Vollständiges Differential

[Kival]

Hier sicherlich ein eher ungewöhnliches Thema, aber da wir hier ja einige Mathematiker und Naturwissenschaftler haben, erhoffe ich mir dennoch eine Antwort.

Am Ende der 13 sollen wir im Mathe-LK einmal andeuten, welche vielfältigen Dinge es noch gibt. Im Bereich der Differentialrechnung werde ich etwas über partielle Ableitungen und das totale Differential so wie Anwendungsbereiche davon erzählen. Komplette Herleitungen werd ich mir wie immer sparen müssen, aber ein paar Anwendungsaufgaben sollen die Mitschüler schon machen.

Was würdet ihr als Anwendungen vorschlagen, die man einem 13er Mathe-LK zumuten kann, zu lösen? Bei partiellen Ableitung, Nabla-Operator o.ä. weiß ich selber etwas, aber beim Totalen Differential wüsste ich bisher nur Thermodynamik und das erscheint mir dann doch zu kompliziert zu sein.

Falls hier auch noch jemand Anwendungsmöglichkeiten für diese Themengruppe kennt, die nicht physikalischer Natur sind, und die man einem LK zumuten kann, hätte ich da auch nichts gegen.

Am besten wäre es sicherlich, wenn ihr noch Links dazu hättet, aber Stichwörter würden mir schon reichen, dann finde ich schon etwas.

Danke schon einmal, ich such auch mal selber weiter.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[step]

Aus meinem Studium ist mir außer der Thermodyamik und noch komplizierteren Vektorfeldtheorien nur eine wirklich einfache, dafür aber universale und nicht nur für Physiker, sondern für jeden Wissenschaftler wichtige Anwendung des totalen Differenzials:

Die Fehlerrechnung.

Also wenn Du eine Funktion (einen Meßwert) y von a und b hast, und Du kennst a mit Genauigkeit da und b mit db, dann kannst Du den Gesamtfehler dy mit Hilfe des t.D. berechnen. Für typische Gesetze der Form y = c · a^n · b^m zum Beispiel ergibt sich

dy/y = n*da/a + m*db/b
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.

[Kival]

Danke, das ist eine sehr gute Möglichkeit - das kann ich sogar schon, aber ich bin gar nicht auf die Idee gekommen, dass das auch ein totales Differential ist. (Ja, klar Vektorfelder sind dann mindestens eine Spur zu heftig)

EDIT: Konnte man nicht auch die Fehlerfortpflanzung analog berechnen? (Oder ist das sogar genau die gleiche Rechnung? Wenn ich morgen zu Hause bin, schau ich mir das noch einmal an)

EDIT 2: Diese Rechnung galt aber nur bei Messwerten, die ein Produkt einzelner Meßwerte sind, oder? Additiv brauchte man aber auch partielle Ableitungen (wenn man es "genau" machen will). Danke nochmal, mit dem Stichpunkt find ich dazu auch, was ich gebrauchen kann.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[step]

Das totale Differenzial gilt immer, auch wenn es kein Produkt von Potenzen ist. Nur das einfache Beispiel von mir gilt dann natürlich nicht mehr.

Und ja, gerade das ist die Fehlerfortpflanzung.

Ach ja: Voraussetzung für die Gültigkeit ist natürlich wie bei allen Differenzialen, daß die Abweichungen dx/x klein sind.
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.

[Latenight]

Partielle Ableitungen brauchst du auch überall, wo du Funktionen mit mehr als einem Parameter optimieren willst.
Praktisches Beispiel ist das Rasch-Modell, das für die PISA Studie benutzt wird. Anhand dieses Modells wird der Einfluss von Personenfähigkeit und Aufgabenschwierigkeit auf die Lösungswahrscheinlichkeit einer Aufgabe modelliert.
Jetzt hast du eine Gleichung, in der zwei unbekannte sind und einen Haufen Testergebnisse. Die Frage ist nun, welche beiden Zahlen setze ich für die Unbekannten in die Gleichung ein, damit das mit der Gleichung vorhergesagte Ergebnis möglichst oft mit den tatsächlichen Ergebnissen übereinstimmt?
Im Fachjargon heißt das Verfahren Maximum-Likelihoodschätzung. Und bei dem Verfahren stößt du dann auf partielle Ableitungen. Hier der Link zu einem Einführungsbuch von Hans Irtel zur Testtheorie in der psychologischen Diagnostik. Ab Seite 46 findest du dann Informationen über das Raschmodell und die Verfahren zur Parameterschätzung.
Ist nicht einfach zu lesen, aber unter dem Thema kann sich jeder was vorstellen.

[Alchemist]

[Kival]

@latenight

Trotz sonst ziemlich gravierender inhaltlicher Differenzen - danke

@step

Hab die Sache wieder gefunden, damals habe ich das noch als "nur partielle Ableitungen" interpretiert - jetzt ist mir aber klar, dass die Fehlerfortpflanzung in jedem Fall mit dem totalen Differential berechnet werden kann.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Latenight]

Gern geschehen.

Bezüglich der "gravierenden" inhaltlichen Differenzen wäre ich mir übrigens nicht so sicher.

Falls du dich auf den Papst-Thread beziehst, dort ist meine Differenz zu den erklärten Naturalisten eigentlich nur das meiner Meinung nach unnötig elitäre Gehabe (wir sind schlau, die anderen blöd).

[Kival]

Da hätte ich noch einmal eine Frage...

Das Totale Differential lässt sich ja auch als Skalarprodukt von Gradient und Dualvektor schreiben. Aber was ist dieser ominöse Dualvektor?
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Yamato]

[Yamato]

[Holger]

[Kival]

Danke Holger, das kann ich ja zumindest noch zusätzlich erwähnen. Drankommen wird es aber nicht.
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"A basic literacy in statistics will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write." (angeblich H. G. Wells)

[Kival]

Danke für eure Hilfe: Unter anderem wegen des Referats habe ich 15 Punkte mündlich bekommen. Sollte ja nicht schaden. Vor allem die Fehlerfortpflanzungsgeschichte hat der Lehrerin gefallen (Danke @step).
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[step]

Gern geschehen, früher oder später mußte das Studium ja mal zu etwas nützlich sein.
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