Zeilenrang gleich Spaltenrang

[Wolf]

Ich habe meine Schwierigkeiten mit dem Beweis dieses Satzes.
Ich versuche zuzeigen, dass das Streichen von redundanten[=linear überflüssiger] Spalten den Zeilenrang nicht ändert. Leider bleibt es stets beim Versuch.
Der winzige Rest des Beweises gelingt mir.
Zwar gibt es im Internet Beweise zu hauf, aber entweder funktionieren sie scheinbar noch umständlicher oder ich verstehe exakt den Punkt mit dem Streichen nicht.

Jänich gibt in seinem Buch an das Zeilenrang gleich Spaltenrang aus Korallar aus dem "Rangsatz"[A,B aus (n,m,K) A äquivalent zu B<=> rgA=rgB// A äquivalent zu B<=> A=CBD; C aus GL(n,K); D aus GL(m,K) bzw. Jänich gibt es mit einem kommutativen Diagramm an, sollte aber aufs selbe hinauslaufen ]
Leider überlässt er diese Folgerung als Übung für den Leser.
Ich habe keine Schimmer woher er die Folgerung nimmt, da A äquivalent zu A^t ja nur für quadratische Matrizen gelten kann oder etwa nicht?

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Trish:(

[Argáiþ]

Du musst einfach zeigen, dass in einer Matrix Spaltenrang und Zeilenrang stets gleich sind? Der ändert sich durch elementare Umformungen nicht. Der Rang, bzw die Dimension des Spaltenraums zB enstpricht doch der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren. Wenn du redundante Spaltenvektoren streichst, ändert sich die Dimension nicht, das muss wegen der Äquivalenz von Zeilen- und Spaltenrang dann auch für den Zeilenrang gelten. Gausserfahren würde ich sagen.

[Argáiþ]

Satz 5.3

http://www.mi.informatik.uni-frankfurt.de/teaching/lecture_notes/schnorr.lineareAlgebra.pdf

[Wolf]

[Wolf]

[Argáiþ]

Die Permutationsmatrix soll einfach eine beliebige komponentenweise Umordung der Zeilen-, bzw Spaltenvektoren darstellen. (Permutation=Vertauschung). Ich kann deinen Beweisansatz gerade nicht zu was Sinnvollem führen, sorry. Ich bin in Algebra zu lange nicht mehr drin. Vielleicht später.

[step]

Versuchs mal mit diesem Beweis, der ist einfacher:

http://www.grundstudium.info/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode81.php
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Was ist der Sinn des Lebens? - Keiner, aber Leere ist Fülle für den, der sie sieht.

[Wolf]

[Mario Hahna]

Mein Beileid.
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Wer nichts weiß, glaubt alles.

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