Krümmung des Kreises

[JW1]

schönen guten tag,

ich befinde mich in einer wissenschaftlichen krise. es geht um die krümmung des kreises. die geometrie lehrt uns, dass ein kreis eine konstante krümmung hat. andrerseits kann man die kreisgleichung x²+y²=r² auf y=sqrt(r²-x²) umformen. Die 2. Ableitung (=Krümmung) dieser Funktion ist aber nicht konstant. Kann mir das jemand erklären?


mit freundlichen Grüßen
J.W.

[musikdusche]

Die zweite Ableitung kann hier nicht direkt als Krümmung verstanden werden, sondern nur als "Änderungsrate der Steigung". Für die tatsächliche Berechnung der Krümmung musst du folgende Kreisgleichung aufstellen:

xvektor(winkel) = (sin(winkel) , cos(winkel) )

Die Krümmung ist dann Betrag(-sin(winkel),-cos(winkel)) = Wurzel(sinquadrat(winkel) + cosquadrat(winkel)) = 1

(oder so ähnlich)
Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung
_________________
Jeder Fehler erscheint unglaublich dumm, wenn Andere ihn begehen. (Lichtenberg)

[Danol]

Ansonsten ist Kapitel 2.3 im Jost: "Differentialgeometrie und Minimalflächen" empfehlenswert, dort findet man z.B. auch die Information dass k = |c''| für nach Bogenlänge parametrisierte Kurven gilt, der andere Fall wird auch behandelt.

[Dr. Evil]

Außerdem sind Kreise nicht krumm sondern rund.

[nocquae]

[musikdusche]

[pera]

Guckst du Wikipedia Stichwort Krümmung.

Da steht alles haargenau, was es über ebene Kurven und deren Krümmung zu sagen gibt.
Danol hat ja schon geschrieben, dass die 2. Ableitung nur für eine bestimmte Parameterdarstellung gilt.
Ein Kreis hat überall die Krümmung 1/r, was sehr praktisch ist, weil man nichts zu rechnen braucht.

[tridi]

ich vermute, der threadersteller hat in der schule gelernt: f''(x)<0> rechtskruemmung, f''(x)>0 => linkskruemmung.

das ist so zwar korrekt, aber der schluss, dass f'' die kruemmung angebe, ist halt verkehrt. die art der kruemmung (rechts oder linkskruemmung) kann man zwar aus dem vorzeichen von f''(x) erschliessen, der genaue wert der kruemmung ergibt sich daraus aber nicht, wie man tatsaechlich an dem beispiel mit dem kreis gut erkennt.

[Wolf]

[VanHanegem]

IM Allgemeinen versteht man unter Krümmung den Kehrwert des Krümmungsradius. Bei einer ebenen Kurve dargestellt als Funktion y(x) von einer unabhängigen Variablen in kartesischen Koordinaten ist

K=y"/(1+y'^2)^1.5

Entsprechende Formeln gibts auch für Parameterform, oder Darstellung der Kurve als implizite gleichung. Findet Ihr alles im Bronstein
_________________
Hup Holland Hup, Oranje winnt de cup (2022)

[tridi]