Mathematische Umfrage 3

[Ilmor]

Also, das ist mal ne richtige mathematische Frage.
Erklärung:
x^k = x*x*x*...*x (k-Mal)
k! = k*(k-1)*(k-2)*...*2*1 (also zB 4! = 4*3*2*1)
k und x sind jeweils reelle Zahlen.

[moecks]

Aber auch nicht allzu schwer. Wer hat da aber angegeben das es von x abhängt ohne eine Erklärung abzugeben?

[Roody]

Zuviele Unbekannte.
Die Antwort ist da wohl eindeutig.
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"Es sind die Zweifel, die die Menschen vereinen. Ihre Überzeugungen trennen sie."
Sir Peter Ustinov

[moecks]

[Galaxisherrschers Katze]

[step]

[Louseign]

Angesichts des derzeitigen Umfrageergebnisses bin ich doch ein wenig platt.

[step]

[moecks]

[jagy]

[Wolf]

[moecks]

Mich würde auch noch interessieren was die leute dazu sagen:
1. Was ist größer bei k gegen unendlich? Wobei x eine beliebige Konstante.
a) k^x
b) x^k

2. Was ist größer bei k gegen unendlich?
a) k!
b) k^k

[Louseign]

[moecks]

[jagy]

[Louseign]

[Louseign]

[Roody]

Hab "beliebig" auch mit "unbekannt" oder "egal" verwechselt...

Dann ist natürlich k! grösser.
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"Es sind die Zweifel, die die Menschen vereinen. Ihre Überzeugungen trennen sie."
Sir Peter Ustinov

[moecks]

[jagy]

[moecks]

[jagy]

[Louseign]

[Danol]

x^k/k!= (x/1)*(x/2)*(x/3)*...*(x/k). Geht k->oo, dann geht x/k gegen 0, da x fix gewählt ist. Insbesondere gibt es ein fixes N so, dass für alle k>N gilt x/k < 1.
Der Einfachheit halber sei x>0 und j die größte natürliche Zahl so, dass x/j=>1 gilt. Dann ist lim (k->oo) x^k/k! = (x/1)*...*(x/j)*(x/(j+1))...
Die ersten j Faktoren nennen wir nun der Einfachheit halber X_j, also X_j = (x/1)*...*(x/j). Insbesondere gilt X_j < oo.
lim(k->oo) x^k/k! = X_j * (x/(j+1))*(x/(j+2))*... < X_j * lim(k->oo) (x/(k+1)) = 0.
Da x>0 und somit auch x^k/k!>0 für alle natürlichen k, folgt lim(k->oo)x^k/k! = 0. Wenn man mag kann man das so interpretieren dass k! 'im unendlichen' größer ist als x^k, letztlich sagt es nur aus dass k! schneller wächst.

[moecks]

Das die Folge x^k/k! (x=const; k->unendl.) konvergent ist, lässt sich auch recht einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen.

[Wolf]

[Danol]

[moecks]

[Critic]

In der Schulmathematik (also wenn ich zumindest an meinen Matheunterricht denke) ist das aber nicht mehr unbedingt drin. Das Quotientenkriterium kenne ich aus der Analysis-Vorlesung an der Uni. (Wenn man das aber nicht regelmäßig für eine Anwendung braucht, dann vergißt man so etwas aber relativ schnell.)

Ich war im übrigen auch dafür, daß k! schneller wächst, aber über die Stirling-Formel: Es gibt die Abschätzung k! ~ sqr(2 * pi* k) * (k / e)^k , das ganze Brimborium gestrichen O(k^k). Und (um das aufzugreifen:) bei konstant gewählten x gibt es ein n, so daß für alle k>n gilt: k! > x^k.

(Aber vielleicht habe ich da jetzt schon ein bißchen einen Zirkelschluß betrieben. Denn da steckt ja noch e^{-k} drin, das geht für k -> oo gegen 0. Da e aber eine Konstante ist, gibt es ein n, so daß für alle k > n gilt: (k/e)^k > 1...)
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"Die Pentagon-Gang wird in der Liste der Terrorgruppen geführt"

Dann bin ich halt bekloppt.

"Wahrheit läßt sich nicht zeigen, nur erfinden." (Max Frisch)

[Skeptiker]

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