Lineare Abbildungen und Matrizen

[Wolf]

Mir hat sich bisher noch nicht der Sinn hinter der zu einer linearen Abbildung zugehörigen Matrix bezüglich nicht-kanonischer Basen erschlossen.
Kann man mit der irgendwas anfangen?
(Mein Verdacht war ja das ich Koordinatenvektor einwerfe, und Koordinatenvektoren rausbekomme. Habe das mal ausprobiert und habe auch fast ein richtiges Ergebnis erzielt, also stimmts entweder nicht oder ich kann nicht rechnen.)
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Trish:(

[Yamato]

Es gilt einfach f(x)=A*x. Wobei * das Matrixprodukt und x bzw. f(x) Vektoren bzgl. der neuen Basen sind. Der einzige Grund, andere Basen als die Standardbasis zu verwenden, ist wohl, dass man die zugehörige Matrix damit auf eine einfache Form (z.B. die Jordan-Normalform) bringen kann.

[Argáiþ]

Es kann doch zB sein, dass für irgendeine technische Anwendung nur nichtkanonische Koordinaten gegeben sind, da kann es viele Gründe geben, warum es nötig sein könnte, die zugehörige Matrix zu ermitteln. In der Physik taucht das auf jeden Fall auf und ich glaube in der Codierungstheorie.

[Yamato]

Ja, in der Physik gibt es manchmal die Möglichkeit das Koordinatensystem günstig zu wählen (das ist ja dann ein Basiswechsel), so dass z.B. die Matrix zu einer Dreiecks- oder Diagonalmatrix wird. Dadurch kann man dann die Determinante und die Eigenwerte leichter berechnen.

[Wolf]

[Wolf]

[Yamato]

[Argáiþ]

[Wolf]

[Argáiþ]

Ja, tschuldigung.

[Schlaufuchs]

Allgemein gibt es in Vektorräumen gar keine ausgezeichnete und damit kanonische Basis.
Der Raum der Endomorphismen über einem Vektorraum ist zwar isomorph zu den entsprechenden Matrizen aber nicht kanonisch isomorph. Die Auswahl einer Basis des Vektorraums bedeutet nun, dass man auch einen Isomorphismus auswählt. Mit den Basiswechselmatrizen gibt man dann das Transformationsverhalten der Isomorphisman an.

In der Quantenmechanik muss man aufpassen. Wenn man von Koordinaten spricht heißt das im allgemeinen, dass man z.B. Kugelkoordinaten oder euklidsche Koordinaten verwendet. Das sind aber keine linearen Basiswechsel eines Vektorraums. Und diese Koordinaten sind die Koordinaten des Raumes. Wenn man die linearen Operatoren der Quantenmechanik betrachtet, dann operieren die aber nicht auf dem Raum. sondern auf dem L^2. Mit anderem einem unendlich dimensionalen Raum. Die Darstellungen die man dann in der Quantenmechenik verwendet sind dann auch im allgemeinen keine Matrizen bezüglich einer Basis, da eine solche überabzählbar wäre. Oder habe ich da jetzt was falsch verstanden, was Dein Beispiel sein sollte Semnon ?

[Argáiþ]

[Argáiþ]

[Critic]

Die Projektion bei der Darstellung dreidimensionaler Objekte ist mit einem Basiswechsel verbunden. Es findet eine Transformation vom Koordinatensystem der simulierten Welt auf das Koordinatensystem statt, das den Bildschirm definiert [vgl. Computergraphik-Skript]. Hierbei können Basen durchaus nichtkanonisch sein .
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"Die Pentagon-Gang wird in der Liste der Terrorgruppen geführt"

Dann bin ich halt bekloppt.

"Wahrheit läßt sich nicht zeigen, nur erfinden." (Max Frisch)

[Argáiþ]

Ja. Schönes Beispiel. Wo kämen wir nur hin ohne Helmbarden.

[Schlaufuchs]

[Wolf]

[Wolf]

[Schlaufuchs]

Generell gilt, dass man mit dem Begriff kanonische Basis ein bisschen aufpassen muss. In allgemeinen endlichdimensionalen Vektorräumen gibt es das nicht. In den Vektorräumen K^n gibt es ein als kanonische Basis bezeichnete. Die wird durch die Konstruktion des K^n mitgeliefert.

[Wolf]

[Schlaufuchs]

[Wolf]

[Schlaufuchs]

[Wolf]

[Schlaufuchs]

[Wolf]

[Schlaufuchs]

Na nimm einfach als Basisvektoren irgendwas. Also z.B. einen Schuh, eine Hose und einen Pullover. Dann kann ich einfach formal einen Vektorraum hinschreiben, der der K^3 ist und diese Vektoren als Basisvektoren hat.
Nun gehst Du hin und sagst ich nehme (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0) als Vektoren. Was bedeutet nun aber (1,1,1) ohne den Vektorraum. Es ist nur ein Name. Natürlich kannst Du die Basisvektoren für den zu konstruierenden Vektorraum auch als Objekte eines schon bestehenden K^n wählen.
Aber das ist dann eine andere Struktur. Wenn Du die neue Struktur mit der Alten Vergleichst ,dann sind die natürlich unterschiedlich, aber und jetzt kommt der Punkt in diesem Falle kanonisch isomorph.

[Wolf]

[Argáiþ]

[Wolf]