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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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 (#617219) Verfasst am: 09.12.2006, 14:44 Titel: Folgen Grenzwert Einschließungssatz |
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Gibt es irgendwelche Tips&Tricks eine kleinere Folge zufinden, welche den selben Grenzwert hat, um den Einschließungssatz zu verwenden.
Damit habe ich häufig Probleme, wenn der Grenzwert nicht gerade 1 oder 0 ist.
Kleines Beispiel:
Ich such den Grenzwert der rekursiv definierten Folgen x(1):=sqrt(2); x(n+1):=sqrt(2+x(n))
Konvergenz ist klar.
Vermutung Grenzwert ist 2.
Soweit komme ich:a(n)<x(n)<sqrt(2+2)
Bei a(n)<x(n) hänge ich.
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Trish:(
Zuletzt bearbeitet von Wolf am 10.12.2006, 19:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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Ermanameraz
auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#617657) Verfasst am: 10.12.2006, 10:56 Titel: Re: Folgen Grenzwert Einschließungssatz |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | x(1):=sqrt(2) x(n+1):=sqrt(2+x(n))
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Das sieht irgendwie seltsam aus. So könnte man für natürliche n, x(1) und x(n) sofort bestimmen (du hast es doch schon, wenn auch falsch).
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#617765) Verfasst am: 10.12.2006, 14:38 Titel: Re: Folgen Grenzwert Einschließungssatz |
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| Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | x(1):=sqrt(2) x(n+1):=sqrt(2+x(n))
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Das sieht irgendwie seltsam aus. So könnte man für natürliche n, x(1) und x(n) sofort bestimmen (du hast es doch schon, wenn auch falsch). |
Natürlich kannst du jedes Folgenglied bestimmen musst allerdings alle vorigen ausrechnen(außer x(1))
Was habe ich genau falsch gemacht?(Verwirrt meine Schreibweise? Habe am Pc keine bessere)
Konvergenz habe ich bewiesen indem ich mit Induktion zeige: x(n)<x(n+1)für alle n (kleinergleich würde es auch tun) und beweise das es nach oben beschränkt ist x(n)<2>x(n)für alle n ist x(n)=sqrt(2+x(n-1))<sqrt(2+2)für alle n. sqrt(2+2)konvengiert gegen 2 ^^, somit habe den Grenzwert schon mal nach oben beschränkt (Im Prinzip überflüssig, da ich 2 bereits als obere Schranke zeigte)
Nun suche ich eine kleinere Folge die gegen 2 konvergiert und ich bin extrem unkreativ zur Zeit.
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Trish:(
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Ermanameraz
auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#617775) Verfasst am: 10.12.2006, 15:27 Titel: |
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Missverstndis. Ich habe gelesen gehabt: x(1)=s(2)*x(n+1)  (so wären alle Glieder bis auf x1 identisch udn das Ding triv. Weise konv. Ist aber glaub ich dann eh widersprüchlich)
äh.. ja. eien echt kleinere Folge wäre z.B. 1+ a^(1/n) mit reellem a, so dass gilt 0 < a < sqrt(2) - 1
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Mario Hahna
aktiviert
Anmeldungsdatum: 04.04.2005
Beiträge: 9607
Wohnort: München
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| (#617786) Verfasst am: 10.12.2006, 15:42 Titel: |
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Hier im FGH strafbar.
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Wer nichts weiß, glaubt alles.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#617796) Verfasst am: 10.12.2006, 15:57 Titel: |
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Trish:(
Zuletzt bearbeitet von Wolf am 11.12.2006, 21:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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Deus ex Machina
registrierter User
Anmeldungsdatum: 14.03.2006
Beiträge: 789
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| (#617892) Verfasst am: 10.12.2006, 19:27 Titel: |
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Ne, das stimmt schon. lim a^(1/n) = 1 für alle a>0.
| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | x(1):=sqrt(2) x(n+1):=sqrt(2+x(n))
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Das sieht irgendwie seltsam aus. |
Was habe ich genau falsch gemacht? |
Ein Semikolon nach sqrt(2) würde die Lesbarkeit stark erhöhen  . Hab's zuerst genauso missverstanden wie Ermandings.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#617908) Verfasst am: 10.12.2006, 19:51 Titel: |
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| Deus ex Machina hat folgendes geschrieben: | | Ne, das stimmt schon. lim a^(1/n) = 1 für alle a>0. |
Ups. Hab versentlich a^n gerechnet.
Danke.
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Trish:(
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#617927) Verfasst am: 10.12.2006, 20:32 Titel: |
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Da wir ja nur ein kleiner gleich brauchen habe ich für a=sqrt(2)-1 gewählt.
Ich hänge jetzt leider am Beweis das a(n):=a^(1/n)+1 kleinergleich x(n) ist.
Ich habs mit Induktion versucht scheitere aber am anwenden der Induktionvoraussetzung 
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Trish:(
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#618421) Verfasst am: 11.12.2006, 17:51 Titel: |
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Danke nochmals für den Tip mit der nten Wurzel konnte den woanders anwenden.
Hier hab ichs dann doch lieber mit den Rechenregel für den Limes anstatt den Einschließungssatz bewiesen.
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Trish:(
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matthias
Gefährder
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 1386
Wohnort: Rechts der Böhme
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| (#618458) Verfasst am: 11.12.2006, 18:49 Titel: |
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Wolf, Du könntest einfach a(n) = 2 - 1/n nehmen. Beweis mit Induktion:
Für n = 1 gilt:
1 = 2 - 1/1 = a(1) < x(1) = sqrt(2).
Es gelte nun a(n) < x(n), also
2 - 1/n < x(n).
Dann folgt nach Addition von 2 und Wurzelziehen
sqrt(4 - 1/n) < sqrt(2 + x(n)) = x(n+1).
Zu zeigen bleibt:
2 - 1/(n+1) < sqrt(4 - 1/n).
Erlaubtes Quadrieren führt auf
4 - 4/(n+1) + 1/(n+1)² < 4 - 1/n,
was sich nach Subtraktion von 4 und Multiplikation mit n(n+1)² schreiben läßt als
n - 4n(n+1) < - (n+1)².
Nach Umordnen steht dort
n + n² + 2n + 1 < 4n² + 4n, also
1 < 3n² + n, das ist eine wahre Aussage für alle n größer gleich 1.
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2008 – Jahr der Mathematik
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#618466) Verfasst am: 11.12.2006, 19:10 Titel: |
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| matthias hat folgendes geschrieben: | | Wolf, Du könntest einfach a(n) = 2 - 1/n nehmen. |
Danke, das sieht eleganter aus als diese doofe Wurzel.
Für rekursiv definierte Folgen scheint mir es recht praktisch, die Rechenregel für den Limes zu verwenden (soviele Möglichkeiten etwas zu zeigen zu können ist schon verwirrend).
Mein Beispiel mit den Limesrechenregeln gelöst:
lim x(n) =x <=> lim sqrt(2+x(n))=x <=> lim 2 + lim x(n) = x²
<=> 2+x=x² <=>x²-x-2=0 <=>(x-2)(x+1)=0
Ergo x=2 da die Folgenglieder stets positiv sind.
_________________
Trish:(
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Ermanameraz
auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#618558) Verfasst am: 11.12.2006, 21:42 Titel: |
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| oh Mann, was passt dir an der Wurzel nicht? Ack! 0<a<1 hätte es übrigens natürlich auch getan
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
Beiträge: 16610
Wohnort: Zuhause
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| (#618561) Verfasst am: 11.12.2006, 21:45 Titel: |
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| Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | oh Mann, was passt dir an der Wurzel nicht? Ack! 0<a<1 hätte es übrigens natürlich auch getan |
Das Beweisen das sie kleiner ist war indem Fall etwas schwer. (zu schwer für mich )
Bei einer anderen Folge war der Wurzeltrick aber sehr hilfreich.
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Trish:(
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Ermanameraz
auf Wunsch deaktiviert
Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#618564) Verfasst am: 11.12.2006, 21:46 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | Missverstndis. Ich habe gelesen gehabt: x(1)=s(2)*x(n+1) (so wären alle Glieder bis auf x1 identisch udn das Ding triv. Weise konv. Ist aber glaub ich dann eh widersprüchlich) |
Da endliche Folgenglieder am Konvergenzverhalten nichts ändern, sehe ich auf die schnelle keine Widerspruch. | Zitat: |
äh.. ja. eien echt kleinere Folge wäre z.B. 1+ a^(1/n) mit reellem a, so dass gilt 0 < a < sqrt(2) - 1 |
Ja leider konvergiert die Folge aber gegen 1 und nicht 2, da 0<a<1 |
??? Du hättest halt die zwei rekursionsgleichungen
x(1)=s(2)*x(n+1) und x(n+1):=s(2+x(n))
für n=1 folgt aus Gl.2, dass x(1)=2 ist, wie man sofort sieht, dann wären alle glieder x(n+1)=2/s(2)=s(2); dann kuckst du wieder Gl. 2 und setzt n=1, dann steht da, x(1) eingesetzt, x(2)=s(2+2)=2, was im Widerspruch zu x(n+1)=s(2) stünde. SO hab ichs zuerst verstabnden gehabt.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#618566) Verfasst am: 11.12.2006, 21:48 Titel: |
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| Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | Wolf hat folgendes geschrieben: | | Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | Missverstndis. Ich habe gelesen gehabt: x(1)=s(2)*x(n+1) (so wären alle Glieder bis auf x1 identisch udn das Ding triv. Weise konv. Ist aber glaub ich dann eh widersprüchlich) |
Da endliche Folgenglieder am Konvergenzverhalten nichts ändern, sehe ich auf die schnelle keine Widerspruch. | Zitat: |
äh.. ja. eien echt kleinere Folge wäre z.B. 1+ a^(1/n) mit reellem a, so dass gilt 0 < a < sqrt(2) - 1 |
Ja leider konvergiert die Folge aber gegen 1 und nicht 2, da 0<a<1 |
??? Du hättest halt die zwei rekursionsgleichungen
x(1)=s(2)*x(n+1) und x(n+1):=s(2+x(n))
für n=1 folgt aus Gl.2, dass x(1)=2 ist, wie man sofort sieht, dann wären alle glieder x(n+1)=2/s(2)=s(2); dann kuckst du wieder Gl. 2 und setzt n=1, dann steht da, x(1) eingesetzt, x(2)=s(2+2)=2, was im Widerspruch zu x(n+1)=s(2) stünde. |
Vergiss den quote, der stammt von Schlafmangel.
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Trish:(
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Ermanameraz
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Anmeldungsdatum: 07.05.2006
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| (#618568) Verfasst am: 11.12.2006, 21:49 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Ermanameraz hat folgendes geschrieben: | | oh Mann, was passt dir an der Wurzel nicht? Ack! 0<a<1 hätte es übrigens natürlich auch getan |
Das Beweisen das sie kleiner ist war indem Fall etwas schwer. (zu schwer für mich )
Bei einer anderen Folge war der Wurzeltrick aber sehr hilfreich. |
Hast du mit Mathe angefangen? Ei, noch eine verlorene Seele 
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#618574) Verfasst am: 11.12.2006, 21:53 Titel: |
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| Ermanameraz hat folgendes geschrieben: |
Hast du mit Mathe angefangen? Ei, noch eine verlorene Seele |
Denkst du ich habe zuviel Zeit, das ich mich mit Folgen beschäftige? (Wobei Folgen mag ich  solange es sich dabei nicht um eine Reihe handelt)
Wie stehts mit dir?
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Trish:(
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Ermanameraz
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Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#618580) Verfasst am: 11.12.2006, 21:56 Titel: |
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| Wolf hat folgendes geschrieben: | | Ermanameraz hat folgendes geschrieben: |
Hast du mit Mathe angefangen? Ei, noch eine verlorene Seele |
Denkst du ich habe zuviel Zeit, das ich mich mit Folgen beschäftige? (Wobei Folgen mag ich solange es sich dabei nicht um eine Reihe handelt)
Wie stehts mit dir? |
Ich bin dem Pfad des Verderbens eine Zeit lang gefolgt und bin dann auf ein Nebengleis ausgewichen, das aber bedenklich parallel verläuft.
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Wolf
registrierter User
Anmeldungsdatum: 23.08.2004
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| (#618586) Verfasst am: 11.12.2006, 22:03 Titel: |
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| Ermanameraz hat folgendes geschrieben: |
Ich bin dem Pfad des Verderbens eine Zeit lang gefolgt und bin dann auf ein Nebengleis ausgewichen, das aber bedenklich parallel verläuft. |
Informatiker?
Ich nehme mal an du warst einfach nicht Freak genug.
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Trish:(
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Ermanameraz
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Anmeldungsdatum: 07.05.2006
Beiträge: 3932
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| (#618589) Verfasst am: 11.12.2006, 22:05 Titel: |
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| Siehe PN.
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