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Dornröschenproblem
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2194533) Verfasst am: 09.11.2019, 11:45    Titel: Antworten mit Zitat

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Zur Zugfahrt
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tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

Ich finde die Umsetzung nicht so gelungen, weil sie sehr unintuitiv ist und es mMn daher viel schwieriger macht, sie gedanklich nachzuvollziehen, als das Originalproblem.

Einerseits ist es in der Eisenbahnsituation ganz schwierig, sich die Uneindeutigkeit der Situation vorzustellen. Aus dem Alltagsleben könnten wir Bummelzug und Schnellzug bzw. die jeweiligen Halte problemlos und idR innerhalb von Sekunden unterscheiden: Die Züge sehen völlig anders aus, es gibt vor dem Einstieg und im Hinzug Hinweise in welchem Zug wir sind, die Bahnhöfe sehen anders aus, die Fahrgäste haben anderes Gepäck etcetc.
Du hast für also das Gedankenexperiment eine Alltagssituation gewählt, die dann aber so modifiziert ist, dass sie unserem Alltagserleben 100%ig widerspricht.

Das gleiche gilt für die Voraussetzung der Amnesie: Dass eine Amnesie stattfindet, die uns daran hindert, uns an ein voriges Erwachen zu erinnern, können wir uns intuitiv sowieso nicht gut vorstellen. Im Originalproblem wird dem aber dadurch abgeholfen, dass uns die Situation als Laborsituation vorgestellt wird, bei der die Amnesie medikamentös herbeigeführt wird; damit können wir unseren natürlichen Unglauben gegenüber der Situation überwinden. Demgegenüber ist dieser natürliche Unglauben in der Eisenbahnsituation noch verstärkt: Dass jemand ständig einpennt und sich beim Aufwachen nicht daran erinnert, ob er schon einmal in derselben Situation aufgewacht ist, ist für eine Zugfahrt noch schlechter vorstellbar als eh schon, weil jemand in dieser medizinischen Lage unserer Erfahrung nach zu so etwas wie Zugfahren überhaupt nicht in der Lage wäre.

Außerdem hast du mit dem Anruf beim Chef eine Konsequenz eingeführt, die im Originalproblem nicht vorhanden war und den gedanklichen Aufbau verändert. Auf einmal soll Dornröschen nicht mehr nur eine Wahrscheinlichkeit abschätzen, sondern auch darauf aufbauend eine 0-1-Entscheidung treffen. Diese Anforderung hat dann außerdem noch eine absurde Konsequenz: Würde Dornröschen sich entscheiden, im Falle der Unsicherheit vorsichtshalber den Chef anzurufen, würde sie auf jeden Fall zu oft anrufen: Im einen Fall würde sie einmal anrufen, obwohl sie gar nicht zu spät kommt, im anderen Fall (x-1) überflüssige Anrufe tätigen. Sich angemessen entschuldigen könnte sie also gar nicht. Diese im Originalproblem nicht gefragte Konsequenz drängt sich dann gedanklich vor die originale Frage nach der Wahrscheinlichkeit.

Mit dieser Umsituierung hast du also mE maximalen Aufwand betrieben, um unsere Intuition in die Irre zu führen. Wenn ich versuche, all das wieder los zu werden, bleibe ich aber bei meiner Thirder-Antwort. Dornröschen müsste mMn antworten: "Weil ich gefragt werde, sitze ich wahrscheinlich im Bummelzug." Weil sie sich nämlich die Alternative - die sie nicht bewusst erleben würde, wenn sie der Fall wäre - vergegenwärtigen kann (die wir intuitiv, Dornröschens Bewusstsein folgend, vernachlässigen): "Wenn ich im Schnellzug sitzen würde, würde ich an diesem Ort mit großer Wahrscheinlichkeit nicht gefragt."

Hmm, habe ich nun maximalen Aufwand betrieben um Dich von Deiner ursprünglichen Intuition abzubringen oder hast Du gerade maximalen Aufwand betrieben um Dir Deine ursprüngliche Intuition bewahren zu können? zwinkern

Die Konsequenz des sich Verspätens ist im Originalexperiment nicht enthalten, richtig. Aber manchmal ist es hilfreich sich solche Konsequenzen hinzuzudenken. Damit lässt sich häufig gut prüfen wie ernst man das Ergebnis seiner eigenen Wahrscheinlichkeitsberechnung überhaupt nimmt.
Im übrigen gäbe es für den Thirder sehr wohl eine Möglichkeit den Chef in angemessener Form zu informieren: Er ruft den Chef nur einmal an, und zwar noch bevor er in einen der beiden Züge steigt und gibt durch, dass er sich mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit verspäten wird.


Zitat:
Das kann ich stützen mit der - danke dafür - gedanklichen Fortsetzung durch das Selfie:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Dazu kann man sich z.b. vorstellen, dass Dornröschen an jedem Arbeitstag blind in einen der Züge einsteigt und an jeder Haltestelle ein Selfie macht. Am Ende der Woche betrachtet sie nochmal alle Selfies und stellt sich bei jedem einzelnen Bild die Frage wie wahrscheinlich es ist, dass sie auf dem Bild jetzt gerade im Bummelzug sitzt. Die Antwort wäre "sehr hoch" und entspricht der Thirderperspektive.

Den Gedanken, dass das eine andere Wahrscheinlichkeit ergeben sollte, finde überhaupt nicht nachvollziehbar. Dornröschen könnte das Bild doch auch unmittelbar nach der Aufnahme betrachten. Die Wahrscheinlichkeit für das, was im Moment der Aufnahme des Bildes der Fall ist, ändert sich doch aber nicht bloß dadurch, wann sie das Bild betrachtet.

Wir können das ja auch noch eine Ebene weiterdrehen: Dornröschen macht das Bild. Im Moment der Aufnahme stellt sie sich vor, wie sie am Ende der Woche das Bild betrachtet. Weil sie all diese Überlegungen auch im Vorhinein machen kann, kommt sie zu dem Schluss, dass sie am Ende der Woche bei der Betrachtung des Bildes annehmen wird, dass sie - wie du sagst - im Moment der Aufnahme (also im für sie aktuellen Augenblick!) mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit im Bummelzug gesessen haben wird. Gleichzeitig soll sie aber, nach Halfer-Argumentation, annehmen, dass Bummelzug und Schnellzug gleich wahrscheinlich sind.
--> Sie müsste also im Vorausblick auf den Rückblick auf die für sie aktuelle Situation anders über die Wahrscheinlichkeiten der Situation denken als bei der unmittelbaren Betrachtung der Situation. Das wäre doch mathematisch induzierte Bewusstseinsspaltung.

Das erscheint Dir nur paradox, weil Du nicht zwischen dem Ereignis „Beobachtung, dass Dornröschen im Bummelzug sitzt“ und dem Ereignis „Dornröschen ist in den Bummelzug gestiegen“ unterscheidest.

Ich möchte das aber gerne nochmal etwas präziser herausarbeiten:

Wenn Dornröschen sich am Wochenende die Bilder anschaut, dann wird der Großteil der Bilder im Bummelzug entstanden sein.Wenn Dornröschen also zufällig eines der Bilder auswählt und betrachtet, dann wird sie mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit die Beobachtung einer Person machen, die im Bummelzug sitzt und im Moment der Aufnahme eine subjektive Wahrscheinlichkeit von ½ hatte, dass sie an diesem Tag in den Bummelzug gestiegen ist. An dieser Feststellung ist eigentlich nichts Paradoxes oder gar Bewusstseinsspaltendes.

Natürlich kann sich Dornröschen noch im Zug vorstellen, dass sie ihr gerade gemachtes Bild am Wochenende zufällig auswählen und betrachten wird. Aber ein rational denkendes Dornröschen wird auch hier zu keinem anderen Schluss kommen als dass sie mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit wieder nur die Beobachtung einer Person machen würde, die im Bummelzug sitzt und eine subjektive Wahrscheinlichkeit von ½ hat, dass sie in den Bummelzug gestiegen ist.

Dornröschen könnte die Zufallsauswahl am Wochenende auch ganz weglassen und sich stattdessen einfach den aktuellen Zwischenhalt als Ergebnis einer Zufallsauswahl aus allen möglichen Zwischenhalten über alle möglichen Fahrten denken. Aber auch in dem Fall könnte sie analog wie oben wiederum nur schließen, dass sie mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit die Beobachtung machen könnte, dass sie im Bummelzug sitzt, wenn sie sich den aktuellen Zwischenhalt als einen zufällig über alle Fahrten ausgewählten denkt. Ihre subjektive Wahrscheinlichkeit, dass sie heute in einen Bummelzug gestiegen ist, bleibt dennoch ½, denn ihren Chef würde sie immer noch nicht nicht anrufen.


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Zum dementen Paläontologen:
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Den Vergleich finde ich eigentlich sogar sehr schön (zumindest für den Sachverhalt den er aufzeigen soll). Man kann sich auch vorstellen dass der Paläontologe nach der Wahrscheinlichkeit fragt, dass man damals im Suchgebiet innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls einem Exemplar begegnet wäre. Diese Wahrscheinlichkeit würde der demente Paläontologe wohl deutlich überschätzen, da er mit einer höheren Wahrscheinlichkeit neue Knochenfunde im Suchgebiet melden wird als sein gesunder Kollege.

Auch dass Dornröschen während des Experiments gar keine Beobachtungen machen kann, diskreditiert den Vergleich nicht. Denn die frequentistische Wahrscheinlichkeitsberechnung funktioniert nicht nur mit tatsächlichen, sondern auch mit hypothetischen (d.h. in der Vorstellung simulierten) Beobachtungen, und diese kann Dornröschen sehr wohl machen. Etwa indem sie, wie Du selbst vorgeschlagen hast, sich bereits im Zug vorstellt, wie sie am Wochenende ihre Selfies betrachten wird und welche Beobachtungen sie dabei machen kann.


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Zur Frage was neue Informationen sind
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Zitat:
Nein. Auch in den beiden anderen Varianten muss sie das tatsächliche Eintreten des Ereignisses nicht abwarten, um die Wahrscheinlichkeiten des Münzwurfes unter der Bedingung des Ereignisses zu benennen. Sie kennt nämlich in allen Varianten vorher den Ablauf des Experiments und bekommt darüber in allen drei Varianten im Verlauf des Experiments keine neue Information. Die neuen Informationen bekommt sie nur darüber, welches mögliche Endergebnis (nicht der Münzwurf selbst) tatsächlich eingetreten ist - und zwar auch in allen drei Varianten.

Im Originalexperiment, weiß Dornröschen bereits am Sonntag ganz genau welche Antwort sie im Verlauf des Experiments beim Erwachen tatsächlich geben wird. Es ist immer 1/3. Sie weiß nur nicht wie oft sie das antworten wird. Bei Deinen anderen beiden Varianten weiß sie das vorher nicht. Sie weiß vorher nicht, ob sie im Verlauf des Experiments ihre Wahrscheinlichkeit auf 1 korrigieren wird. Auch wenn sie vorher genau sagen kann unter welchen Umständen sie das tun würde, sie weiß es nicht ob diese Umstände eintreten werden, denn das ist im Gegensatz zum Originalexperiment abhängig vom Ausgang des Münzwürfs. Und eben diese Abhängigkeit ist fundamentale Voraussetzung dafür, dass mir ein Ereignis überhaupt neue Informationen über den Ausgang des Münzwurfs liefern kann.

Zitat:
Richtig, dass sie erwacht, ist vorher klar. Was du hier aber einfach unterschlägst: Nicht klar ist, wie oft sie erwacht, bzw. ob sie auch am Dienstag erwacht oder einfach weiterschläft. Das ist genau der Unterschied, der die bedingte Wahrschienlichkeit verändert.

Ja, es ist Dornröschen (und auch sonst niemandem) vor dem Münzwurf klar wie oft sie erwachen wird, denn das ist abhängig vom Ausgang des Münzwurfs. Nur leider wird das Dornröschen auch zu keinem späteren Zeitpunkt im Verlauf des Experiments klar. Würde ihr klar werden wie oft sie erwacht, wäre das tatsächlich eine neue Information für Dornröschen mit deren Hilfe sie ausschließen könnte, dass entweder Kopf oder Zahl gefallen ist. Sie könnte (und müsste) dann ihre apriori Wahrscheinlichkeit von ½ auf 1 korrigieren, dass Zahl bzw. Kopf gefallen ist. Wird aber halt nicht passieren..
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2194544) Verfasst am: 09.11.2019, 14:56    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Außerdem hast du mit dem Anruf beim Chef eine Konsequenz eingeführt, die im Originalproblem nicht vorhanden war und den gedanklichen Aufbau verändert. ... Diese Anforderung hat dann außerdem noch eine absurde Konsequenz: Würde Dornröschen sich entscheiden, im Falle der Unsicherheit vorsichtshalber den Chef anzurufen, würde sie auf jeden Fall zu oft anrufen

Das selbe habe ich in anderen Worten auch gerade aufgeschrieben. Lachen



step hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Dazu ersetzen wir den Münzwürf durch das blinde Einsteigen in einen von zwei Zügen und die Wochentage durch Haltestellen...


Sehr schöne Erklärung meiner Ansicht nach.

Gefällt mir ebenfalls gut. Leider hat Babyface die weniger schönen Details der Geschichte ausgelassen. Pfeifen

Nehmen wir an, du, step, seist der Zugreisende. Nehmen wir weiter zwei Arten von Chefs an.
    - Der eine haßt es, unnötig wegen Zuspätkommen angerufen zu werden. "Jetzt rufst du heute schon zum zweiten Mal an und raubst mir meine Zeit. Kauf dir endlich ein Auto, sonst..."
    - Der andere freut sich bei jedem Anruf. "Ein pflicht- und umweltbewußter Mitarbeiter, leider fürchterlich zerstreut. Dem steht eine Gehaltserhöhung zu."

Beim zweiten Chef empfiehlt sich eine Drittler-Strategie. Beim ersten eine Halbler.


step hat folgendes geschrieben:
Selbst wenn ihr ein Thirder immer noch nicht zustimmen sollte, kann man daran vermutlich die Unterschiede in der Sichtweise herausarbeiten.

Beide Sichten sind mathematisch richtig, ja trivial. Als Lösungsvorschlag: gebt mir eine konkrete Aufgabenstellung, dann sage ich, ob ich Halbierer bin oder Drittler.

Das Problem ist sprachlich-psychologischer Natur. Wieso löst das Dornröschenproblem bei euch zwei andere Vorstellungen aus als bei tillich und mir?

Ich war auch einmal der Ansicht, dass die Frage nicht ausreichend definiert sei. Und ich hatte dafür dieselben Argumente wie Du: Gebt mir eine konkrete Aufgabenstellung und dann sage ich welche Perspektive ich einnehme. Das war aber falsch gedacht und das Gambling-Szenario veranschaulicht das ziemlich gut.

Im Gambling Szenario soll man bei jedem Aufwachen einen Tipp abgeben, wie die Münze gefallen ist und würde für jede richtige Antwort mit einem Euro belohnt. Der Punkt ist: Ob jemand nun die Halfer oder Thirdler-Perspektive einnimmt, lässt sich gar nicht an seinem Antwortverhalten erkennen, sondern daran wie derjenige sein Antwortverhalten begründet. Sowohl Halfer als auch Thirdler würden nämlich die Strategie wählen, immer Zahl zu tippen. Sie würden das aber unterschiedlich begründen:

Der Halfer begründet dies wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, ist 1/2. Aber wenn ich Zahl sage und richtig liege, dann bekomme ich zwei Euro, da ich in dem Fall zweimal gefragt werden. Also sage ich Zahl.

Der Thirdler begründet es aber so: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, hat sich auf 2/3 erhöht, weil ich durch mein Erwachen eine neue Information über den Ausgang des Münzwurfs erhalten habe. Also sage ich Zahl.

Die Begründung des Halfers kann ich rational nachvollziehen, die des Thirdlers finde ich völlig irrational.
Aber immerhin macht er den Versuch einer Begründung (kannst Du ja ausführlich bei tillich nachlesen).

Wie ist das nun mit mit der Zugfahrt und dem Chef? Auch in dem Fall würden sich Halfer und Thirdler ähnlich verhalten. Sie würden den Chef nicht anrufen.

Der Halfer begründet das damit, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er im Bummelzug sitzt stets 1/2 ist und er damit noch gute Chancen hat pünktlich zur Arbeit zu erscheinen. Das ist für mich rational nachvollziehbar. Gut, ob die Chancen "gut" sind kann man auch anders bewerten, aber die Begründung bleibt wahrscheinlichkeitstheoretisch nachvollziehbar.

Hingegen habe noch keine gute wahrscheinlichkeitstheoretische Begründung gehört, warum ein Thirdler den Chef nicht anrufen sollte, außer dass der Chef vielleicht nicht gestört werden möchte. Sorry, aber Lachen
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smallie
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Anmeldungsdatum: 02.04.2010
Beiträge: 3304

Beitrag(#2194553) Verfasst am: 09.11.2019, 15:51    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich war auch einmal der Ansicht, dass die Frage nicht ausreichend definiert sei. Und ich hatte dafür dieselben Argumente wie Du: Gebt mir eine konkrete Aufgabenstellung und dann sage ich welche Perspektive ich einnehme. Das war aber falsch gedacht und das Gambling-Szenario veranschaulicht das ziemlich gut.

Im Gambling Szenario soll man bei jedem Aufwachen einen Tipp abgeben, wie die Münze gefallen ist und würde für jede richtige Antwort mit einem Euro belohnt. Der Punkt ist: Ob jemand nun die Halfer oder Thirdler-Perspektive einnimmt, lässt sich gar nicht an seinem Antwortverhalten erkennen, sondern daran wie derjenige sein Antwortverhalten begründet. Sowohl Halfer als auch Thirdler würden nämlich die Strategie wählen, immer Zahl zu tippen. Sie würden das aber unterschiedlich begründen:

Der Halfer begründet dies wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, ist 1/2. Aber wenn ich Zahl sage und richtig liege, dann bekomme ich zwei Euro, da ich in dem Fall zweimal gefragt werden. Also sage ich Zahl.

Der Thirdler begründet es aber so: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, hat sich auf 2/3 erhöht, weil ich durch mein Erwachen eine neue Information über den Ausgang des Münzwurfs erhalten habe. Also sage ich Zahl.

Die Begründung des Halfers kann ich rational nachvollziehen, die des Thirdlers finde ich völlig irrational.
Aber immerhin macht er den Versuch einer Begründung (kannst Du ja ausführlich bei tillich nachlesen).

Beide Begründungen sind gleich. Beide Male sind es Drittler-Strategien.

Das habe ich schon vor ein paar Tagen aufgeschrieben, wollte euch aber nicht mit Code quälen. Im Sinne der Wahrheitsfindung muß ich jetzt doch damit herausrücken.

Ausgehend von:
smallie hat folgendes geschrieben:
Code:
switch Münzwurf
wenn Kopf dann aufwecken.
wenn Zahl dann aufwecken.
wenn Zahl dann aufwecken.

habe ich die Auszahlung dazugeschrieben, so wie ich das Dornröschenproblem verstehe.

Code:
switch Münzwurf (p 50/50)

  wenn Kopf dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 1

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 1

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 1

Die zwei "Zahl"-Pfade lassen sich zusammenfassen, weil man mit dem gleichen (1 - p) hineingeht. Dann wird 2 ausgezahlt.


Code:
switch Münzwurf (p 50/50)

  wenn Kopf dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 1

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 2          //hier zwei statt eins.


Wodurch der Aufbau auf ein Roulette-Spiel reduziert ist, bei dem bei Schwarz 1 EUR ausgezahlt wird und bei Rot 2 EUR. Auch hier würde man blind 1/3 Schwarz, 2/3 Rot spielen, um den Gewinn zu maximieren.

Die Halber-Variante sieht so aus:
Code:
switch Münzwurf
  raten
    wenn richtig, dann erhöhe Trefferzahl um 1

Ich denke, das ist es auch schon. Kein Dilemma, kein Paradox, kein Problem. Eine sperrige Fragestellung, das vielleicht schon.




EDIT: etwas orthodoxer und knapper hingeschrieben.
EDIT 2: noch mal vereinfacht. Das war ja grausam.
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Babyface
Altmeister



Anmeldungsdatum: 17.07.2003
Beiträge: 11356

Beitrag(#2194573) Verfasst am: 09.11.2019, 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich war auch einmal der Ansicht, dass die Frage nicht ausreichend definiert sei. Und ich hatte dafür dieselben Argumente wie Du: Gebt mir eine konkrete Aufgabenstellung und dann sage ich welche Perspektive ich einnehme. Das war aber falsch gedacht und das Gambling-Szenario veranschaulicht das ziemlich gut.

Im Gambling Szenario soll man bei jedem Aufwachen einen Tipp abgeben, wie die Münze gefallen ist und würde für jede richtige Antwort mit einem Euro belohnt. Der Punkt ist: Ob jemand nun die Halfer oder Thirdler-Perspektive einnimmt, lässt sich gar nicht an seinem Antwortverhalten erkennen, sondern daran wie derjenige sein Antwortverhalten begründet. Sowohl Halfer als auch Thirdler würden nämlich die Strategie wählen, immer Zahl zu tippen. Sie würden das aber unterschiedlich begründen:

Der Halfer begründet dies wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, ist 1/2. Aber wenn ich Zahl sage und richtig liege, dann bekomme ich zwei Euro, da ich in dem Fall zweimal gefragt werden. Also sage ich Zahl.

Der Thirdler begründet es aber so: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze am So auf Zahl gefallen ist, hat sich auf 2/3 erhöht, weil ich durch mein Erwachen eine neue Information über den Ausgang des Münzwurfs erhalten habe. Also sage ich Zahl.

Die Begründung des Halfers kann ich rational nachvollziehen, die des Thirdlers finde ich völlig irrational.
Aber immerhin macht er den Versuch einer Begründung (kannst Du ja ausführlich bei tillich nachlesen).

Beide Begründungen sind gleich. Beide Male sind es Drittler-Strategien.

Beide Aussagen sind falsch. zwinkern

Ich weiß ja nicht was Du unter einer Drittler-Strategie verstehst. Als ehemaliger Drittler kann ich Dir aber versichern, dass die Drittler-Strategie nicht einfach darin besteht, Ereignisbäume mit drei Ästen aufzuschreiben. Die zeichnet der Halfer nämlich genau gleich. Der Unterschied besteht vielmehr darin wie der Ereignisbaum anschließend interpretiert wird. Thirder interpretieren ihn so, dass die Wahrscheinlichkeit dass Kopf gefallen ist bei Erweckung 1/3 beträgt, bei Halfern ist sie 1/2.

Eine Thirdler-Strategie ist damit eine Entscheidungsstrategie, welche von der Prämisse ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "am So ist Kopf gefallen" bei der Erweckung 1/3 beträgt. Der Halfer geht von der Prämisse 1/2 aus. Insofern unterscheiden sich die Begründungen doch erheblich.

Zitat:
Das habe ich schon vor ein paar Tagen aufgeschrieben, wollte euch aber nicht mit Code quälen. Im Sinne der Wahrheitsfindung muß ich jetzt doch damit herausrücken.

Ausgehend von:
smallie hat folgendes geschrieben:
Code:
switch Münzwurf
wenn Kopf dann aufwecken.
wenn Zahl dann aufwecken.
wenn Zahl dann aufwecken.

habe ich die Auszahlung dazugeschrieben, so wie ich das Dornröschenproblem verstehe.

Code:
switch Münzwurf (p 50/50)

  wenn Kopf dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn Kopf gesagt, dann erhöhe Trefferzahl um 1
      wenn Zahl gesagt, dann Nullrunde

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn Kopf gesagt, dann Nullrunde
      wenn Zahl gesagt, erhöhe Trefferzahl um 1

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn Kopf gesagt, dann Nullrunde
      wenn Zahl gesagt, erhöhe Trefferzahl um 1

Die zwei "Zahl"-Pfade lassen sich zusammenfassen, weil man mit dem gleichen (1 - p) hineingeht. Dann wird 2 ausgezahlt.


Code:
switch Münzwurf (p 50/50)

  wenn Kopf dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn Kopf gesagt, dann erhöhe Trefferzahl um 1
      wenn Zahl gesagt, dann Nullrunde

  wenn Zahl dann:
    sage Kopf oder Zahl?
      wenn Kopf gesagt, dann Nullrunde
      wenn Zahl gesagt, erhöhe Trefferzahl um 2  //hier um zwei erhöhen


Wodurch der Aufbau auf ein Roulette-Spiel reduziert ist, bei dem bei Schwarz 1 EUR ausgezahlt wird und bei Rot 2 EUR. Auch hier würde man blind 1/3 Schwarz, 2/3 Rot spielen, um den Gewinn zu maximieren.


Zitat:
Die Halber-Variante sieht so aus:
Code:
switch Münzwurf
  wenn Kopf dann aufwecken und raten.
  wenn Zahl dann aufwecken und raten.


Nein, eigentlich sieht sie wie die Variante darüber aus. Ausgehend von der Prämisse, dass die Wahrscheinlichkeit für "Zahl gefallen" bei Erweckung 1/2 ist, wird der an Gewinnmaximierung interessierte rationale Halfer eben nicht raten, sondern zu der Schlussfolgerung gelangen "Zahl" zu tippen.

Zitat:
Deshalb bin ich mit tillich einer Meinung, daß der Drittler-Ansatz der bayesianische ist.

Dann stehst auch Du vor dem Problem erklären zu müssen, wie man von einem Ereignis, dessen Eintreten unabhängig vom Ergebnis des Münzwurfs ist, Rückschlüsse auf das Ergebnis des Münzwurfs ziehen kann.
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Beitrag(#2194589) Verfasst am: 09.11.2019, 20:20    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich sag nur noch mal in wenigen Sätzen, was mE das Entscheidende ist, nämlich die Information Dornröschens.

Kenntnisse Dornröschens:
a) Es gibt einen Münzwurf, Chance 1:1.
b) Es gibt zwei Tage, die für sie dank Amnesie auch den Charakter eines Zufallsexperiments haben, Chance 1:1.
c) Daraus ergeben sich ein kombiniertes Zufallsexperiment mit 4 Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
d) Diese vier Ergebnisse haben wiederum 2 Folgen, die nicht gleich wahrscheinlich sind, weil von den 4 Ergebnissen 3 dieselbe Folge haben (Wecken), Wahrscheinlichkeit 3/4, 1 eine andere (Schlafen), Wahrscheinlichkeit 1/4.

[Bis hierhin müssten wir uns alle einige sein.]

--> Mit Kenntnis der eingetretenen Folge (Wecken/Schlafen), die eine neue Information ist, kann ein Beobachter, der neben Dornröschen steht und dieselben Informationen hat, aber nicht schläft, eine bedingte Wahrscheinlichkeit sowohl für Münzwurf als auch für den Tag berechnen (1/1 zu 0 oder 1/3 zu 2/3).

[Ich glaube, auch das können noch alle nachvollziehen, weil es meinen alternativen Verläufen oben entspricht.]

Jetzt aber:
--> Dieselbe bedingte Wahrscheinlichkeit kann auch Dornröschen selbst ausrechnen. Bei zwei einander ausschließenden, alle Möglichkeiten abdeckenden Folgen ist es egal, ob sie bei beiden möglichen Folgen informiert wird oder nur bei einer: Aus Dem Eintreten der einen Folge kann sie sicher erschließen, dass die andere nicht eingetreten ist, die Informationslage ist für sie exakt gleich.

-------------------------------------------------

Leicht polemisch formuliert:
Meiner Wahrnehmung nach streiten wir uns letztlich darum, ob Dornröschen aus der Tatsache, dass sie wach ist, schließen kann, dass sie nicht schläft, und entsprechende logische Folgerungen ziehen kann.

Dass wir darüber keine Einigkeit erzielen können, lässt mich wieder ernsthaft zweifeln, ob Dunning-Kruger bei mir zuschlagen oder nicht vielleicht doch Solomon Asch.
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"YOU HAVE TO START OUT LEARNING TO BELIEVE THE LITTLE LIES." -- "So we can believe the big ones?" -- "YES."

(Death / Susan, in: Pratchett, Hogfather)
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Beitrag(#2194590) Verfasst am: 09.11.2019, 20:32    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
smallie hat folgendes geschrieben:
Deshalb bin ich mit tillich einer Meinung, daß der Drittler-Ansatz der bayesianische ist.

Dann stehst auch Du vor dem Problem erklären zu müssen, wie man von einem Ereignis, dessen Eintreten unabhängig vom Ergebnis des Münzwurfs ist, Rückschlüsse auf das Ergebnis des Münzwurfs ziehen kann.

Es ist ja nicht unabhängig. Es tritt, abhängig vom Münzwurf, entweder einmal oder zweimal ein.
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(Death / Susan, in: Pratchett, Hogfather)
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Babyface
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Beiträge: 11356

Beitrag(#2194600) Verfasst am: 09.11.2019, 22:11    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Also, ich sag nur noch mal in wenigen Sätzen, was mE das Entscheidende ist, nämlich die Information Dornröschens.

Kenntnisse Dornröschens:
a) Es gibt einen Münzwurf, Chance 1:1.
b) Es gibt zwei Tage, die für sie dank Amnesie auch den Charakter eines Zufallsexperiments haben, Chance 1:1.
c) Daraus ergeben sich ein kombiniertes Zufallsexperiment mit 4 Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
d) Diese vier Ergebnisse haben wiederum 2 Folgen, die nicht gleich wahrscheinlich sind, weil von den 4 Ergebnissen 3 dieselbe Folge haben (Wecken), Wahrscheinlichkeit 3/4, 1 eine andere (Schlafen), Wahrscheinlichkeit 1/4.

[Bis hierhin müssten wir uns alle einige sein.]

--> Mit Kenntnis der eingetretenen Folge (Wecken/Schlafen), die eine neue Information ist, kann ein Beobachter, der neben Dornröschen steht und dieselben Informationen hat, aber nicht schläft, eine bedingte Wahrscheinlichkeit sowohl für Münzwurf als auch für den Tag berechnen (1/1 zu 0 oder 1/3 zu 2/3).

Ja, kann er. Aber so wie Du das Zufallsexperiment definiert hast berechnet er eben nur die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass er beobachten kann, dass ein bestimmtes Münzwurfergebnis eingetreten ist.

Es ist strukturell dasselbe Zufallsexperiment wie mit den Selfies im Zug. Der Beobachter könnte über mehrere Experimente Fotos von Dornröschen machen, am Ende alle Fotos aussortieren die Dornröschen schlafend zeigen, den Rest in eine Urne geben und blind ein Bild ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dass er einen Zeitpunkt beobachtet als die Münze Kopf anzeigte, ist 1/3. Es wird aber immer ein Dornröschen beobachten, dessen subjektive Wahrscheinlichkeit, dass Kopf gefallen ist 1/2 betrug.


Zitat:
Leicht polemisch formuliert:
Meiner Wahrnehmung nach streiten wir uns letztlich darum, ob Dornröschen aus der Tatsache, dass sie wach ist, schließen kann, dass sie nicht schläft, und entsprechende logische Folgerungen ziehen kann.

Wenn ich noch polemischer formulieren darf: Dornröschen kann aus der Beobachtung, dass sie jetzt wach ist schließen, dass sie nicht beobachten kann dass sie jetzt schläft. Da sie aber schon vor dem Münzwurf die Beobachtung ausschließen konnte, dass sie jetzt (wann immer das auch sein würde) schläft, erhält sie durch das Erwachen auch keine neuen Informationen. Auf den Arm nehmen

Zitat:
Es ist ja nicht unabhängig. Es tritt, abhängig vom Münzwurf, entweder einmal oder zweimal ein.

Wie oft sie erwacht, erfährt Dornröschen aber nicht. Diese Information kann sie nicht nutzen. Was sie erfährt ist, dass sie erwacht, aber das wusste sie unabhängig vom Ausgang des Münzwurfs schon vorher.
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Beiträge: 18062

Beitrag(#2194606) Verfasst am: 10.11.2019, 00:51    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
--> Mit Kenntnis der eingetretenen Folge (Wecken/Schlafen), die eine neue Information ist, kann ein Beobachter, der neben Dornröschen steht und dieselben Informationen hat, aber nicht schläft, eine bedingte Wahrscheinlichkeit sowohl für Münzwurf als auch für den Tag berechnen (1/1 zu 0 oder 1/3 zu 2/3).

Ja, kann er. Aber so wie Du das Zufallsexperiment definiert hast berechnet er eben nur die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass er beobachten kann, dass ein bestimmtes Münzwurfergebnis eingetreten ist.

Tut mir Leid, ich verstehe einfach nicht, was diese "Wahrscheinlichkeit dafür, dass er beobachten kann, dass ein bestimmtes Münzwurfergebnis eingetreten ist" überhaupt sein soll.

Dieser Beobachter, der neben Dornröschen steht, kann nicht beobachten, welches Münzwurfergebnis eintritt oder auch eingetreten ist. Deswegen gibt es dafür auch keine Wahrscheinlichkeit, ob bedingt oder nicht. Er kann nur beobachten, ob Dornröschen geweckt wird oder nicht. Und daraus kann er eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen für den Münzwurf, den er nicht beobachten kann, der aber mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten zum beobachteten Ergebnis Wecken oder nicht Wecken geführt hat. Und diese bedingte Wahrscheinlichkeit gilt für den verdammten Münzwurf selbst, nicht für irgendeine nicht stattfindende Beobachtung des Münzwurfs.

Anscheinend können wir uns nicht einmal über die Bedeutung des Worts "beobachten" einigen.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Es ist strukturell dasselbe Zufallsexperiment wie mit den Selfies im Zug. Der Beobachter könnte über mehrere Experimente Fotos von Dornröschen machen, am Ende alle Fotos aussortieren die Dornröschen schlafend zeigen, den Rest in eine Urne geben und blind ein Bild ziehen.

Richtig. Und dieses systematische Aussortieren bestimmter Ergebnisse ist genau der Punkt. Weil alle Fotos aussortiert werden, die Dornröschen zum Zeitpunkt eines möglichen Aufweckens schlafend zeigen, heißt dass, dass ein Teil der Ergebnisse für "Kopf" (nämlich die Ergebnisse "Dienstag nach Kopf") aussortiert wird. Dadurch sinkt die unbedingte Wahrscheinlichkeit für "Kopf" (= 1/2) auf die bedingte Wahrscheinlichkeit für "'Kopf' unter der Bedingung 'Dornröschen wird geweckt'" (= 1/3).

Babyface hat folgendes geschrieben:
Die Wahrscheinlichkeit dass er einen Zeitpunkt beobachtet als die Münze Kopf anzeigte, ist 1/3. Es wird aber immer ein Dornröschen beobachten, dessen subjektive Wahrscheinlichkeit, dass Kopf gefallen ist 1/2 betrug.

Nein. Es werden genau dieselben möglichen Ereignisse aussortiert. Ob die Ereignisse "Dienstag nach Kopf" aussortiert werden, indem Fotos weggeworfen werden, oder indem Dornröschen nicht geweckt wird, ist doch wohl mathematisch völlig egal. Genauso, wie es mathematisch doch egal sein muss, zu welchem Zeitpunkt Dornröschen betrachtet wird, nämlich nachträglich auf Fotos oder aktuell durch Reflexion ihrer Situation.

Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Leicht polemisch formuliert:
Meiner Wahrnehmung nach streiten wir uns letztlich darum, ob Dornröschen aus der Tatsache, dass sie wach ist, schließen kann, dass sie nicht schläft, und entsprechende logische Folgerungen ziehen kann.

Wenn ich noch polemischer formulieren darf: Dornröschen kann aus der Beobachtung, dass sie jetzt wach ist schließen, dass sie nicht beobachten kann dass sie jetzt schläft. Da sie aber schon vor dem Münzwurf die Beobachtung ausschließen konnte, dass sie jetzt (wann immer das auch sein würde) schläft, erhält sie durch das Erwachen auch keine neuen Informationen. Auf den Arm nehmen

Natürlich konnte sie vor dem Experiment ausschließen, dass sie beobachten kann, dass sie schläft. Das ist aber auch völlig egal. Was nämlich vor dem Experiment nicht ausschließen konnte, ist, dass sie am Dienstag schläft.

Dass kann sie im Experiment zwar auch nicht sicher, aber immerhin bedingt ausschließen: "Es könnte sein, dass Dienstag ist. Wenn dass der Fall ist, schlafe ich offensichtlich nicht. In diesem Fall ist nicht Kopf gefallen." Warum soll das keine Information sein?

Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Es ist ja nicht unabhängig. Es tritt, abhängig vom Münzwurf, entweder einmal oder zweimal ein.

Wie oft sie erwacht, erfährt Dornröschen aber nicht. Diese Information kann sie nicht nutzen. Was sie erfährt ist, dass sie erwacht, aber das wusste sie unabhängig vom Ausgang des Münzwurfs schon vorher.

Wenn sie erfahren würde, wie oft sie aufwacht, müsste sie auch keine bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, sondern wüsste einfach Bescheid: zweimal --> Zahl, einmal --> Kopf.

Wir können drei Wahrscheinlichkeiten unterscheiden:
a) Sie weiß (außerhalb des Experiments) gar nichts, weder, wie oft sie aufgeweckt wird, noch auch nur, um welche der vier möglichen Situationen sich die Wahrscheinlichkeit dreht (die Möglichkeit Dienstag/schlafend ist noch nicht ausgeschlossen): --> unbedingte Wahrscheinlichkeit
b) Sie weiß (innerhalb des Experiments) nicht, wie oft sie geweckt wird, aber sie weiß, indem sie wach ist, dass die Situation "Schlafen am Dienstag" ausgeschlossen ist: --> bedingte Wahrscheinlichkeit
c) Sie weiß die Anzahl der Weckungen --> Sicherheit

Für b) ist es nicht egal, wie oft Dornröschen je nach Münzwurfergebnis geweckt wird. Sie weiß, den zwei möglichen Situationen "Zahl und wach" steht nur eine mögliche Situation "Kopf und wach" gegenüber, aber außerdem eine mögliche Situation "Kopf und schlafend" - die sie dank der Erfüllung der Bedingung "wach" aber ausschließen kann.
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smallie
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Beitrag(#2194649) Verfasst am: 10.11.2019, 14:47    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Ich weiß ja nicht was Du unter einer Drittler-Strategie verstehst.

Vielleicht verwende ich Drittler-Strategie tatsächlich anders. Für mich sind Drittler jene, die 1/3 und 2/3 sagen.


Babyface hat folgendes geschrieben:
Als ehemaliger Drittler kann ich Dir aber versichern, dass die Drittler-Strategie nicht einfach darin besteht, Ereignisbäume mit drei Ästen aufzuschreiben. Die zeichnet der Halfer nämlich genau gleich.

Gut, das ist ein Ausgangspunkt. Dann verstehe ich aber eins nicht: Wenn sowieso alle die gleichen Ereignisbäume aufschreiben - wo ist dann das Problem?

Außerdem: der einzig wahre Schotte - ähhmm - Drittler, bin ich. nee Mr. Green


Babyface hat folgendes geschrieben:
Der Unterschied besteht vielmehr darin wie der Ereignisbaum anschließend interpretiert wird. Thirder interpretieren ihn so, dass die Wahrscheinlichkeit dass Kopf gefallen ist bei Erweckung 1/3 beträgt, bei Halfern ist sie 1/2.

Die Wahrscheinlichkeit, daß Kopf fällt ist immer 1/2. Da gibt es nichts zu interpretieren. Nur die "Punktevergabe" ist anders. Wie die Punkte vergeben werden, ist tatsächlich Auslegungssache.



Babyface hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Die Halber-Variante sieht so aus:
Code:
switch Münzwurf
  wenn Kopf dann aufwecken und raten.
  wenn Zahl dann aufwecken und raten.


Nein, eigentlich sieht sie wie die Variante darüber aus. Ausgehend von der Prämisse, dass die Wahrscheinlichkeit für "Zahl gefallen" bei Erweckung 1/2 ist, wird der an Gewinnmaximierung interessierte rationale Halfer eben nicht raten, sondern zu der Schlussfolgerung gelangen "Zahl" zu tippen.

Check, ob wir vom selben sprechen.

Wir scheinen uns einig zu sein, wie die Entscheidungsbäume zu zeichnen sind. Der Unterschied besteht nur (?) noch darin, was wir unter Halfern und Thirdern verstehen. In meiner Nomenklatur wird ein Halfer zum Thirder, sobald sie (*) bei einer bedingten Erweckung auf Kopf:Zahl = 1/2 setzt.




(*) Ich hatte angekündigt, für eine Weile im generischen Femininum zu schreiben. Das war gerade die Premiere. Nicht daß sich jemand wundert.
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smallie
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Beitrag(#2194651) Verfasst am: 10.11.2019, 14:59    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
smallie hat folgendes geschrieben:
Deshalb bin ich mit tillich einer Meinung, daß der Drittler-Ansatz der bayesianische ist.

Dann stehst auch Du vor dem Problem erklären zu müssen, wie man von einem Ereignis, dessen Eintreten unabhängig vom Ergebnis des Münzwurfs ist, Rückschlüsse auf das Ergebnis des Münzwurfs ziehen kann.

Es ist ja nicht unabhängig. Es tritt, abhängig vom Münzwurf, entweder einmal oder zweimal ein.

Eben. Wenn Zahl dann neue Runde. Wenn Kopf dann keine neue Runde. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Bayes.

Ist aber auch wurscht, wie man das nennt. Solange Babyface die richtigen Bäume aufschreibt, lohnt es nicht mal, ihn zu einem Dornröschen-Spiel gegen mich herauszufordern, Einsatz 1 EUR pro 1 Punkt.
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Babyface
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Beitrag(#2194692) Verfasst am: 10.11.2019, 23:42    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Dass kann sie im Experiment zwar auch nicht sicher, aber immerhin bedingt ausschließen: "Es könnte sein, dass Dienstag ist. Wenn dass der Fall ist, schlafe ich offensichtlich nicht. In diesem Fall ist nicht Kopf gefallen." Warum soll das keine Information sein?

Es ist eine Information. Aber eben keine die dem Dornröschen auch nur ansatzweise etwas über den Ausgang des Münzwurfs verrät. Denn diese Information erhält sie völlig unabhängig vom Ausgang des Münzwurfs.

Keine Abhängigkeit, keine neue Info. So einfach wie wahr.

Ausführlicher nächste Woche..
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step
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Beitrag(#2194750) Verfasst am: 11.11.2019, 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.
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smallie
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Beitrag(#2194817) Verfasst am: 12.11.2019, 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Dass kann sie im Experiment zwar auch nicht sicher, aber immerhin bedingt ausschließen: "Es könnte sein, dass Dienstag ist. Wenn dass der Fall ist, schlafe ich offensichtlich nicht. In diesem Fall ist nicht Kopf gefallen." Warum soll das keine Information sein?

Es ist eine Information. Aber eben keine die dem Dornröschen auch nur ansatzweise etwas über den Ausgang des Münzwurfs verrät. Denn diese Information erhält sie völlig unabhängig vom Ausgang des Münzwurfs.

Keine Abhängigkeit, keine neue Info. So einfach wie wahr.

Keine neue Info, sehe ich auch so.


step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Den habe ich inzwischen auch gelesen. Der Artikel drückt sich manchmal etwas merkwürdig aus, gerade beim Thema neue Information. In meinem obigen Code taucht keine neue "Information" auf. Die Aufgabenstellung alleine reicht aus, um das Problem zu lösen. (Falls man sich über die Aufgabenstellung einig wird.)


step hat folgendes geschrieben:
Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Was mich wundert: hat das denn noch niemand am Rechner durchgespielt - und die Debatte damit beendet?
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Babyface
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Beitrag(#2194860) Verfasst am: 13.11.2019, 05:22    Titel: Antworten mit Zitat

step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Ich als Halfer sage auch ja. Die Möglichkeit einzubeziehen, dass sie manipuliert und schon Di sein könnte, ist hier nichts anderes als die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Zahl gefallen sein könnte, oder?
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Beitrag(#2194917) Verfasst am: 13.11.2019, 21:49    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Ich als Halfer sage auch ja. Die Möglichkeit einzubeziehen, dass sie manipuliert und schon Di sein könnte, ist hier nichts anderes als die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Zahl gefallen sein könnte, oder?

Hypothese: Angenommen, Dornröschen bekommt bei der Befragung - entgegen dem ursprünglichen Setting - den Wochentag mitgeteilt und erfährt, dass Montag ist. Was wäre dann deiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Münzwurf?
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vrolijke
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Beitrag(#2194919) Verfasst am: 13.11.2019, 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin mir nicht sicher, ob das mit dem hiesigen Problem zu tun hat.
Ich versuchs mal.
Wenn nicht; einfach ignorieren. zwinkern

Ich habe mal wo gelesen dass es mal ein Professor gab, der seine Studierenden am Anfang des Semesters in zwei Gruppen aufteilte. Die einen sollten würfeln, und die gewürfelte Zahlen aufschreiben.
Die anderen sollten "so tun alsob", und die Zahlen nach eigenem Gusto aufschreiben.
Er erkannte angeblich jedes Jahr, wer gewürfelt hatte, und wer die Zahlen einfach so aufgeschrieben hatte.
Das habe ich selber auch mal probiert mit ein paar Kollegen.
Es ist wirklich einfach. Die willkürliche Schreiber bemühen sich immer, nicht die gleichen Zahlen hintereinander zu schreiben. Was beim Würfeln durchaus öfters mal vorkommt.
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Beitrag(#2194924) Verfasst am: 14.11.2019, 06:16    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Ich als Halfer sage auch ja. Die Möglichkeit einzubeziehen, dass sie manipuliert und schon Di sein könnte, ist hier nichts anderes als die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Zahl gefallen sein könnte, oder?

Hypothese: Angenommen, Dornröschen bekommt bei der Befragung - entgegen dem ursprünglichen Setting - den Wochentag mitgeteilt und erfährt, dass Montag ist. Was wäre dann deiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Münzwurf?

1/2.
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Beitrag(#2194956) Verfasst am: 14.11.2019, 14:17    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Ich als Halfer sage auch ja. Die Möglichkeit einzubeziehen, dass sie manipuliert und schon Di sein könnte, ist hier nichts anderes als die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Zahl gefallen sein könnte, oder?

Hypothese: Angenommen, Dornröschen bekommt bei der Befragung - entgegen dem ursprünglichen Setting - den Wochentag mitgeteilt und erfährt, dass Montag ist. Was wäre dann deiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Münzwurf?

1/2.

Logisch, und da sind wir uns mal einig.

Falls sie entsprechend mitgeteilt bekommt, dass Dienstag ist: Dann kann sie sicher sein, dass nicht "Kopf" gefallen ist, oder? Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist unter dieser Bedingung 0.

Nun hat Dornröschen diese Mitteilung ja nicht bekommen, sie weiß also nicht, ob Montag oder Dienstag ist. Aber sie weiß: Im einen Fall (Montag) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, im anderen Fall (Dienstag) ist sie 0.

Wie kann nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für "Kopf" wieder 1/2 sein?
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Beitrag(#2194998) Verfasst am: 14.11.2019, 19:34    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Babyface hat folgendes geschrieben:
step hat folgendes geschrieben:
Ich drücke es mal etwas anders aus, ähnlich wie auch in dem Spektrum-Artikel:

Obwohl Dornröschen bei der Montagsweckung keine Information darüber hat, ob ihr Wissen beeinflußt wurde (Vergessen) und es daher real gesehen keine neue Info gibt, müsse sie die Möglichkeit miteinbeziehen, daß ihr Wissen beeinflußt wurde (weil ja schon Dienstag sein könnte). Die Frage ist also, ob ein rationaler Agent eine hypothetische Beeinflussung / Informationsänderung berücksichtigen muß - der Thirder sagt ja.

Ich als Halfer sage auch ja. Die Möglichkeit einzubeziehen, dass sie manipuliert und schon Di sein könnte, ist hier nichts anderes als die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass Zahl gefallen sein könnte, oder?

Hypothese: Angenommen, Dornröschen bekommt bei der Befragung - entgegen dem ursprünglichen Setting - den Wochentag mitgeteilt und erfährt, dass Montag ist. Was wäre dann deiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Münzwurf?

1/2.

Logisch, und da sind wir uns mal einig.

Falls sie entsprechend mitgeteilt bekommt, dass Dienstag ist: Dann kann sie sicher sein, dass nicht "Kopf" gefallen ist, oder? Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist unter dieser Bedingung 0.

Nun hat Dornröschen diese Mitteilung ja nicht bekommen, sie weiß also nicht, ob Montag oder Dienstag ist. Aber sie weiß: Im einen Fall (Montag) ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, im anderen Fall (Dienstag) ist sie 0.

Wie kann nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für "Kopf" wieder 1/2 sein?

Du meinst, weil die Wahrheit irgendwo dazwischen liegen müsste? Nein, das tut sie denke ich nicht.

Denn Dornröschen ist mit dem Wissen, dass heute Montag ist kein Deut schlauer als mit dem Wissen, dass heute Montag oder Dienstag ist. Über den Münzwurf erfährt sie nur etwas neues, wenn sie weiß, dass heute Dienstag ist.

Ich werde das aber noch ausführlicher begründen.
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Beitrag(#2195002) Verfasst am: 14.11.2019, 21:17    Titel: Antworten mit Zitat

Also frau weiß: Es trifft entweder A oder B zu.
A und B haben unterschiedliche bedingte Wahrscheinlichkeiten für ein vorausliegendes Ereignis X.
Aber wenn unklar ist, ob A oder B gilt, ist die Wahrscheinlichkeit die gleiche wie bei A.

P(X|A) =/= P(X|B)

P(X|A) = P(X|AoderB)

Für mich geht das nicht zusammen.
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smallie
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Beitrag(#2195003) Verfasst am: 14.11.2019, 21:24    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Leicht polemisch formuliert:
Meiner Wahrnehmung nach streiten wir uns letztlich darum, ob Dornröschen aus der Tatsache, dass sie wach ist, schließen kann, dass sie nicht schläft, und entsprechende logische Folgerungen ziehen kann.

Ihr zwei streitet darüber.

Ich bestreite, daß dieser Streit weiterhilft. zwinkern


tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Dass wir darüber keine Einigkeit erzielen können, lässt mich wieder ernsthaft zweifeln, ob Dunning-Kruger bei mir zuschlagen oder nicht vielleicht doch Solomon Asch.

Das ist eine der wichtigsten Fragen, die man sich überhaupt stellen kann:

    Liege ich richtig?

(@Alle: Bitte keine horizontalen Witze. Zustimmung )

Eine Ebene darunter angesiedelt:

    Habe ich das Problem richtig verstanden? Habe ich die Gegenargumentation richtig verstanden?

Den Spektrum-Artikel halte ich für mißlungen, weil er das Problem nicht auf den Punkt bringt: Pöppe betrachtet nur die mathematische Seite, die ist aber trivial. Es geht einzig darum, was man in die Fragestellung hinein liest. Wie gesagt ein "sprachliches Vexierbild".

Weiter schreibt Christoph Pöppe, die Mathematiker hätten sich um eine klare Aussage gedrückt, was eine Wahrscheinlichkeit ist. Hä? So einen Satz sollte man nicht raushauen, ohne ihn in einem Absatz näher zu erläutern. Ich halte den Satz für falsch, solange nicht von unendlichen Mengen die Rede ist.

Andererseits schreibt Pöppe im Spektrum und ich nur im FGH. Traurig Bin auch ich Opfer von Dunning-Krüger? Oder erzählt der promovierte Mathematiker Stuss?
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Beitrag(#2195014) Verfasst am: 15.11.2019, 09:32    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:
Also frau weiß: Es trifft entweder A oder B zu.
A und B haben unterschiedliche bedingte Wahrscheinlichkeiten für ein vorausliegendes Ereignis X.
Aber wenn unklar ist, ob A oder B gilt, ist die Wahrscheinlichkeit die gleiche wie bei A.

P(X|A) =/= P(X|B)

P(X|A) = P(X|AoderB)

Für mich geht das nicht zusammen.

Wenn A und X unkorreliert sind, geht das eigentlich gar nicht anders.
In Deinem Zufallsexperiment sind sie korreliert, aber nur scheinbar.
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Beitrag(#2195043) Verfasst am: 15.11.2019, 14:31    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

Tut mir Leid, ich verstehe einfach nicht, was diese "Wahrscheinlichkeit dafür, dass er beobachten kann, dass ein bestimmtes Münzwurfergebnis eingetreten ist" überhaupt sein soll.

Nimm einen Würfelbecher mit einem Würfel. Würfele genau einmal. Bevor Du aufdeckst, stell Dir die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Du eine 6 beobachten könntest wenn Du unter den Würfelbecher schaust. Das wäre die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung, dass eine 6 gefallen ist (Beobachtungswahrscheinlichkeit). Sie ist in diesem Fall ganz offensichtlich identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine 6 gefallen ist (Ereigniswahrscheinlichkeit).

Meine These ist, dass es Fälle gibt wo Beobachtungswahrscheinlichkeit und Ereigniswahrscheinlichkeit nicht übereinstimmen, und dass man im Rahmen des Dornröschenexperiments ein Zufallsexperiment definieren kann, bei dem genau dieser Fall eintritt. Doch bevor ich das begründe muss ich aber noch einen Schritt zurück gehen.

Wahrscheinlichkeiten werden ja für Ereignisse bestimmt. Die Bestimmung kann theoretisch oder empirisch erfolgen. Das Ereignis selbst ist aber zunächst einmal eher etwas Abstraktes von dem wir uns irgendwie eine Vorstellung machen müssen. Wenn wir versuchen uns ein Ereignis vorzustellen, dann nehmen wir automatisch die Beobachterperspektive in Bezug auf das Ereignis ein. D.h. wir stellen uns vor wie wir das Eintreten des Ereignisses beobachten. Die Beobachtung kann direkt oder indirekt sein und es spielt dabei keine Rolle ob wir das Ereignis tatsächlich beobachten können. Wir müssen uns nur irgendwie ein Bild davon machen wie wir sein Eintreten beobachten würden.

So ordnen wir jedem Ereignis ein Bild bzw. eine Beobachtung zu. In Bezug auf das Würfelbeispiel würden wir dem Ereignis, dass 6 gefallen ist eine Beobachtung zuordnen, indem wir uns einen Würfel vorstellen, der mit der 6 nach oben liegt (entweder unter dem Würfelbecher oder bereits aufgedeckt):

Ereignis......…...…..Beobachtung

6 ————————> „6“


Wenn wir nach der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis fragen, dann müssen wir uns sein Eintreten in Relation zum Eintreten anderer möglicher Ereignisse vorstellen. Es spannt sich dann ein Ereignisraum (ER) auf, dem ein Beobachtungsraum (BR) zugeordnet ist. Bei einem einfachen Würfel:
 
ER a priori.........….BR a priori
 
1 ————————> „1“
2 ————————> „2“
3 ————————> „3“
4 ————————> „4“
5 ————————> „5“
6 ————————> „6“
 

Die Relationen im Beobachtungsraum und im Ereignisraum stimmen hier überein, d.h.
P(„6“)=P(6)=1/6

Angenommen wir machen nun die Beobachtung, dass 6 gefallen ist. Dann führt dies zunächst automatisch zum Ausschluss aller anderen zuvor (apriori) noch gleichmöglichen Beobachtungen. D.h.wenn ich eine 6 beobachten kann, dann kann ich keine „1“,“2“,“3“,“4“ oder „5“ mehr beobachten. Damit schrumpft der BR auf die Beobachtung die „6“ zusammen. Das lässt sich dann leicht auf den ER rückprojezieren, wodurch sich auch dieser auf nur noch ein noch mögliches Ereignis reduziert:

ER a posteriori...…...BR a posteriori

6 <———————— „6“


Die Wahrscheinlichkeit, dass 6 gefallen ist, wenn wir beobachtet haben, dass 6 gefallen ist, beträgt also 1: P(6/“6“) = 1

Das scheint soweit so selbstverständlich, dass man sich fragt, wozu die Unterscheidung zwischen ER und BR überhaupt gut sein soll und warum man das als bedingte Wahrscheinlichkeit beschreiben sollte.
Betrachten wir zunächst mal eine Variante des Würfelsexperiments, das zumindest die Anwendung des Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeit plausibel macht. In dieser Variante wird wieder genau einmal mit dem Becher gewürfelt. Wenn 1,2 oder 3 gefallen ist, leuchtet der Würfelbecher rot. Bei 4,5 und 6 leuchtet er grün. A priori, also noch bevor wir die Beobachtung „rot“ oder „grün“ machen können, ergeben sich also folgende Räume:

ER a priori.........…...BR a priori

1 ————————> „1“; „rot“
2 ————————> „2; „rot“
3 ————————> „3; „rot“
4 ————————> „4; „grün“
5 ————————> „5; „grün“
6 ————————> „6; „grün“
 

Falls wir nun „grün“ beobachtet haben, können wir im BR einige Beobachtungen (die mit "rot") ausschließen und den BR entsprechend reduzieren. Und auch hier können wir das Ergebnis auf den ER rückprojezieren:
 
ER a posteriori...…...BR a posteriori

4 <———————— „4“; „grün“
5 <———————— „5“; „grün“
6 <———————— „6“; „grün“
 

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir „6“ beobachten können wenn wir „grün“ beobacht haben ist also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass 6 gefallen ist, wenn wir “grün“ beobachten haben. Denn die relative Häufigkeit von „6“ im BR stimmt mit der relativen Häufigkeit von 6 im ER überein:
P(„6“/“grün“)=P(6/„grün“)=1/3

Das ist im Grunde das Prinzip der bedingten Wahrscheinlichkeiten: Eine durch Beobachtung veränderte Wahrscheinlichkeitsverteilung im BR wird rückprojeziert auf den zugehörigen ER und verändert dadurch auch dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Warum hat die Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit im obigen Fall so reibungslos funktioniert? Nun, das hat es deshalb weil die Zuordnung der Punkte im ER und der Punkte im BR eineindeutig ist. D.h. Jedem Ereignis, das im ER eintritt ist genau eine Beobachtung im BR zugeordnet. Und auch umgekehrt ist jeder Beobachtung im BR nur ein Ereignis im ER zugeordnet. Wird das Prinzip der Eineindeutigkeit in irgendeine Richtung verletzt, ist eine einfache Rückprojektion nicht mehr möglich. Veränderte Verhältnisse im BR können dann unter Umständen nicht mehr auf den ER übertragen werden und damit auch nicht die im BR geltenden Wahrscheinlichkeiten auf den ER. D.h. Wenn sich die Beobachtungswahrscheinlichkeit ändert, muss es die Ereigniswahrscheinlichkeit nicht unbedingt. Und genau dies ist der Fall im Dornröschenexperiment, zumindest in dem Zufallsexperiment welches der Thirder betrachtet:

ER a priori...…………………... BR a priori

K; So - - - - - - - - - - - > „K“; „Mo“; „wach“ (Szenario 1)
……... - - - - - - - - - - - > „K“; „Di“; „schlaf“ (Szenario 2)
Z; So - - - - - - - - - - - > „Z“; „Mo“; „wach“ (Szenario 3)
……...- - - - - - - - - - - > „Z“; „Di“; „wach“ (Szenario 4)
 

Der Thirder hat hier einen Beobachtungsraum definiert, in welchen sich jeweils zwei Kopf bzw. Zahl-Beobachtungsszenarien auf ein und dasselbe Zahl- bzw. Kopf-Ereignis im ER beziehen. Die Zuordnung ist damit nicht mehr eineindeutig (gekennzeichnet durch die gestrichelten Pfeile). Dennoch stimmen die Relationen für Kopf und Zahl in beiden Räumen apriori zunächst einmal überein: P(K)=P(„K“)=1/2

Was aber passiert wenn Dornröschen die Beobachtung „ich bin wach“ macht? Nun, zunächst mal kann sie Beobachtungszenario 2 („K“; “Di“; „schlaf“) sicher ausschließen und aus dem BR eliminieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Dornröschen in dem Szenario in welchem sie sich jetzt befindet „Kopf“ beobachten könnte, ist damit auf 1/3 gesunken: P(„K“/“wach“)=1/3

Doch wie sieht es mit der Rückprojezierung dieser Wahrscheinlichkeit auf den ER aus? Auch das kann man sich nun genauer ansehen:

ER a posteriori......….BR a posteriori

K; So <—————— „K“; „Mo“; „wach“
Z; So <- - - - - - - - „Z“; „Mo“; „wach“
……... <- - - - - - - - „Z“; „Di“; „wach“


Wie man sieht, herrscht nun zwar Eineindeutigkeit zwischen K und „K“, nicht jedoch zwischen Z und „Z“. Es stehen also immer noch zwei „Zahl“-Beobachungen nur einem Zahl-Münzwurf im ER gegenüber. Das Wissen um diese Uneineindeutigkeit ist dem Dornröschen sehr wohl bewusst. Es wurde darüber im Vorfeld des Experiments aufgeklärt. Aber wie kann sie dieses Wissen nutzen um die aposteriori-Wahrscheinlichkeiten im ER zu bestimmen?

P(K/“wach“)=?

Dornröschen hat jetzt zwei Möglichkeiten:

1. Sie ignoriert ihr Wissen um die Uneineindeutigkeit und fügt dem ER einfach ein weiteres Zahl-Ereignis hinzuzufügen, das aber nie stattgefunden hat. So würde es auch der demente Paläontologe machen, mit dem Unterschied, dass dieser kein Wissen zu ignorieren braucht, da er um seine Vergesslichkeit ja nicht informiert wurde.

2. Sie nutzt ihr Wissen um die Uneineindeutigkeit und projeziert beide übrig geblieben „Zahl“-Beobachtungsszenarien vom BR auf dasselbe Zahl-Ereigniss im ER zurück (sie fasst damit quasi beide gestrichelten Pfeile zu einem durchgehenden zusammen). Sie kann dann feststellen, dass sich die Verhältnisse im ER nicht verändert haben und damit auch nicht die Wahrscheinlichkeit dafür dass Kopf oder Zahl gefallen ist. Oder anders: Sie fragt sich bei der Betrachtung des BR nicht

a) entweder („K“,“Mo“,“wach“) oder („Z“,“Mo“,“wach“) oder („Z“,“Mo“,“wach“)?

sondern

b) entweder („K“, „Mo“, „wach“) oder [(„Z“,“Mo“,“wach“) oder („Z“,“Mo“,“wach“)]?

Ein rationales Dornröschen, das ihr Wissen nutzt, kommt also zu dem Ergebnis, dass ihre subjektive Wahrscheinlichkeit, dass am So Zahl gefallen ist jetzt beim Erwachen ½ beträgt.

Darüber hinaus kann ein rationales Dornröschen aber auch noch folgendes feststellen: Würde sie das Experiment sehr oft durchlaufen und über alle Experimente zufällig eine Erweckung auswählen (und damit die Erweckung aus dem Kontext eines bestimmten Experiments herauslösen), dann wäre die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass sie eine Erweckung auswählt, bei welcher sie beobachten könnte, dass Kopf gefallen ist.
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smallie
resistent!?



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Beitrag(#2195056) Verfasst am: 15.11.2019, 17:17    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist ja alles richtig. Nur verstehe ich die Fragestellung anders.

    Du: Wie ist die Münze am Sonntag gefallen? 1/2
    Ich: Was zeigt die Münze, wenn Dornröschen draufblickt? Sie zeigt zu 1/3 Kopf und 2/3 Zahl.

Warum neige ich zu meiner Lesart?

Daß faire Münzen mit 1/2 eine von zwei Seiten zeigen, ist trivial. Dann wäre das Dornröschen-Problem ebenfalls trivial. Die Sache mit Montag und Dienstag und der Amnesie wäre dann nur ein nutzloses Anhängsel. Noise. Das Dornröschen-Problem würde zu einer Fangfrage.

Wenn ein Ablauf gegeben wird, dann hat er eine Bedeutung. Meint zumindest das gerne in sozialen Kontexten denkende menschliche Gehirn. Meine ich auch aus ästhetischen Gründen, weil:

    Simplicity, carried to the extreme, becomes elegance. - Jon Franklin

So gesehen wäre das Dornröschen-Problem sehr unelegant formuliert. Uneleganz will ich niemandem vorwerfen, den ich nicht kenne. Ich gehe von guten Absichten aus. Damit hat der Ablauf eine Bedeutung und das Problem ist im Thirder-Sinn gemeint.

Leider ist das Problem nicht ausreichend definiert. Ziemlich unelegant vom Autor. zwinkern
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zelig
Kultürlich



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Beiträge: 24278

Beitrag(#2195058) Verfasst am: 15.11.2019, 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Leider ist das Problem nicht ausreichend definiert.


Das denke ich auch die ganze Zeit. Aber als ich steps Link zur Beuth-Hochschule durchgeblättert habe, dachte ich, whow... soo genau wollte ich es dann doch nicht definiert haben. : )
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Babyface
Altmeister



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Beiträge: 11356

Beitrag(#2195082) Verfasst am: 15.11.2019, 20:12    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Das ist ja alles richtig. Nur verstehe ich die Fragestellung anders.

    Du: Wie ist die Münze am Sonntag gefallen? 1/2
    Ich: Was zeigt die Münze, wenn Dornröschen draufblickt? Sie zeigt zu 1/3 Kopf und 2/3 Zahl.


Die Fragestellung im Original lautet: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?"

Und darauf ist die korrekte Antwort 1/2, egal wie oft Du das nach dem Münzwurf gefragt wirst.

Stünde da "shows" statt "landed", sind wir bei Deiner Lesart. Aber auch dann wäre die Antwort nicht automatisch 1/3. Denn die Wahrscheinlichkeit dass die Münze in dem Experiment in welchem sich Dornröschen gerade befindet jetzt beim Erwachen Kopf zeigt, ist nicht 1/3 sondern ebenfalls unverändert 1/2.

Stellen wir uns hingegen vor wir würden das Experiment sehr oft wiederholen, alle Erweckungen sammeln und in eine Urne geben und dann zufällig eine Erweckung ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass wir eine Erweckung ziehen, bei der die Münze Kopf zeigt. Das wäre ein Zufallsexperiment, dass man so definieren kann. Aaaaber: Das ist nicht das Zufallsexperiment in welchem sich Dornröschen gerade befindet. Das kann man insbesondere daran erkennen, dass die Erweckungen erst aus dem Kontext ihres zugehörigen Münzwurfs herausgelöst werden müssen, damit man überhaupt zufällig eine ziehen kann. Das Zufallsexperiment in welchem sich Dornröschen befindet, ist anders definiert, und zwar so:

ER a priori...……………......BR a priori

K;So ————————> "K";"Mo";"wach" und "K";"Di";"schlaf" (Szenario 1)
Z,So ————————> "Z";"Mo";"wach" und "Z";"Di";"wach" (Szenario 2)

Zuordnung zwischen ER und BR ist hier eineindeutig. Und wenn Dornröschen die Beobachtung macht dass sie "wach" ist, dann sind Szenario 1 und 2 immer noch gleichmöglich und die Beobachtung "K" und "Z" absolut gleichwahrscheinlich.

Zitat:
Warum neige ich zu meiner Lesart?

Daß faire Münzen mit 1/2 eine von zwei Seiten zeigen, ist trivial. Dann wäre das Dornröschen-Problem ebenfalls trivial. Die Sache mit Montag und Dienstag und der Amnesie wäre dann nur ein nutzloses Anhängsel. Noise. Das Dornröschen-Problem würde zu einer Fangfrage.

Wenn ein Ablauf gegeben wird, dann hat er eine Bedeutung. Meint zumindest das gerne in sozialen Kontexten denkende menschliche Gehirn. Meine ich auch aus ästhetischen Gründen, weil:

Ich sag mal so:

Das Ziegenproblem ist ein gutes Beispiel wie nutzlos erscheinendes Anhängsel wichtig ist.
Das Dornröschenproblem ist ein gutes Beispiel wie wichtig erscheinendes Anhängsel nutzlos ist.

zwinkern
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tillich (epigonal)
Prinz Ipienreiter



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Beitrag(#2195083) Verfasst am: 15.11.2019, 20:15    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:

Tut mir Leid, ich verstehe einfach nicht, was diese "Wahrscheinlichkeit dafür, dass er beobachten kann, dass ein bestimmtes Münzwurfergebnis eingetreten ist" überhaupt sein soll.

Nimm einen Würfelbecher mit einem Würfel. Würfele genau einmal. Bevor Du aufdeckst, stell Dir die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Du eine 6 beobachten könntest wenn Du unter den Würfelbecher schaust. Das wäre die Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung, dass eine 6 gefallen ist (Beobachtungswahrscheinlichkeit). Sie ist in diesem Fall ganz offensichtlich identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine 6 gefallen ist (Ereigniswahrscheinlichkeit).

[...]

Wahrscheinlichkeiten werden ja für Ereignisse bestimmt. Die Bestimmung kann theoretisch oder empirisch erfolgen. Das Ereignis selbst ist aber zunächst einmal eher etwas Abstraktes von dem wir uns irgendwie eine Vorstellung machen müssen. Wenn wir versuchen uns ein Ereignis vorzustellen, dann nehmen wir automatisch die Beobachterperspektive in Bezug auf das Ereignis ein. D.h. wir stellen uns vor wie wir das Eintreten des Ereignisses beobachten. Die Beobachtung kann direkt oder indirekt sein und es spielt dabei keine Rolle ob wir das Ereignis tatsächlich beobachten können. Wir müssen uns nur irgendwie ein Bild davon machen wie wir sein Eintreten beobachten würden.

OK, jetzt kann ich zwar nachvollziehen, was du meinst. Sinnvoll erscheinen mir diese Begrifflichkeiten aber nicht. Zwei Gründe:
a) Du benennst - ganz ausdrücklich, fvm - etwas als "Beobachtung", was gar keine tatsächliche Beobachtung ist, sondern nur eine Vorstellung. Das ist höchst verwirrend.
b) In aller Regel spielt die Unterscheidung aber auch gar keine Rolle. Die Beobachtung, auch die nur vorgestellte entspricht ja zunächst dem Ereignis und hat dieselbe Wahrscheinlichkeit; Ausnahme wäre mE nur ein unzuverlässiger Beobachter (zB ein Messgerät mit einer gewissen Fehlerquote).

Babyface hat folgendes geschrieben:
Meine These ist, dass es Fälle gibt wo Beobachtungswahrscheinlichkeit und Ereigniswahrscheinlichkeit nicht übereinstimmen, und dass man im Rahmen des Dornröschenexperiments ein Zufallsexperiment definieren kann, bei dem genau dieser Fall eintritt. Doch bevor ich das begründe muss ich aber noch einen Schritt zurück gehen.

Ich halte diese These für unplausibel und hege die Vermutung, dass du durch unexakte Darstellung einen scheinbaren Unterschied produzierst, den es tatsächlich nicht gibt.

Dafür gehe ich zunächst mit dir den Schritt zurück:
Babyface hat folgendes geschrieben:
Betrachten wir zunächst mal eine Variante des Würfelsexperiments, das zumindest die Anwendung des Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeit plausibel macht. In dieser Variante wird wieder genau einmal mit dem Becher gewürfelt. Wenn 1,2 oder 3 gefallen ist, leuchtet der Würfelbecher rot. Bei 4,5 und 6 leuchtet er grün. A priori, also noch bevor wir die Beobachtung „rot“ oder „grün“ machen können, ergeben sich also folgende Räume:

ER a priori.........…...BR a priori

1 ————————> „1“; „rot“
2 ————————> „2; „rot“
3 ————————> „3; „rot“
4 ————————> „4; „grün“
5 ————————> „5; „grün“
6 ————————> „6; „grün“

Hier schreibst du nun auf die linke Seite das, was tatsächlich passiert ist (bei dir "Ereignis") und auf die rechte Seite einerseits etwas, was eben nicht tatsächlich beobachtet wird, aber mit dem auf der linken Seite identisch ist; und andererseits etwas, was (genau umgekehrt) tatsächlich beobachtet wird, mit der linken Seite aber nicht identisch ist, aus der linken Seite aber durch Zuordnung hervorgeht.

Das ist, wie gesagt, höchst verwirrend und führt mE im Folgenden zu einer falschen Darstellung des Rückprojizierens:

Babyface hat folgendes geschrieben:
Falls wir nun „grün“ beobachtet haben, können wir im BR einige Beobachtungen (die mit "rot") ausschließen und den BR entsprechend reduzieren. Und auch hier können wir das Ergebnis auf den ER rückprojezieren:

ER a posteriori...…...BR a posteriori

4 <———————— „4“; „grün“
5 <———————— „5“; „grün“
6 <———————— „6“; „grün“

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir „6“ beobachten können wenn wir „grün“ beobacht haben ist also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass 6 gefallen ist, wenn wir “grün“ beobachten haben. Denn die relative Häufigkeit von „6“ im BR stimmt mit der relativen Häufigkeit von 6 im ER überein:
P(„6“/“grün“)=P(6/„grün“)=1/3

Ja, klar. Wenn die Wahrscheinlichkeiten und die Verknüpfungen für das "Ereignis" 6 und die "Beobachtung" "6" identisch sind, sind auch die Wahrscheinlichkeiten für das "Ereignis" 6 unter der Bedingung "grün" und die "Beobachtung" "6" unter der Bedingung "grün" identisch.

Aber: Weiter oben hast du dargestellt, dass man aus der "Beobachtung" "6" sicher auf das "Ereignis" 6 zurückschließen könne:
P(6|“6“) = 1
(Lies: Die Wahrscheinlichkeit, dass 6 gefallen ist, ist unter der Bedingung, dass 6 beobachtet wird, 1.)
Das ist ja auch völlig logisch. Und banal.

Daran ändert sich aber durch die zusätzliche "Beobachtung" "grün" aber überhaupt nichts. Wenn ich "6" beobachte, kann ich sicher auf den Wurf 6 zurückschließen, und die "Beobachtung" "grün" ist eine nette, aber überflüssige Farbuntermalung.
Es gälte:
P(6|“6“?"grün" ) = P(6|“6“) = 1 EDIT: Das Fragezeichen soll ein "in Verbindung mit"-Zeichen sein, wird aber nicht dargestellt.
Nun beobachtet man "6" nach deiner Darstellung ja aber eben nicht wirklich; man beobachtet vielmehr nur "grün" und will daraus (nicht aus den Beobachtungen "6" und "grün") auf die Wahrscheinlichkeit für den Wurf 6 zurückschließen.

Man müsste also vielmehr schreiben:

ER a posteriori...…...BR a posteriori

4 <———————— „grün“
5 <———————— „grün“
6 <———————— „grün“


Dann hätten wir in der Tat drei gleich wahrscheinliche "Ereignisse", die alle zur Beobachtung "grün" führen; die Zuordnung ist also (anders als du später schreibst) nicht mehr eineindeutig, sondern nur noch eindeutig. Deswegen kann man dann nicht mehr (wie oben) sicher auf das "Ereignis" rückschließen, sondern nur noch mit der durch die Beobachtung bedingten Wahrscheinlichkeit (hier 1/3):

P(6|"grün" ) = 1/3

-------------------------------------------------------

So, an der Stelle habe ich erstmal unterbrochen und, um meine Verwirrung bezüglich der Unterscheidung von "Ereignis" und "Beobachtung" zu beheben, meine Kenntnis der mathematischen Begriffe aufgefrischt. Diese Seite hier ...
https://www.mathebibel.de/wahrscheinlichkeitsrechnung
... hat mit innerhalb meines mathematischen Horizontes weitergeholfen.

Hier wird unterschieden zwischen Ergebnis (der unmittelbare Ausgang eines Zufallsexperiments, was du oben "Ereignis" nennst) und Ereignis (eine Zusammenfassung von Ergebnissen nach einer gegebenen Relevanz; was hier dem entspricht, was ich oben eine tatsächliche "Beobachtung" nannte). Dabei ist jedes Ergebnis selbst ein (Elementar-)Ereignis, es gibt aber auch zusammengesetzte Ereignisse.
Beispiel: Das Ereignis "gerade Zahl beim Würfelwurf" entspricht der Menge der Ergebnisse 2, 4 und 6.
Oder: "Gerade Augenzahl" = {2,4,6}

Entsprechend wäre oben "Grün" ein Ereignis, das der Menge {4,5,6} entspricht.

"Beobachtung" spielt hier keine Rolle als Begriff; es kann lediglich vorkommen, dass man das Ergebnis nicht beobachten kann, sondern nur eine Folge, die einem Ereignis entspricht.

Bei diesen Ereignissen kann man bei Kenntnis der Zahl und Wahrscheinlichkeit der dem Ereignis zugrunde liegenden Ergebnisse auf die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses unter der Bedingung des Ereignisses zurückschließen. Das ist der obige Rückschluss P(6|"grün" ) = 1/3 .

Ich werde im Folgenden also die Begriffe Ergebnis und Ereignis in diesem Sinn benutzen, bzw. "Ereignis" und "Beobachtung" nach deinen Begriffen wie bisher schon in Anführungszeichen schreiben.

-------------------------------------------------------

Nach dieser Begriffsklärung weiter im Text. Betrachten wir die Zusammenhänge, die du dargestelt hast:

Babyface hat folgendes geschrieben:
ER a priori...…………………... BR a priori

K; So - - - - - - - - - - - > „K“; „Mo“; „wach“ (Szenario 1)
……... - - - - - - - - - - - > „K“; „Di“; „schlaf“ (Szenario 2)
Z; So - - - - - - - - - - - > „Z“; „Mo“; „wach“ (Szenario 3)
……...- - - - - - - - - - - > „Z“; „Di“; „wach“ (Szenario 4)


Das ist mMn aus ähnlichen Gründen wie oben beim Würfelwurf mit dem blinkenden Würfelbecher eine unplausible Darstellung.

Links hast du außer K(opf) und Z(ahl) auch So(nntag) als Teil des "Ereignisses" hingeschrieben. Der Sonntag ist ja aber überhaupt kein Ergebnis eines Zufallsexperiments, sondern nur der völlig belanglose Tag, an dem das Zufallsexperiment Münzwurf durchgeführt wird - genausogut könnte es irgendein anderer Tag sein.

Dagegen ist es aus Sicht Dornröschens, die den Tag nicht erkennen kann, sehr wohl ein Zufallsexperiment, ob es Montag oder Dienstag ist. Die müssten also auf der linken Seite auftauchen. Dann stünden da die kombinierten Ergebnisse zweier Zufallsexperimente.

Auf der rechten Seite hast du dagegen einerseits die tatsächliche Beobachtung "wach" (ein Ereignis) und das andere Ereignis "schlaf", um dessen Möglichkeit Dornröschen aber erstens weiß und das sie auch indirekt beobachten kann: Bei zwei Ereignissen, die zusammen komplementär alle Ergebnisse abdecken, ist die Möglichkeit der Beobachtung eines Ereignisses genauso gut wie die Beobachtung beider, da aus dem Nichteintreten des einen sicher auf das Eintreten des anderen geschlossen werden kann. (Banal: Nicht wach = schlaf.)

Diese "Beobachtungen" (= Ereignisse) mischst du nun mit den Ergebnissen, die eben nicht beobachtbar sind (K/Z bzw. Mo/Di), sondern auf deren bedingte Wahrscheinlichkeit ja erst zurückgeschlossen werden soll.

Das alles ist genauso verwirrend und mathematisch verfehlt, wie oben beim Würfelexperiment die eigentlich identischen "Ereignis" 6 und "Beobachtung" "6" zu trennen und gleichzeitig die reale Nichtbeobachtung von 6 als "Beobachtung" "6" mit der tatsächlichen Beobachtung "grün" zusammenzufassen.

Ich würde das ganze deshalb so darstellen:

Ergebnis Ereignis

K/Mo ----> wach
K/Di ----> schlaf
Z/Mo ----> wach
Z/Di ----> wach

Man sieht: Diese Zuordnung ist (genauso wie oben die Zuordnung Würfelergebnis ----> Würfelbecherfarbe) zwar nicht mehr eineindeutig (deswegen ist kein sicherer Rückschluss möglich), aber immerhin eindeutig. Und deswegen ist folgender Rückschluss möglich:

Ergebnis Ereignis

K/Mo <---- wach
Z/Mo <---- wach
Z/Di <---- wach


Dieser ergibt erkennbar kein sicheres Ergebnis, das die Grundlage des Ereignisses wäre. Aber er ergibt immerhin die bedingte Wahrscheinlichkeit 1/3 für die drei potentiell zugrundeliegenden Ergebnisse K/Mo, Z/Mo, Z/Di. Und damit die bedingten Wahrscheinlichkeiten 1/3 für K und 2/3 für Z.

-------------------------------------------------------

Zusammenfassung:

- Du vergisst in deiner Darstellung einerseits, dass der Wochentag (Mo/Di) in der Darstellung des Problems ein zweites Zufallsexperiment neben dem Münzwurf ist, sodass es vier mögliche Ergebnisse der kombinierten Zufallsexperimente gibt.
- Andererseits fasst du die tatsächlich möglichen Beobachtungen mit diesen nicht beobachtbaren Ergebnissen als "Beobachtungen" zusammen, was mathematisch irgendwie gar keinen Sinn vergibt.
- Wenn man stattdessen die tatsächlichen Beobachtungen mathematisch korrekt als Ereignisse auffasst, die auf den nicht beobachtbaren Ergebnissen der Zufallsexperimente beruhen, kann man problemlos die bedingt Wahrscheinlichkeit P(K|wach)=1/3 erschließen.
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Zuletzt bearbeitet von tillich (epigonal) am 15.11.2019, 20:34, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Beitrag(#2195085) Verfasst am: 15.11.2019, 20:21    Titel: Antworten mit Zitat

Babyface hat folgendes geschrieben:
Die Fragestellung im Original lautet: "What is your credence now for the proposition that the coin landed heads?"

Und darauf ist die korrekte Antwort 1/2, egal wie oft Du das nach dem Münzwurf gefragt wirst.

Stünde da "shows" statt "landed", sind wir bei Deiner Lesart. Aber auch dann wäre die Antwort nicht automatisch 1/3. Denn die Wahrscheinlichkeit dass die Münze in dem Experiment in welchem sich Dornröschen gerade befindet jetzt beim Erwachen Kopf zeigt, ist nicht 1/3 sondern ebenfalls unverändert 1/2.

Stellen wir uns hingegen vor wir würden das Experiment sehr oft wiederholen, alle Erweckungen sammeln und in eine Urne geben und dann zufällig eine Erweckung ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit 1/3, dass wir eine Erweckung ziehen, bei der die Münze Kopf zeigt. ...

Wenn nun Dornröschen beim Aufwecken nicht die Originalfrage gestellt würde, sondern sie einen Tip abgeben müßte, also entweder Kopf oder Zahl. Müßte sie dann, da sie ihre Tips ja vergißt, eine zweiseitige oder eine dreisitige Münze werfen, um im Fall der Wiederholung insgesamt das beste Ergebnis zu erzielen?
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Beitrag(#2195089) Verfasst am: 15.11.2019, 20:45    Titel: Antworten mit Zitat

smallie hat folgendes geschrieben:
Das ist ja alles richtig. Nur verstehe ich die Fragestellung anders.

    Du: Wie ist die Münze am Sonntag gefallen? 1/2
    Ich: Was zeigt die Münze, wenn Dornröschen draufblickt? Sie zeigt zu 1/3 Kopf und 2/3 Zahl.

Warum neige ich zu meiner Lesart?

Daß faire Münzen mit 1/2 eine von zwei Seiten zeigen, ist trivial. Dann wäre das Dornröschen-Problem ebenfalls trivial. Die Sache mit Montag und Dienstag und der Amnesie wäre dann nur ein nutzloses Anhängsel. Noise. Das Dornröschen-Problem würde zu einer Fangfrage.

Wenn ein Ablauf gegeben wird, dann hat er eine Bedeutung. Meint zumindest das gerne in sozialen Kontexten denkende menschliche Gehirn. Meine ich auch aus ästhetischen Gründen, weil:

    Simplicity, carried to the extreme, becomes elegance. - Jon Franklin

So gesehen wäre das Dornröschen-Problem sehr unelegant formuliert. Uneleganz will ich niemandem vorwerfen, den ich nicht kenne. Ich gehe von guten Absichten aus. Damit hat der Ablauf eine Bedeutung und das Problem ist im Thirder-Sinn gemeint.

Leider ist das Problem nicht ausreichend definiert. Ziemlich unelegant vom Autor. zwinkern

Ich halte das Problem für ausreichend definiert. Mit dem "your" und "now" in der Fragestellung ist mMn klar, dass nicht nach der allgemeinen Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses Kopf gefragt ist, sondern nach der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung der Situation Dornröschens, d.h. dass sie geweckt wird, d.h. das der Teil der Ergebnisse, die zu dem Ereignis "schlafend" führen, ausgeschlossen.

Das ergibt sich also nicht nur aus dem (sonst, wie du sagst, überflüssigen) Ablauf, sondern der Dornröschen gestellten Frage selbst.
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Beitrag(#2195091) Verfasst am: 15.11.2019, 20:53    Titel: Antworten mit Zitat

tillich (epigonal) hat folgendes geschrieben:


Ich würde das ganze deshalb so darstellen:

Ergebnis Ereignis

K/Mo ----> wach
K/Di ----> schlaf
Z/Mo ----> wach
Z/Di ----> wach

Man sieht: Diese Zuordnung ist (genauso wie oben die Zuordnung Würfelergebnis ----> Würfelbecherfarbe) zwar nicht mehr eineindeutig (deswegen ist kein sicherer Rückschluss möglich), aber immerhin eindeutig. Und deswegen ist folgender Rückschluss möglich:

Ergebnis Ereignis

K/Mo <---- wach
Z/Mo <---- wach
Z/Di <---- wach


Das ist im Grunde nur eine andere Darstellung dessen was ich als Beobachtungsraum definiert habe. Alles was Du daraus ableiten kannst sind daher Beobachtungswahrscheinlichkeiten.

Mein Ereignisraum ist konzeptuell übrigens etwas ganz anderes als der Ergebnisraum. Mein ER ist eine Abfolge tatsächlich oder hypothetisch eintretender Ereignisse, und zwar derjenigen auf deren Wahrscheinlichkeit man Rückschlüsse ziehen möchte (deshalb steht da bei mir auch K;So). Es ist im Unterschied zum Ergebnisraum daher nicht vorgesehen dass ein und derselbe Münzwurf zweimal im ER aufgeführt wird, so wie das bei Dir da oben der Fall ist. Die Frage wie Du bzw. Dornröschen mit dieser Uneindeutigkeit umgehen, hast Du nur elegant umschifft, aber nicht beantwortet. zwinkern
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