Wie beweist mensch Additionen?

[Sokrateer]

[AntagonisT]

[Wolf]

[Rene Hartmann]

[Wolf]

[Rene Hartmann]

[L.E.N.]

ach: und wieviel ist 2+2?
stichwort doublethink
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Ich will Gott lästern dürfen! Weg mit §166 StGB!

[Rene Hartmann]

[Wolf]

[L.E.N.]

[Wolf]

[M_Hammer_Kruse]

Hallo allerseits,

wir haben 1+1=0, wie schon gesagt, im Galoisfeld GF(2). Das ist der Körper mit zwei Elementen. Der ist bis auf Isomorphie eindeutig, und man schreibt für die beiden Elemente üblicherweise 1 und 0 und deutet damit an, daß sich die Elemente bei Multiplikation und Addition analog zu den gleichnamigen natürlichen Zahlen verhalten.

Für alle möglichen Multiplikationen der beiden Elemente ergeben sich ganz zwanglos die vier Fälle

0*0=0, 0*1=0, 1*0=0 und 1*1=1.

Also nichts aufregendes. Für die Addition gibt es ebenso vier Fälle:

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 und 1+1=0.

Fast alles normal, bis auf den letzten Fall. Das geht nicht anders, weil wir ja nur die beiden Elemente {0,1} haben. Ein Element 2 gibt es gar nicht. Außerdem muß die Addition in einem Körper eine Gruppeneigenschaft haben (Neutrales Element, Inverse Elemente, Auflösbarkeit). Daraus folgt dann automatisch 1+1=0, wenn es nur diese Elemente gibt.

Nun fragt sich der unbefangene Laie: "Was soll denn der Quatsch?" Daß das ein bißchen mehr als eine bloße Spielerei ist, zeigt sich, wenn man einmal untersucht, was geschieht, wenn wir mit geraden und ungeraden Zahlen rechnen. Ein Produkt von zwei geraden Zahlen liefert immer eine gerade Zahl, auch ein Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist stets gerade. Nur ein Produkt von zwei ungeraden Zahlen kann etwas Ungerades geben. In Formeln:

g*g=g, g*u=g, u*g=g, u*u=u.

Aha, das sieht schon mal genauso aus wie oben, nur daß hier g statt der Null steht und u statt der eins. Probieren wir das doch auch mal für die Addition:

g+g=g, g+u=u, u+g=u, u+u=g.

Oh, das ist ja auch genauso übersetzt. Wir sehen also: Gerade und ungerade Zahlen verhalten sich bei Addition und Multiplikation wie ein Galoisfeld, einschließlich des ominösen 1+1=0.

Ein anderes Beispiel?

In der Aussagenlogik gilt für die Oder-Verknüpfung von Aussagen:

wahr oder wahr = wahr, wahr oder falsch = wahr, falsch oder wahr = wahr, falsch oder falsch = falsch.

Für die Und-Verknüpfung gilt:

wahr und wahr = wahr, wahr und falsch = falsch, falsch und wahr = falsch, falsch und falsch = falsch.

Genaues Hinschauen zeigt: Das ist wieder wie oben, mit 'wahr' und 'falsch' anstelle von 0 und 1 und gleichzeitig mit 'oder' bzw. 'und' für * resp. +.

Der Mathematiker erkennt hier also dieselbe Struktur wieder; man nennt solche Strukturübereinstimmung eine "Isomorphie". Wenn man eine Isomorphie erst einmal erkannt hat, dann weiß man z. B., daß alle Aussagen über das Galoisfeld GF(2) automatisch auch analog für gerade und ungerade Zahlen gelten oder für Ausagenverknüpfungen. Man muß nur die Begriffe passend übersetzen.

Gruß, mike

[M_Hammer_Kruse]

Und noch was:

Das Thema läßt sich beliebig erweitern.

Zum Beispiel auf Körper mit mehr Elementen.

Was ist denn, wenn wir drei Elemente haben: {0,1,2}, und es soll sich wieder so ähnlich verhalten wie bei den Zahlen. Dann haben wir mit 1+1=2 kein Problem, denn die 2 gibt es ja. Aber für 1+2 müssen wir dann 0 setzen, weil wir keine drei haben. Und 2+2 können wir dann aus dem schon Bekannten ausrechnen: 2+2=(1+1)+2=1+(1+2)=1+0=1. (Der Mathematiker sagt dann, die Addition bilde eine zyklische Dreiergruppe.)

Und was ist beim Multiplizieren? Das einzige Problem bekommen wir bei 2*2. Denn alle anderen Produkte bleiben im erlaubten Rahmen.
Nun, wenn es sich um einen Körper handeln soll, dann muß die Multiplikation distributiv sein gegenüber der Addition. (Das ist eine der definitorischen Voraussetzungen an einen Körper.) Und jetzt könnne wir schon richtig in unserem Körper rechnen: 2*2=(1+1)*2=1*2+1*2=2+2 und das kennen wir schon und erhalten daher 2*2=1.

Auch nur Spielerei? Nein, hier haben wir ein isomorphes Modell für das Verhalten der Zahlen bei Addition und Multiplikation, wenn wir nur ihre Reste modulo 3 betrachten. Dabei zerfallen die Zahlen nicht wie bei gerade und ungerade in zwei Klassen, sondern in drei:
Alle Zahlen, die durch drei teilbar sind (Rest 0): {3,6,9,12,...}, alle Zahlen mit dem Rest 1: {1,4,7,10,13...} und alle mit dem Rest 2: {2,5,8,11,...}.
Die Zahlen aus diesen Restklassen verhalten sich genau wie die Elemente des GF(3).

Hübsch, nicht?

Und so kann man damit weiter spielen. Für höhere Zahlen wird es komplizierter. Bei den Resten modulo 4 bilden die Klassen keinen Körper mehr, sondern nur einen Ring, weil dort gilt 2*2=0. Die Multiplikation ist nicht Nullteilerfrei! Wir können 0 herausbekommen, wenn wir zwei Elemente multiplizieren, von denes keines selber 0 ist. Das geht bei natürlichen Zahlen nicht.

Und so weiter, und so weiter: Da kann man eine ganze Mathematik drauf aufbauen.


Noch einen ganz anderen Ansatz zum Thema 1+1=0 bekommen wir, wenn wir die "Kleinsche Vierergruppe" betrachten. Die hat die vier Elemente {0,1,2,3}, aber hier gilt 1+1=0, 2+2=0 und 3+3=0.

Diese Gruppe verhält sich z. B. genauso wie die Bewegungen, die ich mit einem Blatt Papier machen kann, wenn ich ihm nur folgendes erlaube: Ich darf es um 180° drehen, und zwar wahlweise um die Hochachse oder um die Querachse oder um eine Achse, die senkrecht durch das Papier piekst.

Und weil wir von der Untersuchung der Kleinschen Vierergruppe wissen, daß dort nicht nur die obigen Beziehungen gelten, sondern auch 1*2=3, 2*3=1 und 3*1=2 daher können wir jetzt einen Isomorphieschluß machen und voraussagen, daß das Blatt Papier sich genauso verhält:
hoch*quer=senkrecht. Wenn ich es erst um die Hochachse drehe und dann um die Querachse, dann liegt es hinterher genauso auf dem Tisch, als wenn ich gleich um die senkrechte Achse gedreht hätte.

Ausprobieren! Das ist Mathematik. Und jetzt dürfte klar sein, warum sich Mathematiker mit so merkwürdigen Dingen beschäftigen wie 1+1=0.

Gruß, mike

[Wolf]

Kleine Anm. für die anderswertig Gebildeten: Ein isomorpher Köper bezeichnet den selben Körper nur die Bezeichnung ist anders.
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Trish:(

[ralfkannenberg]