Zitat: |
Exposing Beauty to repeated experiments ... highlights the fact that T coin toss outcomes are overrepresented among awakenings, i.e. in the population of awakening outcomes, in spite of occurring with the same probability as H coin toss outcomes. |
Zitat: |
I Heads coin toss
Beauty may want to obtain a probability for a Heads outcome of the coin toss at the beginning of the experiment she is currently in. ... she will obtain probability 1/2. This perspective is equivalent to perspective II below. II Heads awakening, "in experiment" perspective If Beauty’s focus is on a probability for the current awakening being a Heads awakening, i.e. a probability for the current experiment having produced a Heads awakening, she ... will obtain P(H|Aday) = 1/2 ... III Heads awakening, "outcome population" perspective If Beauty wants to obtain a probability for the current awakening being a Heads awakening, viewing it as part of the population of awakenings, she can decide to ignore the experimental setup and to be guided by the composition of the population of awakenings created by a series of experiments. ... Thus, P(H|Aday) = 1/(n + 1) is obtained (1/3 for n = 2, thirders’ perspective). |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
... oder Dornröschen wird bei "Zahl" nicht zweimal, sondern 99mal (gegenüber einmal) aufgeweckt. Ist es nicht sofort einleuchtend, dass "Zahl" aus der Perspektive Dornröschens viel wahrscheinlicher ist? |
step hat folgendes geschrieben: |
Interessant ist auch, sich ein Experiment ohne Menschen vorzustellen - das Aufwecken ohne Erinnerung ist ja leicht von einem Programm zu simulieren, ebenso der Münzwurf.
Hab noch dieses hier gefunden: https://towardsdatascience.com/the-sleeping-beauty-problem-a-data-scientists-perspective-56223b5128e4 Einfacher zu lesen als das PDF und der letzte Absatz ist der Versuch, die Gesamtlösung zusammenzufassen. |
Zitat: |
“The probability that the coin landed heads in the course of this experiment is given by the value p. But if I were to guess that the coin landed heads right this instance, I would be correct with the smaller probability p/(2 - p).” |
step hat folgendes geschrieben: |
Interessant ist auch, sich ein Experiment ohne Menschen vorzustellen - das Aufwecken ohne Erinnerung ist ja leicht von einem Programm zu simulieren, ebenso der Münzwurf. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Ich konstruiere mal ein anderes Problem: ... Ist das nicht mathematisch das gleiche Problem? |
step hat folgendes geschrieben: |
Position III kann man auch so beschreiben, daß Dornröschen beim Wecken lieber nicht "Zahl" tippen sollte, weils sie sonst wegen der vielen Weckungen sehr oft falsch liegen würde. Soweit ich mich erinnere, führt auch Bostrom das so an. Dagegen würde ich persönlich einwenden, daß es am besten wäre, Dornröschen würde beim Wecken mal Kopf, mal Zahl tippen, was letztlich wieder auf II hinausläuft. Da sie sich an nichts erinnert, könnte sie würfeln. |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Ich verstehe immer noch nicht ganz die Drittelteilung.
Der Münzwurf an sich ist 1/2, das ist sicherlich unbestritten. In der Hälfte der Fälle wird sie also entweder M oder D befragt. Auch wenn es 99 mal ist, wäre es aber nur in der Hälfte der Fälle. Also ist doch die Wahl, wann sie erweckt wird nur eine Subkategorie unter den beiden ursprünglichen Hälften? Man könnte sich ja vorstellen das Experiment wird 100 mal wiederholt. Dann wäre sie in ca 50 Fällen nur ein mal geweckt worden. Die 50 anderen Fälle teilen sich dann Montag und Dienstag. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Dornröschen dagegen kann sich ja nicht erinnern, ob sie schon einmal geweckt wurde; vorauswissen, ob sie noch einmal geweckt wird, sowieso nicht; auch den Tag kennt sie nicht. Sie könnte eigentlich auf zwei Sachen raten: a) Ist es Montag oder Dienstag? b) Ergab der Münzwurf Kopf oder Zahl? Beides hätte im Prinzip die Wahrscheinlichkeit 1/2, wenn Dornröschen - anders als im Gedankenspiel - grundsätzlich zweimal geweckt würde. Dann gäbe es vier kombinierte Ergebnismöglichkeiten, auf die sie raten könnte, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/4: A: Montag/Kopf B: Montag/Zahl C: Dienstag/Kopf D: Dienstag/Zahl Nun wird sie aber im Falle "Zahl" nun mal am Dienstag nicht geweckt. Das heißt umgekehrt: Sie weiß, dass von den vorher gegebenen vier theoretischen Möglichkeiten A,B,C,D nur A,B,C zutreffen können, D hingegen durch die Information "Ich bin geweckt worden" ausgeschlossen ist. A,B,C haben aber immer noch untereinander die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1/3. Bei den drei Ergebnissen gibt es nun eines, das "Zahl" beinhaltet (--> Wahrscheinlichkeit für "Zahl" ein Drittel), aber zwei, die "Kopf" beinhalten (--> Wahrscheinlichkeit für "Kopf" zwei Drittel). |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Aber da habe ich 2 Probleme:
Dornröschen ist doch nicht nur ein schönes Kind, sondern auch ein kluges. Sie kennt die Versuchsanordnung, sollte also den Blickwinkel der von außen beobachtenden einnehmen können und zum selben Schluss kommen, wie die Beobachter. |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Zum Ausschließen der Möglichkeit D in deinem Beispiel oben:
Die Zusatzbedingung, also das Ausschließen einer von 4 Möglichkeiten ändert doch nichts daran, dass die Wahrscheinlichkeit VORHER 1/4 für jeden dieser Fälle war und natürlicherweise 1/2 für den Münzwurf. Warum sollte sich das Viertel der wegfallenden Lösung auf die anderen gleich verteilen? Warum wandert das nicht komplett zu dem Viertel, das übrig bleibt von der 1/2 des Münzwurfs? Denn unbestreitbar für alle beobachtenden oder involvierten Personen hat ein Münzwurf stattgefunden mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Das weiß auch das kluge Dornröschen. |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Ich versuch mal das anders auszudrücken:
Angenommen ich habe 4 Äpfel, zwei rote und zwei grüne, jeweils in einem Beutel. In jedem Beutel ist ein kleiner und ein großer. Von vornherein ist klar: der kleine rote Apfel ist faul. Jetzt gibt es einen Münzwurf, der entscheidet, ob ich einen der roten oder einen der grünen Äpfel bekomme. Der faule kleine rote Apfel wird nach dem Münzwurf entfernt. Auch das wurde mir gesagt. Ich habe also zwei Beutel vor mir und der Münzwurf hatte sich für einen der Beutel "entschieden". Ich soll jetzt beurteilen mit welcher Wahrscheinlichkeit einen der drei Äpfel bekomme, wenn ich einen raus hole. |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Ich verstehe immer noch nicht ganz die Drittelteilung. |
Code: |
switch IrgendeineZahl
wenn IrgendeineZahl > 0 drucke "1" wenn IrgendeineZahl > 1 drucke "2" wenn IrgendeineZahl > 2 drucke "3" wenn IrgendeineZahl > 3 drucke "4" |
Code: |
switch Münzwurf
wenn Kopf oder Zahl dann aufwecken. wenn Zahl dann aufwecken. |
Code: |
switch Münzwurf
wenn Kopf dann aufwecken. wenn Zahl dann aufwecken. wenn Zahl dann aufwecken. |
deirfloo hat folgendes geschrieben: |
Man könnte sich ja vorstellen das Experiment wird 100 mal wiederholt.
Dann wäre sie in ca 50 Fällen nur ein mal geweckt worden. Die 50 anderen Fälle teilen sich dann Montag und Dienstag. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Aber vielleicht fehlen mir die Stellen, an denen ich nicht mehr mitgekommen bin. Vielleicht bin ich hier ein DK-Opfer. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Dunning-Kruger-Verschwörungstheorie: Oder wollen die Mathematiker uns da dummschwätzen und ihre Wissenschaft als schwieriger erscheinen lassen, als sie ist, indem sie hier eine plausible andere Argumentation behaupten ...? |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Gefragt ist ja aber nur das zweite, nicht das erste. In den darauf folgenden Spezifikationen, unter welchen Umständen bzw. welchen Konsequenzen der Antwort welche Antwort besser wäre, wird mE teilweise der Ablauf verändert. |
smallie hat folgendes geschrieben: |
Übermäßiger Jargon ist vielen Disziplinen ein Problem. Der Formalisierungsgrad der Mathematik macht die Sache nicht einfacher. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Aber was ist denn nun das Argument der "Halfer" gegen diese Art der Argumentation? Kannst du mir da verständlich erklären? |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Inzwischen denke ich, dass die ganze Verwirrung nur einen einzigen Grund hat: Es wird nicht erkannt, dass die Beobachtung, dass Kopf gefallen ist ein anderes Ereignis ist als das Ereignis, dass Kopf gefallen ist. Gefragt wird Dornröschen jedoch nach der Wahrscheinlichkeit für letzteres und die ist sowohl nach Bayesianischem als auch nach frequentistischen Ansatz 1/2. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Versteht man unter „jetzt“ den Zeitpunkt des Aufwachens als Element der Population aller Erwachungszeitpunkte über alle Experimente, dann ist die Antwort 1/3
Versteht man unter „jetzt“ hingegen den gesamten Befragungszeitraum zwischen zwei Experimenten, dann 1/2. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Anders wäre der Fall wenn die Frage wäre, mit welcher Wahrscheinlichkeit Dornröschen jetzt die Beobachtung machen würde, dass die Münze auf Kopf gefallen ist. |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Aber, @ babyface: Ich verstehe nicht, was die Unterscheidung der Ereignisse "es fällt Kopf" und "es wird beobachtet, dass Kopf fällt" in diesem Fall bedeuten soll. |
Zitat: |
Jetzt, liebe "Halfer", erklärt mir bitte, warum in Bezug auf den Informationsgehalt und damit die subjektive Wahrscheinlichkeit für "Kopf" von Möglichkeit 2 in Variante C irgendetwas anders sein sollte als in Variante A und B. |
Zitat: | ||
Mir kommt immer mehr der Verdacht, dass bei allen "Halfer"-Argumentationen irgendwo unter der Hand eine Veränderung in Fragestellung oder Ablauf eingeschmuggelt wird, die dann für das andere Ergebnis sorgt. Z.B. hier:
"Jetzt" ist doch im Problem für mich als Laien ganz eindeutig zu verstehen als eben der Zeitpunkt der Befragung, was denn sonst? Das zu verstehen als den gesamten Befragungszeitraum wäre m.E. eine willkürliche Veränderung der Frage. Gründe: a) Wenn "jetzt" der gesamte Befragungszeitraum wäre, würde man auf einmal, abhängig vom Münzwurf, nur im Wortlaut gleiche, inhaltlich aber unterschiedliche Fragen stellen. Dann hätte "jetzt" nämlich im Falle "Kopf" die Bedeutung "Montag" (Dienstag wird ja eben nicht gefragt), im Falle "Zahl" aber die Bedeutung "Montag und Dienstag". Nach meinem Verständnis soll die Frage aber doch eindeutig sein, nämlich so: b) In der Frage wird doch eindeutig nach der subjektiven Wahrscheinlichkeit gefragt. "Subjektiv" ist aber für Dornröschen nun einmal nicht der Befragungszeitraum, sondern - dank Amnesiemittel - ausschließlich die aktuelle Befragung. Den gesamten Befragungszeitraum in Betracht zu ziehen entspricht damit nicht der Situation und der Frage. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dazu ersetzen wir den Münzwürf durch das blinde Einsteigen in einen von zwei Zügen und die Wochentage durch Haltestellen. Es gelten ansonsten dieselben Regeln des Vergessens. Beide Züge fahren dieselbe Strecke zu Dornröschens Arbeitsort. Einer der Züge ist ein schneller Zug, der nur einen Zwischenhalt macht. Der andere ist ein Bummelzug der an jedem der insgesamt zehn Bahnhöfe hält. Mit dem schnellen Zug kommt Dornröschen pünktlich zur Arbeit, mit dem Bummelzug verspätet sie sich. An jedem Zwischenhalt wird Dornröschen erweckt gefragt wie wahrscheinlich es ist, dass sie jetzt im Bummelzug sitzt und zu spät zur Arbeit kommen wird. Sie kann dabei nicht sehen an welchem Bahnhof der Zug gerade steht.
Was würdest Du an Dornröschens Stelle nun antworten? Nach der Argumentation eines Thirders müsste sie nämlich schließen, dass sie jetzt mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit im Bummelzug sitzt, sich verspäten wird und den Arbeitgeber verständigen sollte. Das ist aber offensichtlich abstrus. Aber es kommt noch besser! Denn dass sie schließen wird, dass sie sehr wahrscheinlich im Bummelzug sitzt und en Arbeitgeber informieren sollte, kann sie schon sicher vorhersagen noch bevor sie in einen der beiden Züge eingestiegen ist. Also sollte sie noch bevor sie in einen der beiden Züge einsteigt den Arbeitgeber verständigen, dass sie sich ziemlich sicher verspäten wird? Noch abtruser, aber eben konsequent aus der Sicht eines Thirders. Ich denke es wird klar, dass Dornröschen besser beraten ist das „jetzt“ in de Frage sinnvollerweise auf die aktuelle Zugfahrt zu beziehen und damit auf den gesamten möglichen Befragungszeitraum. Und das wird sie auch intuitiv tun. |
step hat folgendes geschrieben: | ||
Sehr schöne Erklärung meiner Ansicht nach. Selbst wenn ihr ein Thirder immer noch nicht zustimmen sollte, kann man daran vermutlich die Unterschiede in der Sichtweise herausarbeiten. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
... und an jeder Haltestelle ein Selfie macht. Am Ende der Woche betrachtet sie nochmal alle Selfies ... |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dazu ersetzen wir den Münzwürf durch das blinde Einsteigen in einen von zwei Zügen und die Wochentage durch Haltestellen. Es gelten ansonsten dieselben Regeln des Vergessens. Beide Züge fahren dieselbe Strecke zu Dornröschens Arbeitsort. Einer der Züge ist ein schneller Zug, der nur einen Zwischenhalt macht. Der andere ist ein Bummelzug der an jedem der insgesamt zehn Bahnhöfe hält. Mit dem schnellen Zug kommt Dornröschen pünktlich zur Arbeit, mit dem Bummelzug verspätet sie sich. An jedem Zwischenhalt wird Dornröschen erweckt gefragt wie wahrscheinlich es ist, dass sie jetzt im Bummelzug sitzt und zu spät zur Arbeit kommen wird. Sie kann dabei nicht sehen an welchem Bahnhof der Zug gerade steht.
Was würdest Du an Dornröschens Stelle nun antworten? Nach der Argumentation eines Thirders müsste sie nämlich schließen, dass sie jetzt mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit im Bummelzug sitzt, sich verspäten wird und den Arbeitgeber verständigen sollte. Das ist aber offensichtlich abstrus. Aber es kommt noch besser! Denn dass sie schließen wird, dass sie sehr wahrscheinlich im Bummelzug sitzt und en Arbeitgeber informieren sollte, kann sie schon sicher vorhersagen noch bevor sie in einen der beiden Züge eingestiegen ist. Also sollte sie noch bevor sie in einen der beiden Züge einsteigt den Arbeitgeber verständigen, dass sie sich ziemlich sicher verspäten wird? Noch abtruser, aber eben konsequent aus der Sicht eines Thirders. Ich denke es wird klar, dass Dornröschen besser beraten ist das „jetzt“ in de Frage sinnvollerweise auf die aktuelle Zugfahrt zu beziehen und damit auf den gesamten möglichen Befragungszeitraum. Und das wird sie auch intuitiv tun. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dazu kann man sich z.b. vorstellen, dass Dornröschen an jedem Arbeitstag blind in einen der Züge einsteigt und an jeder Haltestelle ein Selfie macht. Am Ende der Woche betrachtet sie nochmal alle Selfies und stellt sich bei jedem einzelnen Bild die Frage wie wahrscheinlich es ist, dass sie auf dem Bild jetzt gerade im Bummelzug sitzt. Die Antwort wäre "sehr hoch" und entspricht der Thirderperspektive. |
Babyface hat folgendes geschrieben: | ||
Nicht „dass Kopf fällt“, sondern „dass Kopf gefallen ist“. Das ist ein kleiner aber feiner Unterschied. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Ein Paläontologe versucht ja anhand von Beobachtungen in der Gegenwart Rückschlüsse auf Ereignisse in der Vergangenheit zu ziehen. Etwa wenn es darum geht die zahlenmäßige Häufigkeit bestimmter ausgestorbener Tierarten aus der Häufigkeit entsprechender Knochenfunde in der Gegenwart zu schätzen. Jetzt stellen wir uns mal einen dementen Paläontologen vor, der gerne vergisst an welcher Stelle er bereits fündig wurde und an derselben Stelle denselben Knochen erneut entdeckt. Der wird am Ende mehr Knochen finden als diesen tatsächlich verstorbene Exemplare gegenüberstehen und die Populationsgröße folglich überschätzen. Der Rückschluss aus den Beobachtungsdaten der Gegenwart auf Verhältnisse in der Vergangenheit misslingt unter diesen Umständen also gründlich. |
Zitat: |
Various sources tried to justify the correctness of their camp using betting or gambling; however, this brings along specifications, depending on which events trigger which outcomes. For example, if Beauty wants to be correct often (e.g. because of a per-awakening reward), she should pick T all the time; this is a setting for which the thirders’ answer (under the “outcome population” perspective, see Section 4) would suit her needs. Mutalik (2016a) emphasized that proponents of all camps agreed on correct solutions, as soon as such concretizations were added to the problem. We will therefore not consider the betting approach.
http://www1.beuth-hochschule.de/FB_II/reports/Report-2019-002.pdf |
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben: |
Außerdem hast du mit dem Anruf beim Chef eine Konsequenz eingeführt, die im Originalproblem nicht vorhanden war und den gedanklichen Aufbau verändert. ... Diese Anforderung hat dann außerdem noch eine absurde Konsequenz: Würde Dornröschen sich entscheiden, im Falle der Unsicherheit vorsichtshalber den Chef anzurufen, würde sie auf jeden Fall zu oft anrufen |
step hat folgendes geschrieben: | ||
Sehr schöne Erklärung meiner Ansicht nach. |
step hat folgendes geschrieben: |
Selbst wenn ihr ein Thirder immer noch nicht zustimmen sollte, kann man daran vermutlich die Unterschiede in der Sichtweise herausarbeiten. |
smallie hat folgendes geschrieben: |
Das Problem ist sprachlich-psychologischer Natur. |
smallie hat folgendes geschrieben: |
Wieso löst das Dornröschenproblem bei euch zwei andere Vorstellungen aus als bei tillich und mir? |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Wenn sie schlau ist, tut sie aber genau das nicht. Denn im Gegensatz zum Pläontologen weiß Dornröschen, dass sie unter Demenz leidet und kann diese Information nutzen und ihre Einschätzung für das Ereignis „Kopf ist gefallen“ von 1/3 auf ½ korrigieren. Denn sie weiß ja, dass sie zwei hypothetische gegenwärtige Zahl-Beobachtungen nur einem Münzwürf in der Vergangenheit zuordnen darf. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Neu kann eine Information nur sein, wenn sie vorher unbekannt war. Dass Dornröschen erwacht, ist keine neue Information, denn dass sie erwachen würde, war ihr schon klar noch bevor sie am Sonntag sanft entschlummerte. Oder mathematisch: Das Erwachen ist ein sicheres Ereignis mit einer a priori Wahrscheinlichkeit von 1. Sein Eintreten ist völlig unabhängig vom Ausgang des Münzwürfs und folglich können wir durch sein Eintreten auch nichts neues über den Ausgang des Münzwurfs lernen. Mit anderen Worten: Dass ihre Antwort „1/3“ lauten muss wenn sie Deiner Argumentation folgt, weiß sie schon vor Beginn des Experiments sicher. In den anderen beiden Varianten muss sie dagegen erst die Erweckung abwarten.
Denn bis zu ihrem Eintreten unsicher und damit bei ihrem Eintreten neue Information wären für Dornröschen die Ereignisse „Erweckung und Schokolade“ und „Erweckung und nicht befragt werden“. Sie sind abhängig vom Ausgang des Münzwürfs und dementsprechend kann Dornröschen auch etwas neues über seinen Ausgang lernen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Dass Dornröschen erwacht, ist keine neue Information, denn dass sie erwachen würde, war ihr schon klar noch bevor sie am Sonntag sanft entschlummerte. Oder mathematisch: Das Erwachen ist ein sicheres Ereignis mit einer a priori Wahrscheinlichkeit von 1. Sein Eintreten ist völlig unabhängig vom Ausgang des Münzwürfs und folglich können wir durch sein Eintreten auch nichts neues über den Ausgang des Münzwurfs lernen. |
Babyface hat folgendes geschrieben: |
Die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf/Zahl gefallen ist, kann sich aber auch ohne logischen Ausschluss einer der beiden Alternativen im Verlauf eines Experiments ändern. Beispielsweise wenn das Experiment so ablaufen würde, dass man bei Kopf mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% geweckt wird und bei Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% (es gibt in dem Fall nur einen Erweckungstag). Da vor Beginn des Experiments nicht feststeht, ob überhaupt eine Erweckung stattfindet wäre eine Erweckung dann tatsächlich eine neue Information, welche nicht nur die Wahrscheinlichkeit einer Kopf-Beobachtung erhöhen würde, sondern auch die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf gefallen. |
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