) x2/a² - y2m2/b² = 0

Das sind sechs Gleichungen mit sechs Unbekannten x1, y1, x2, y2, a, b. Gegeben sind die Parameter m1, n1, m2, n2.
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Mit Hilfe von Mathematica habe ich folgende Lösungen für a² und b² erhalten:

a² = (n1² - n2²)/(m1² - m2²)

b² = (m2²n1² - m1²n2²)/(m1² - m2²)


Ich hoffe, daß Du mit dieser Lösung halbwegs etwas anfangen kannst.



* Beim impliziten Differenzieren spart man sich das Auflösen einer Gleichung nach y (was oftmals schwierig oder gar unmöglich ist). Jeder Term wird nach den gewöhnlichen Ableitungsregeln abgeleitet, wobei nur zu beachten ist, daß y eine Funktion von x ist, also y = f(x). Kommt y in einer Funktion g vor, wird nach der Kettenregel abgeleitet:

g(y) = g(f(x)) ==> [g(f(x)]' = g'(f(x))f'(x) = g'(y)y'

Im obigen Fall war g(y) = y².

[Wolf]

[Wolf]

Ich scheitere noch immer daran. Gibt es eine bessere Methode als einfach rum zu probieren, um 5von 6Unbekannten zu eliminieren?
Ohne Programme versteht sich.
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Trish:(

[matthias]

Also: Nach Ersetzen der Terme y1 und y2 gemäß Gleichungen (2) und (5), der Substitution A = a², B = b², Multiplizieren mit dem Hauptnenner AB und Ausmultiplizieren der Klammern erhalten wir:

(1') Bx1² - Am1²x1² - 2Am1n1x1 - An1² = AB

(3') Bx1 - Am1²x1 - Am1n1 = 0

(4') Bx2² - Am2²x2² - 2Am2n2x2 - An2² = AB

(6') Bx2 - Am2²x1 - Am2n2 = 0

Gleichung (1') kann geschrieben werden als

(Bx1 - Am1²x1 - Am1n1)x1 - Am1n1x1- An1² = AB,

und mit (3') gilt:

-Am1n1x1 - An1² = AB bzw.

-m1n1x1 - n1² = B (*), da A ≠ 0.

Aus (3') ergibt sich ferner

x1 = Am1n1/(B - Am1²), also in (*):

-m1n1Am1n1/(B - Am1²) - n1² = B bzw.

-Am1²n1² - Bn1² + Am1²n1² = -Bn1² = B² - ABm1² und damit

(1'') -n1² = B - Am1², da B ≠ 0.

Analog

(2'') -n2² = B - Am2².

(2'') - (1'') führt auf

A(m1² - m2²) = n1² - n2², also

A = (n1² - n2²)/(m1² - m2²).

m1²(2'') - m2²(1'') ergibt

B(m1² - m2²) = m2²n1² - m1²n2² und schließlich

B = (m2²n1² - m1²n2²)/(m1² - m2²).

Voilà!

[Wolf]

Hab' Dank!
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Trish:(